§ 5а. О проблематике расчетов опционов Американского типа

какова рациональная (справедливая, взаимоприемлемая) стоимость опционных контрактов с заданной системой платежных функций;

каков рациональный момент предъявления покупателю опциона к исполнению;

какова оптимальная хеджирующая стратегия продавца опциона, обеспечивающая выполнение контрактных условий.

В настоящем параграфе, посвященном расчетам опционов Американского типа в случае дискретного времени, главное внимание будет уделено первым двум группам вопросов (і) и (іі).

Будем придерживаться СДЯ-модели (В, 5")-рынка, описанной в §4Ь, т.е. предполагать, что АВп ~ rBn-i, ASn — pnSn-i, где р = (рп) - по-следовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с Р{рп = Ь) = р, Р (рп = а) = q, где — 1 < а < г < b, p + q — I, О <р < 1.

Дополнительное предположение, позволяющее существенно упростить дальнейший математический анализ, будет состоять в том, что при некотором А > 1

Ь = А-1 и а = А-1 -1. (1)

Тем самым, вместо двух параметров а и Ь, определяющих эволюцию значений пен Sn, п ^ 1, будем предполагать заданным всего лишь один параметр А > 1, по которому а и 6 находятся согласно формулам (1). Тогда, очевидно,

S„ = SoA?1+-+en, (2)

где Р(е< = 1) = P{Pi =Ь) =р, Р(єі = -1) = P(pi = a) =q. (Ср. с §1е, гл. II.)

Если предположить также, что So принадлежит множеству Е = {Afc, к — 0, ±1,...}, то видим, что и при любом п > 1 состояния Sn будут принадлежать тому же самому множеству Е.

Последовательность S = (Sn)n^о> описываемую соотношениями (2) с So Є Е, принято называть (ср. с § 1е, гл.

Пусть х є Е и Рх обозначает распределение вероятностей последовательности (S\'n)n>o относительно меры Р в предположении, что So — х:

Рх = Law((S„)nJ0 I Р, S0 = х).

В соответствии со стандартной терминологией теории случайных процессов можно сказать, что рассматриваемая последовательность S = (Sn)n^o с семейством вероятностей Рх, х Є Е, образуют однородное марковское случайное блуждание, или однородный марковский процесс (с дискретным временем).

Пусть Т - оператор перехода за один шаг, т.е. пусть для функций g = g(x), определенных на Е,

Tg(x) = Exg{Si), х Є Е, (3)

где Ея - усреднение по мере Рх. В рассматриваемом случае (2)

Т^(х)=га(Аа:) + (1-р)5(|). (4)

3. (В, 51)-рынок, описываемый СЯЯ-моделью, является и безарбитражным, и полным, при этом единственной мартингальной мерой является мера Р такая, что

Р(ЄІ = 1) = Р(Рі = Ь) = ^ , Р(ЄІ = -1) = Р(РІ = а) = jp^ ¦

о — a b — а

(См., например, § Id в гл. V.)

Согласно изложенной в главе V "безарбитражно-мартингальной" идео-логии, все вероятностные расчеты должны производиться не относительно исходной меры Р, а относительно мартингальной меры Р. Чтобы не вводить новых обозначений, с самого начала будем предполагать, что Р = Р и, значит,

г — а Ь — г ...

р = к—^ \' q = I—« \' b — а о — а

С учетом предположения (1) находим, что

а"1 - А-1 А-а"1

Р= А-А-1 \' (6)

где а = (1 +г)-1.

Пусть / = (/о, f!,...) - система платежных функций, заданных, как обычно, на фильтрованном вероятностном пространстве )„^о,Р),

Sb = {0,fi}.

В соответствии с § 2а будем обозначать класс всех моментов остановки т таких, что ті ^ т ^ N. Через обозначается класс всех конечных моментов остановки таких, что т ^ п.

В случае опционов Американского типа покупатель опциона имеет возможность самостоятельно выбирать тот момент т, в который он закрывает контракт, получая при этом платеж, равный /т.

Рассматриваемый нами (В, й^-рынок является полным, и для верхней цены хеджирования Американского типа (см. (5) в § 2с)

Сдг(/;Р) = inf{y: 3 7г с Xq = у, X? > fT (Р-п.н.), Vr є ОТ^}, (7) которую естественно считать ценой рассматриваемого опциона Американ-ского типа, имеет место формула (см. (19) в § 2с)

CN(f;P)= sup В0Е^-. (8)

Напомним, что здесь Е - усреднение по (мартингальной) мере Р.

В проведенном выше изложении основной акцент делается на то, как и при каких условиях продавец опциона может выполнить контрактные условия.

Из общей теории хеджирования Американского типа (раздел 2) следует, что определяемая формулой (8) стоимость (премия) Слг(/; Р) опционного контракта является той минимально допустимой стоимостью, при кото-рой продавец может еше выполнить условия этого контракта.

Покупатель опциона это понимает, и в этом смысле пена Слг (/; Р) является взаимоприемлемой для обеих договаривающихся сторон. При этом, согласно обшей теории, продавец опциона может так организовать свой хеджирующий портфель 7г, чтобы его капитал XJf. был не меньше /т для любого т Є .

Рассмотрим теперь вопрос о том, как покупатель, согласившийся на стоимость контракта, равную Слг (/; Р), должен наиболее разумным образом выбрать момент остановки действия контракта, или, попросту говоря, когда предъявить опцион к исполнению.

Понятно, что если покупатель прекращает действие контракта в момент о, когда X™ > fa, то это дает продавцу чистый доход — fa при выполнении им в то же самое время контрактного условия о выплате покупателю fa- Поэтому покупателю следовало бы выбирать момент о так, чтобы X* = fa- Такой момент действительно существует, и, как следует из теоремы 4, § 2с, им является момент т^, получающийся в результате решения задачи об оптимальной остановке

" sup Во Е " (9)

тЄШї^ Вт

Из (8) видим, что отыскание пены Слг(/;Р) сводится к решению задачи об оптимальной остановке стохастической последовательности /о,/і, ¦ ¦ -, /ЛГ-

В § § 5Ь, с будут рассматриваться, следуя, в основном, работе [443], стан-дартные опционы покупателя и продавца с функциями /п = (Sn — К)+ и /„ = (К — Sn)+ (инесколько более общими функциями /„ = f3n(Sn — К)+ и /п = Рп(К — Sn)+) соответственно.