<<
>>

Биномиальная модель оценки премии американских опционов на акции, по которым не выплачиваются дивиденды

Метод использования биномиальной модели для американских оп­ционов аналогичен приему, проиллюстрированному в примере 4. В то же время, существует некоторое отличие. Оно связано с тем, что американ­ский опцион можно исполнить в любой момент времени в ходе действия контракта. Поэтому для каждого узла дерева распределения необходи­

мо сравнить цену опциона, полученную расчетным путем, с внутренней стоимостью опциона в этот момент и выбрать наибольшее из получен­ных значений для продолжения процесса дисконтирования.

Поясним сказанное на примере. Рассмотрим последовательно определение пре­мии европейского и американского опционов пут.

Пример 5.

Цена исполнения европейского опциона пут на акции 100 руб. Время его действия разбивается на три периода. Цена акции в на­чальный момент 100 руб., темп роста цены акции в каждом периоде равен 1,05, тем падения цены 0,95. Ставка без риска для каждого периода составляет 2%. Определить цену опциона.

Решение.

Значения риск-нейтральных вероятностей и курсов акций в каж­дом узле дерева распределения были определены в примере 4.

Для узла Sd* (конец третьего периода) цена опциона равна: 100-85,74= 14,26/губ.

Для узла Sd (конец третьего периода):

100-95 = 5 руб.

Для узлов Su и Su* она равна нулю, так как цена спот акции боль­ше цены исполнения.

Для узла S (конец второго периода):
Для узла Su2 она равна нулю.

Для узла Sd (конец первого периода):

Для узла Su (конец первого периода):

Для узла Sd2 (конец второго периода) премия опциона составляет:

Премия опциона в начальный момент времени равна:

Для наглядности цены акции и рассчитанная премия для каждого узла дерева распределения представлены на рис. 10.5. Цена акции представлена верхней цифрой, премия опциона - нижней. Мы полу­чили результат: европейский опцион пут должен стоить 1,25 руб.

Рис. 10.5. Трехпериодная биномиальная модель

Допустим теперь, что данный опцион является американским. То­гда на рис.10.5 внимания заслуживает узел Sd2 (конец второго пе­риода). Расчетная цена опциона равна 7,63 руб. Однако, если дер­жатель опциона исполнит его в этот момент, он получит сумму рав­ную внутренней стоимости опциона, т.е.:

100-90,25 - 9,15руб.

Поэтому цена опциона в данном узле принимается равной 9,75 руб. В результате расчетная цена опциона в узле Sd (конец первого пе­риода) составит не 3,25 руб., как в случае с европейским опционом, а будет равна:

В то же время, для данного узла цена акции равна 95 руб. Если ин­вестор исполнит опцион в этот момент, он получит 5 руб. Поэтому премия опциона для этого узла принимается равной не 3,88 руб., а 5 руб. В результате цена американского опциона в начальный момент времени должна быть равна:

Чтобы воспользоваться биномиальной моделью для практиче­ских целей, необходимо ответить на вопрос, каким образом опреде­лить значения роста и падения цены акции, т.е. и и d. Процесс, которому следует динамика цены акции, является винеровским[54]. Биномиальное распределение должно быть построено таким обра­зом, чтобы при делении периода действия опционного контракта на большое количество периодов, биномиальный процесс сходился к винеровскому. Мы получим такой результат, если и и d будут иметь следующие значения:

и

где а стандартное отклонение доходности акции;

At - период времени, представленный в долях года.

10.1.5. Вычисление стандартного отклонения доходности акции

В формуле (10.21) стандартное отклонение доходности акции представлено на основе непрерывно начисляемого процента. Для такого случая техника расчета стандартного отклонения остается такой же, как и при использовании простого процента, т. е. опреде­ляется по формуле:[55]

Корректировка касается только исходных данных, которые подстав­ляются в формулу (10.23). В данной формуле величина х, рассчи­тывается как:

где S, - значение цены акции в конце і -го периода;

Sl+1 - значение цены акции в конце / +1 -го периода.9

Величина х является средним арифметическим значений х, за

период наблюдений. Используя свойства логарифмов, ее можно определить по формуле:

где SQ - первое наблюдение значения цены акции;

ST - последнее наблюдение цены акции; п - количество наблюдений переменной S, (поэтому количество

переменных .

Рассмотрим пример расчета стандартного отклонения доходно­сти акции. В качестве наблюдаемой величины выступает цена акции при закрытии. Ее значения приведены в таблице 10.1. На основе данных таблицы:

[1] В формуле (10.23) величина гг относится к количеству значений хг.

Полученный результат показывает стандартное отклонение доход­ности акции за один день. Чтобы получить значение стандартного отклонения за год, необходимо умножить его на корень квадратный из количества торговых дней в году. В году порядка 250 торговых дней, поэтому:

Таблица 10.1. Расчет стандартного отклонения доходности акции

10.1.5.

<< | >>
Источник: Буренин А.Н.. Форварды, фьючерсы, опционы, экзотические и погодные производные М, Научно-техническое общество имени академика С.И. Вави­лова, 2005, - 534 + 6 с. 2005

Еще по теме Биномиальная модель оценки премии американских опционов на акции, по которым не выплачиваются дивиденды:

- Авторское право - Адвокатура - Административное право - Административный процесс - Антимонопольно-конкурентное право - Арбитражный (хозяйственный) процесс - Аудит - Банковская система - Банковское право - Бизнес - Бухгалтерский учет - Вещное право - Государственное право и управление - Гражданское право и процесс - Денежное обращение, финансы и кредит - Деньги - Дипломатическое и консульское право - Договорное право - Жилищное право - Земельное право - Избирательное право - Инвестиционное право - Информационное право - Исполнительное производство - История государства и права - История политических и правовых учений - Конкурсное право - Конституционное право - Корпоративное право - Криминалистика - Криминология - Маркетинг - Медицинское право - Международное право - Менеджмент - Муниципальное право - Налоговое право - Наследственное право - Нотариат - Обязательственное право - Оперативно-розыскная деятельность - Права человека - Право зарубежных стран - Право социального обеспечения - Правоведение - Правоохранительная деятельность - Предпринимательское право - Семейное право - Страховое право - Судопроизводство - Таможенное право - Теория государства и права - Трудовое право - Уголовно-исполнительное право - Уголовное право - Уголовный процесс - Философия - Финансовое право - Хозяйственное право - Хозяйственный процесс - Экологическое право - Экономика - Ювенальное право - Юридическая деятельность - Юридическая техника - Юридические лица -