Биномиальная модель оценки премии американских опционов на акции, по которым не выплачиваются дивиденды

Метод использования биномиальной модели для американских оп­ционов аналогичен приему, проиллюстрированному в примере 4. В то же время, существует некоторое отличие. Оно связано с тем, что американ­ский опцион можно исполнить в любой момент времени в ходе действия контракта.

мо сравнить цену опциона, полученную расчетным путем, с внутренней стоимостью опциона в этот момент и выбрать наибольшее из получен­ных значений для продолжения процесса дисконтирования. Поясним сказанное на примере. Рассмотрим последовательно определение пре­мии европейского и американского опционов пут.

Пример 5.

Цена исполнения европейского опциона пут на акции 100 руб. Время его действия разбивается на три периода. Цена акции в на­чальный момент 100 руб., темп роста цены акции в каждом периоде равен 1,05, тем падения цены 0,95. Ставка без риска для каждого периода составляет 2%. Определить цену опциона.

Решение.

Значения риск-нейтральных вероятностей и курсов акций в каж­дом узле дерева распределения были определены в примере 4.

Для узла Sd* (конец третьего периода) цена опциона равна: 100-85,74= 14,26/губ.

Для узла Sd (конец третьего периода):

100-95 = 5 руб.

Для узлов Su и Su* она равна нулю, так как цена спот акции боль­ше цены исполнения.

Для узла Sd2 (конец второго периода) премия опциона составляет:

Допустим теперь, что данный опцион является американским. То­гда на рис.10.5 внимания заслуживает узел Sd2 (конец второго пе­риода). Расчетная цена опциона равна 7,63 руб. Однако, если дер­жатель опциона исполнит его в этот момент, он получит сумму рав­ную внутренней стоимости опциона, т.е.:

100-90,25 - 9,15руб.

Поэтому цена опциона в данном узле принимается равной 9,75 руб. В результате расчетная цена опциона в узле Sd (конец первого пе­риода) составит не 3,25 руб., как в случае с европейским опционом, а будет равна:

В то же время, для данного узла цена акции равна 95 руб. Если ин­вестор исполнит опцион в этот момент, он получит 5 руб. Поэтому премия опциона для этого узла принимается равной не 3,88 руб., а 5 руб. В результате цена американского опциона в начальный момент времени должна быть равна:

Чтобы воспользоваться биномиальной моделью для практиче­ских целей, необходимо ответить на вопрос, каким образом опреде­лить значения роста и падения цены акции, т.е. и и d. Процесс, которому следует динамика цены акции, является винеровским[54]. Биномиальное распределение должно быть построено таким обра­зом, чтобы при делении периода действия опционного контракта на большое количество периодов, биномиальный процесс сходился к винеровскому. Мы получим такой результат, если и и d будут иметь следующие значения:

и

где а стандартное отклонение доходности акции;

At - период времени, представленный в долях года.

10.1.5. Вычисление стандартного отклонения доходности акции

В формуле (10.21) стандартное отклонение доходности акции представлено на основе непрерывно начисляемого процента. Для такого случая техника расчета стандартного отклонения остается такой же, как и при использовании простого процента, т. е. опреде­ляется по формуле:[55]

Корректировка касается только исходных данных, которые подстав­ляются в формулу (10.23). В данной формуле величина х, рассчи­тывается как:

где S, - значение цены акции в конце і -го периода;

Sl+1 - значение цены акции в конце / +1 -го периода.9

Величина х является средним арифметическим значений х, за

период наблюдений. Используя свойства логарифмов, ее можно определить по формуле:

где SQ - первое наблюдение значения цены акции;

ST - последнее наблюдение цены акции; п - количество наблюдений переменной S, (поэтому количество

Рассмотрим пример расчета стандартного отклонения доходно­сти акции. В качестве наблюдаемой величины выступает цена акции при закрытии. Ее значения приведены в таблице 10.1. На основе данных таблицы:

[1] В формуле (10.23) величина гг относится к количеству значений хг.

Полученный результат показывает стандартное отклонение доход­ности акции за один день. Чтобы получить значение стандартного отклонения за год, необходимо умножить его на корень квадратный из количества торговых дней в году. В году порядка 250 торговых дней, поэтому:

10.1.5.