Паритет европейских опционов на акции, по которым не выплачиваются дивиденды

Между премиями европейских опционов колл и пут на одни и те же акции с одинаковой ценой исполнения и сроком истечения кон­трактов можно установить равенство, получившее название паритета опционов колл и пут.

Сравним два портфеля. В первый входит длинный опцион колл

и сумма денег равная дисконтированной стоимости цены ис­

Данная сумма инвестируется под ставку без рис­

ка г на период до окончания срока действия опционов (7j. Второй

портфель состоит из длинного опциона пут

больше X, то в первом портфеле исполняется опцион колл.

выросла до величины X и уплачивается в рамках

опциона за акцию. Таким образом, первый портфель состоит из ак­ции. Во второй портфель также входит акция, так как опцион пут ис­тек не исполненным. Поэтому стоимости портфелей равны.

Если курс акции меньше X, то опцион колл не исполняется, и стоимость первого портфеля равна X. Во втором портфеле испол­няется опцион пут, т. е. акция продается по цене X . Таким образом, и в этом случае стоимости портфелей равны.

Если курс акции равен цене исполнения, то оба опциона не ис­полняются и стоимости портфелей вновь одинаковы, так как

Стоимости портфелей равны в конце периода Т. Следователь­но, они должны быть одинаковыми и в момент заключения опцион­ных контрактов. В противном случае последует арбитраж.

Как видно из формулы (9.1), зная величину премии опциона колл, можно определить стоимость опциона пут, и наоборот.

Пример.

Цена исполнения европейских опционов колл и пут на акции рав­на 100 руб. Цена опциона колл 3 руб. Срок действия контрактов три месяца. Цена спот акции 100 руб. Ставка без риска 10% годовых. Определить величину премии опциона пут.

Решение.

а) Допустим, что цена опциона пут завышена и равна 1 руо. Тогда арбитражер покупает опцион колл, продает опцион пут и акцию, за­няв ее у брокера. В результате он получает сумму:

1—3 + 100 = 9% руб).

Размещает ее на депозите на три месяца под 10% годовых и полу­чает по истечении данного периода сумму:

98[l + 0,1(3/12)]= 100,45руб.

Если к моменту окончания срока действия контрактов цена спот акции больше 100 руб, арбитражер исполняет опцион колл, т. е. покупает акцию за 100 руб. и возвращает ее брокеру. Его прибыль равна:

100,45 -100 = 0,45 руб.

Если курс акции ниже 100 руб, то контрагент исполняет опцион пут. В этом случае арбитражер также покупает акцию за 100 руб, возвращает ее брокеру. Его прибыль вновь равна 0,45 руб.

б) Допустим, что цена опциона пут занижена и составляет 0,5 руб. Тогда арбитражер продает опцион колл и покупает опцион пут и акцию. Для этого он занимает на три месяца под 10% годовых сумму в размере:

3 - 0,5 -100 = -97,5 руб.

(Знак минус означает, что арбитражер занимает эту сумму.) К моменту истечения срока действия контрактов он должен вернуть кредитору:

97,5[l + 0,1(3 /12)] = 99,94руб.

Если в это время цена спот акции меньше 100 руб., арбитражер исполняет опцион пут и его прибыль равна:

100 - 99,94 = 0,06руб.

Если курс акции выше 100 руб., контрагент исполняет опцион колл. Арбитражер продает акцию по цене исполнения, и его прибыль вновь равна 0,06 руб.

Рассмотрим алгоритм действий арбитражера в примере в общем виде. Если опцион пут стоит дороже, чем предполагается условиями паритета, то равенство (9.1) превращается в неравенство:

или

В этом случае можно получить арбитражную прибыль.

Представим левую часть неравенства (9.2) как первый портфель, правую часть - как второй. Так как первый портфель дешевле второ­го, его следует купить, второй - продать. Покупка первого портфеля означает, что арбитражер покупает опцион колл, продает опцион пут и осуществляет короткую продажу акции. Полученные от операции средства он размещает на депозите до момента истечения опцио­нов. В этом состоит суть операции продажи второго портфеля.

Если опцион пут стоит дешевле равновесной цены, то возникает следующее неравенство:

или

В этом случае первый портфель следует продать, так как он стоит дороже второго портфеля.

т. е. инвестор продает опцион колл, покупает опцион пут и акцию. Для этого он занимает деньги. В этом состоит суть операции покупки второго портфеля.

Паритет опционов показывает, что если S = X , то опцион колл должен стоить больше опциона пут. Чтобы увидеть это, перепишем формулу (9.1) следующим образом:

Если S = X, правая часть уравнения (9.4) будет положительной

9.4.1.