<<

↑

>>

Биномиальная модель оценки премии опциона на фьючерсный контракт

В рамках биномиальной модели за каждый данный отрезок вре­мени курс фьючерсного контракта может с вероятностью р пойти на

известную величину вверх или с вероятностью (l - р) вниз, как по­казано на рис.

10.8. В первом случае в конце периода стоимость фьючерса составит величину Fu , во втором - Fd, где F - курс фьючерса в начале периода; и = 1 + процент прироста цены контрак­та; d = 1 - процент падения цены контракта.

Рис. 10.8. Динамика цены фьючерсного контракта в рамках про­стой биномиальной модели

Сформируем портфель без риска из опциона колл и фьючерсных контрактов: продадим один опцион колл и купим И единиц фьючерсных контрактов. Стоимость портфеля в начальный момент времени равна:

где с0 - премия опциона в момент его заключения;

И - количество фьючерсных контрактов;

F- фьючерсная цена при заключении опционного контракта.

Если пренебречь условием внесения начальной маржи, то откры­тие фьючерсной позиции ничего не стоит инвестору. Поэтому стои­мость портфеля просто равна цене опциона, т.е. с0.

В конце периода в случае роста фьючерсной цены стоимость портфеля составит:

в случае падения цены будет равна:

где си и с, - стоимость опциона соответственно в случае роста и

падения фьючерсной цены;

h(Fu - F) и h(Fhspace=0 vspace=0 align=left> как риск-

или

Мы получили оценку стоимости европейского опциона на фьючерс­ный контракт в рамках однопериодной биномиальной модели.

Рассмотрим случай, когда до истечения срока действия опциона два периода. Фьючерсная цена в этом случае может принять в конце второго периода три значения: Fu2, Fud, Fd2 (см. рис. 10.9). Про­анализируем вначале второй период. Он состоит из двух однопери­одных моделей. В первой из них цена опциона в начале периода равна си, а в конце периода принимает значения с1Ш или cud. Во

второй из них цена опциона в начале периода равна cd, а в конце cdu или cdd. Значения си и cd можно определить таким же обра­зом, как в случае с одним временным периодом:

и

где индекс j показывает количество периодов, когда цена фьючерса возрастала из общего числа периодов п.

Формула (10.42) говорит о том, что цена опциона равна дисконтиро­ванной стоимости суммы ожидаемых выплат по контракту к моменту его истечения.

показывает вероятность того, что фьючерсная

цена будет расти в j периодах из п периодов и падать в (л - /) перио­дах с учетом всех возможных комбинаций ее роста и падения.

менту истечения контракта, если фьючерсная цена росла в j перио­дах на величину и и падала в п-j периодах на величину d .

При расчете премии имеют значение лишь слагаемые, когда оп­цион оказывается выигрышным к моменту истечения контракта, по­скольку остальные слагаемые обращаются в ноль. Поэтому, если через к - обозначить число подъемов фьючерсной цены, чтобы оп­цион оказался с выигрышем, то формулу (10.42) можно переписать как:

В формуле (10.43) суммирование значений в числителе начинается с периода к. Опцион будет выигрышным к моменту его истечения, если:

или

По сравнению с формулой (10.43) здесь учтены следующие измене­ния. Стоимость опциона пут перед моментом истечения равна

ной цены вверх, в результате которых опцион колл становится выиг­рышным. Поэтому опцион пут будет выигрышным, если количество движений фьючерсной цены вверх не превысит величину к -1.

Чтобы воспользоваться биномиальной моделью для практиче­ских целей, необходимо определить значения роста и падения фью­черсной цены, т.е. величины и и d. Процесс, которому следует динамика фьючерсной цены, является винеровским.19 Биномиальное распределение должно быть построено таким образом, чтобы при делении периода действия опционного контракта на большое коли­чество периодов, биномиальный процесс сходился к винеровскому.

hspace=0 vspace=0> и