<<
>>

Биномиальная модель оценки премии опциона на фьючерсный контракт

В рамках биномиальной модели за каждый данный отрезок вре­мени курс фьючерсного контракта может с вероятностью р пойти на

известную величину вверх или с вероятностью (l - р) вниз, как по­казано на рис. 10.8. В первом случае в конце периода стоимость фьючерса составит величину Fu , во втором - Fd, где F - курс фьючерса в начале периода; и = 1 + процент прироста цены контрак­та; d = 1 - процент падения цены контракта.

Рис.

10.8. Динамика цены фьючерсного контракта в рамках про­стой биномиальной модели

Сформируем портфель без риска из опциона колл и фьючерсных контрактов: продадим один опцион колл и купим И единиц фьючерсных контрактов. Стоимость портфеля в начальный момент времени равна:

где с0 - премия опциона в момент его заключения;

И - количество фьючерсных контрактов;

F- фьючерсная цена при заключении опционного контракта.

Если пренебречь условием внесения начальной маржи, то откры­тие фьючерсной позиции ничего не стоит инвестору. Поэтому стои­мость портфеля просто равна цене опциона, т.е. с0.

В конце периода в случае роста фьючерсной цены стоимость портфеля составит:

в случае падения цены будет равна:

где си и с, - стоимость опциона соответственно в случае роста и

падения фьючерсной цены;

h(Fu - F) и h(Fhspace=0 vspace=0 align=left> как риск-

Будем рассматривать величинь
где R - 1 + ставка без риска.

или

Подставив значение h из (10.34) в (10.35) или (10.36), получим:

нейтральные вероятности, обозначив их соответственно через р и (l - р). С учетом сказанного формула (10.37) принимает вид:

Мы получили оценку стоимости европейского опциона на фьючерс­ный контракт в рамках однопериодной биномиальной модели.

Рассмотрим случай, когда до истечения срока действия опциона два периода. Фьючерсная цена в этом случае может принять в конце второго периода три значения: Fu2, Fud, Fd2 (см. рис. 10.9). Про­анализируем вначале второй период. Он состоит из двух однопери­одных моделей. В первой из них цена опциона в начале периода равна си, а в конце периода принимает значения с1Ш или cud.

Во

второй из них цена опциона в начале периода равна cd, а в конце cdu или cdd. Значения си и cd можно определить таким же обра­зом, как в случае с одним временным периодом:

и

Подставив значения си и cd из формул (10.39) и (10.40) в формулу (10.38), получим:

где индекс j показывает количество периодов, когда цена фьючерса возрастала из общего числа периодов п.

Формула (10.42) говорит о том, что цена опциона равна дисконтиро­ванной стоимости суммы ожидаемых выплат по контракту к моменту его истечения. Весь срок обращения опциона разбит на п периодов. Соот­ветственно в знаменателе R" - это коэффициент дисконтирования, который учитывает ставку без риска и количество периодов. Числитель показывает ожидаемое значение суммы выплат по опциону с учетом вероятности каждого конкретного исхода. Выражение

показывает вероятность того, что фьючерсная

дает выплату по опциону к мо­

цена будет расти в j периодах из п периодов и падать в (л - /) перио­дах с учетом всех возможных комбинаций ее роста и падения.

менту истечения контракта, если фьючерсная цена росла в j перио­дах на величину и и падала в п-j периодах на величину d .

При расчете премии имеют значение лишь слагаемые, когда оп­цион оказывается выигрышным к моменту истечения контракта, по­скольку остальные слагаемые обращаются в ноль. Поэтому, если через к - обозначить число подъемов фьючерсной цены, чтобы оп­цион оказался с выигрышем, то формулу (10.42) можно переписать как:

В формуле (10.43) суммирование значений в числителе начинается с периода к. Опцион будет выигрышным к моменту его истечения, если:

\\ — /

Чтобы определить значение к, возьмем натуральный логарифм от обеих частей неравенства (10.45). Получим:

Из неравенства (10.46) следует;, что к должно быть целым числом, большим чем:
Если к больше п, то с = 0, так как фьючерсная цена за все перио­ды п не превысит цену исполнения (А).

Полученную модель можно применить и для определения премии опциона пут. Она имеет вид:

или

. Через к обозначено количество движений фьючерс­

По сравнению с формулой (10.43) здесь учтены следующие измене­ния. Стоимость опциона пут перед моментом истечения равна

ной цены вверх, в результате которых опцион колл становится выиг­рышным. Поэтому опцион пут будет выигрышным, если количество движений фьючерсной цены вверх не превысит величину к -1.

Чтобы воспользоваться биномиальной моделью для практиче­ских целей, необходимо определить значения роста и падения фью­черсной цены, т.е. величины и и d. Процесс, которому следует динамика фьючерсной цены, является винеровским.19 Биномиальное распределение должно быть построено таким образом, чтобы при делении периода действия опционного контракта на большое коли­чество периодов, биномиальный процесс сходился к винеровскому. Мы получим такой результат, если и и d будут иметь следующие значения:

hspace=0 vspace=0> и

где а - стандартное отклонение доходности, рассчитанной на осно­

ве фьючерсной цены, т.е. величинь

ш - период времени, представленный в долях года.

Биномиальную модель можно использовать для оценки премии американских опционов на фьючерсные контракты. Различие моде­лей для европейских и американских опционов аналогично случаю американских и европейских опционов на акции, рассмотренном в параграфе 10.1 4.

<< | >>
Источник: Буренин А.Н.. Форварды, фьючерсы, опционы, экзотические и погодные производные М, Научно-техническое общество имени академика С.И. Вави­лова, 2005, - 534 + 6 с. 2005

Еще по теме Биномиальная модель оценки премии опциона на фьючерсный контракт:

- Авторское право - Адвокатура - Административное право - Административный процесс - Антимонопольно-конкурентное право - Арбитражный (хозяйственный) процесс - Аудит - Банковская система - Банковское право - Бизнес - Бухгалтерский учет - Вещное право - Государственное право и управление - Гражданское право и процесс - Денежное обращение, финансы и кредит - Деньги - Дипломатическое и консульское право - Договорное право - Жилищное право - Земельное право - Избирательное право - Инвестиционное право - Информационное право - Исполнительное производство - История государства и права - История политических и правовых учений - Конкурсное право - Конституционное право - Корпоративное право - Криминалистика - Криминология - Маркетинг - Медицинское право - Международное право - Менеджмент - Муниципальное право - Налоговое право - Наследственное право - Нотариат - Обязательственное право - Оперативно-розыскная деятельность - Права человека - Право зарубежных стран - Право социального обеспечения - Правоведение - Правоохранительная деятельность - Предпринимательское право - Семейное право - Страховое право - Судопроизводство - Таможенное право - Теория государства и права - Трудовое право - Уголовно-исполнительное право - Уголовное право - Уголовный процесс - Философия - Финансовое право - Хозяйственное право - Хозяйственный процесс - Экологическое право - Экономика - Ювенальное право - Юридическая деятельность - Юридическая техника - Юридические лица -