Риск-нейтральная оценка премии за опцион

Не приводя здесь соответствующих результатов, остановимся на частном варианте одноходовой двухценовой неопределенности, который иллюстрирует данный подход. Для-этого заменим 5 и В в способе определения премии (9) их выражениями (10). В результате получаем:

с (Фи "Фч)с Ф„0 + <0-ф,,р + и) "БДц-ф н~ (и - (1)(1 + г)

(1 + Г)ф„ - (1 + Г)ф„ - (1 + <РФ„ + (1 + и)ф„ (г - (1)ф„ + (и - Г)ф„ (и - с!)(1 + г) " Си - <1)0

Итоговое выражение цены запишем как взвешенную сумму дисконтированных на начало периода выплат (6):

" Уи , (и-г).. <Рл (11)

(и-<1) (1+г) (и-<1) 0 + 0\'

Обозначим:

Р Р = Си (12)

(и-а)\' " (и-<1)

Гак как Ри + Р<1 1 и и > г > <3, то есть 0 < Ри, Ра < I, то Ри и Ра можно трактовать как вероятности двух взаимоисключающих исходов некоторой случайной величины.

Ассоциируем эти вероятности с возможными значениями случайного курса Б, то есть постулируем следующий ряд его распределения:\r\nБ 5(1 Б,,\r\nР Р„\r\n

Заметим, что образованные таким образом вероятности не имеют ничего общего с истинными вероятностями верхнего 8и и нижнего Ба (за исключением малоправдоподобного совпадения) ценовых значений. То же, естественно, относится и к определяемым с их помощью аналогам числовых характеристик случайных величин, например к математическому ожиданию и дисперсии.

Вместе с тем их использование позволяет значительно упростить рас-четы и придать им изящную смысловую интерпретацию.

По правилам теории вероятностей наличие функциональных зависимостей между ценой акции 8 и ее доходностью р = (Б - Бо) / 50, а также размером платежа по опциону Ф = тах(0; Б - К) позволяет перенести введенные для цен Бц, Ба вероятности Ри, Рй на соответствующие им возможные значения случайных величин р и Ф.

Пользуясь вероятностями Р„ и Ри, найдем для каждой из таблиц сумму взвешенных по ним табличных значений и, основываясь на вероятностных аналогиях, договоримся толковать эти суммы в качестве математических ожиданий соответствующих случайных величин: цены Б, доходности р и платежа Ф. С учетом нашего соглашения получим, применяя формулы (12), следующие ожидаемые значения фигурирующих показателей: \r\n

E(S) - PUSU + PdSd - + u) + 7^SU(1 + d) = S (1 + r),

(u-d) (u-d)

(r - d)cpu + (u - r)rpj

E(p).PBu + P-d.^u + ^d-r, (u - d) (u - d)

Е(Ф) = РиФи + Pdcpd =

i1-\' - \'-v

Отсюда видно, что ожидаемая доходность акции равняется значению безрисковой ставки г,

E(S) = So(l + Е(р)), а цена опциона С, определяемая формулой (11), совпадает с дисконтированной на безрисковый процент г величиной ожидаемого платежа:

С--^. (13)

(1 + г)

Переходя к подробной записи, получим так называемую риск- нейтральиую оценку премии:

^ г. <Р,1 т^ . Ф, I

0 + г) (4 + г>

Приписываемая этой оценке нейтральность объясняется тем, что способ ее расчета сродни рассуждениям инвестора, который пренебрегает риском своих вложений. В самом деле, дисконтируя по безрисковой ставке г, покупатель опциона придет к такой оценке его текущей стоимости (13), которая игнорирует возможные несоответствия будущих поступлений их ожидаемой величине (учитывает математическое ожидание случайной величины Ф и не учитывает ее дисперсии). Выбирая между банковским счетом и опционом, он сравнивает ожидаемый доход Е(Ф) с начисляемой по вкладу суммой С(1 + г) и выбирает уровень С, руководствуясь условием эквивалентности:

Е(Ф) - С(1 + г). (14)

То же относится и к владельцу синтетического опциона, который, пользуясь псевдовероятностями Ри и Ра, приравнивает ожидаемую доходность своих вложений в акцию к доходности безрискового депозита:

Рии + Р^ = г. (15)

Этим они оба отличаются от небезразличных к риску участников рынка ценных бумаг.

Непочтительному отношению к риску, которое обнаруживает наблюдаемый нами инвестоп, соответствуют нейтральные по данной характеристике функции полезности дохода и уровневая.

Действительно, если полезность денег измерять их количеством, то условие (14) будет означать, что при равенстве ожидаемых результатов полезность безрискового варианта совпадает с ожидаемой полезностью нестабильного дохода Ф. Отсюда понятно, что поведение инвестора, опирающегося на условие безразличия (14), может быть истолковано линейной функцией, нейтральной к риску: ее ординаты - полезность - совпадают с ее абсциссами - доходом. Аналогичное рассуждение и с тем же выводом можно провести и по отношению к равенству (15).

Вкладчик, использующий критерии\'равновыгодности (14), (15), нацелен на ожидаемый доход и не обращает внимания на сопутствующий ему риск. Очевидно, что в терминах уровневой полезности такому "мировоззрению" также будет отвечать нейтральность к риску. Графически это изображается картой кривых безразличия, представленных на рис. 276 первой части.

Однопериодное хеджирование с помощью риск-нейтральной оценки

Не обсуждая далее содержательных аспектов, перейдем к применению данного метода для решения защитных задач. Хотя приводимые ниже расчеты носят простой арифметический характер, соответствующие вычисления становятся гораздо более сложными и трудоемкими в случае большого числа этапов (периодов) и более сложных моделей, описывающих эволюцию цен.

Пример. Биржевой брокер, выполняя поручение своего клиента купить валюту, продоет ему опцион "колл" но 100 единиц требуемой тому валюты (а). В качестве средства платежа выступает волюта р, и пусть So, S] - стоимости 100 ед. валюты а, измеряемые в единицах валюты р в начале и в конце периода.

Очевидно, что с ростом курса эмитент лишится суммы: Фи=30(р),

в случае же удешевления - потерь не произойдет и, следовательно, Желая гарантированно избежать возможного проигрыша = 30 (р), брокер обращается к методу синтетического опциона и применяет его для определения параметров хеджирования (5, В) и цены опциона С.

1^(3-11114 V А П\\* Г» »ГЛ 14лйпо11 ЛЛУППИЛЛТИ по п мччч »л».«

а ч-\'шм 1*1 ьлу1 V,«- »ч/ V VI V/ дидип) . 11 ипд^т д^лидпи^ 1 г» оси! IV/ I Пи1 и

рынка;

и = -

150 5 150 5

П одета вив эти значения в уравнение (!5) подучим что и найдем псевдовероятности:

рЛ.Р\'.Л

"" 3 "и 3"

Согласно (13) величина премии для опциона

С = — х 30 = 20 3

и по формулам (10)

30 (I-*

30-

30 1 „ 5

\\5 5) ^5 5

Тогда начальный капитал (9) (начальная стоимость портфеля) может быть записан в виде:

^150-30 = 20.

3

Заметим, что величину заемного капитала В можно было получить и из соотношения (9), что, естественно, дает тот же результат:

В -—150- 20 -30.

3

Следуя найденному решению, брокер (он же эмитент опциона) возьмет в кредит 30 ед. валюты р, в нашем случае беспроцентно (г = 0), добавит к занятым деньгам выручку от продажи опциона (С = 20 (р)) и полученную сумму 50 (р) конвертирует (по курсу 100 (а) = 150 (р)) в валюту а. Это даст ему 100 : 3 = 33,33 (а) единиц этой валюты.

Если в конце срока произойдет поднятие валюты а, то 33,33 (а) будут (по курсу 100 (а) = 180 (Р)) давать 180 : 3 = 60 единиц валюты р, что в точности равно той сумме, которую эмитент должен вернуть на банков \r\nский счет (ЗО Ці)) и по условиям контракта выплатить покупателю (180 - 150 = 30 ((*)).

Если же происходит понижение курса валюты а, то выплачивать по-купателю ничего не надо (cpd = 0), но необходимо вернуть долг (30 (р)). Но 33,33 (а) по новому курсу 100 (а) = 90 (р) в точности дадут 30 (р), что эмитент и вернет на банковский счет.

Заметим, что в этом числовом примере надписатель опциона остается при своих и в случае поднятия валюты а, и при ее снижении (ничего не выигрывает и ничего не проигрывает). Вместе с тем, будучи брокером, он получает от клиента, помимо платы за опцион С, еше и вознаграждение, скажем, комиссионные, за предоставленную возможность участия на рынке. Не проводя хеджирования, эмитент подвергал бы свой брокерский доход опасности валютного риска, который ему удается свести на нет с помощью синтетического опциона.

Пример. Изменим ставку г в условиях предыдущей задачи на ненулевую

и для арифметических удобств положим г = 0,2.

Убедитесь, что при этой ставке премия за опцион увеличится и достигнет величины С = 25 (Р), заемный капитал снизится до В = 25 (р), а

«-валютное наполнение портфеля останется тем же (§ = ІЛ; проинтер-

I "3J

претируйте хеджирующие свойства сформированного вами портфеля.