1.4. Портфель из акций и банковского счета (портфель, защищающий

Вначале несколько наводящих соображений. Пусть на некоторую дату вы имеете платежное обязательство. Характер ваших финансовых операций таков, что его размер определяется ценовой предысторией некоторых активов, считая от текущего момента и до срока платежа.

Подобная неопределенность будущей обстановки чревата для вас риском невыполнения контрактных условий, и вы заинтересованы в том, чтобы противостоять этому риску и обслужить задолженность с наименьшими затратами начального капитала.

Предлагаемые финансовой математикой методы позволяют выявить условия (характеристики рынка ценных бумаг), при которых хеджирование осуществимо, и если это так, то определить тот начальный капитал, который это хеджирование делает возможным.

Ключевая идея, объединяющая данные методы, сводится к построению такого защитного портфеля, состоящего из "вовлеченных" рисковых активов (акций) и банковского счета (облигаций), что на дату платежного поручения случайная стоимость портфеля гарантированным образом воспроизводит любой из вариантов реализованной задолженности, то есть будет не меньше. В теории эти варианты отождествляются с выплатами эмитента по опциону, а цена поаеднего используется для определения первоначального капитала.

Представленная здесь ситуация гораздо сложнее той частной задачи, на которой мы объясним, как решаются поставленные вопросы. Принятые упрощения сводятся к рассмотрению одного единственного актива (акции) с одношаговой "ценовой" памятью и биномиальным значением будущего курса (1). Исходя из этих предположений в качестве удобной модели, пригодной для описания случайного платежного поручения, воспользуемся колл-опционом, точнее теми его правилами (6), которые определяют потери продавца в пользу покупателя. На примере данной модели покажем, как хеджируются обязательства посредством так называемого синтетического опциона, то есть портфеля, воспроизводящего Платежи по опционному контракту.

X й ЛЖ И 2 О 5 3 Н И 5 С И НТ9ТИ Ч еСК.и м рпциОИОМ "кО-ПЛ"

В силу хеджирующих достоинств минусовой корреляции между акцией и опционом (см. п. 1) разумно часть средств в составе конструируемого портфеля вложить в акции и пусть 5 - число акций, приобретенных на эти средства. Эта покупка обойдется хеджеру (страхователю) в сумму:

1и = ЬБц,

которую он частично соберет из выручки С от продажи опциона, а остаток покроет денежным займом В, взятым под безрисковую ставку г:

С + В = бБо.

Таким образом, цена портфеля в начале периода (начальный капитал) определяется ценой колл-опциона, то есть

580 - В = С. (9)

Капитал в конце периода складывается из стоимости входящих в портфель акций, уменьшенной на выплаты по кредиту: бБ - В(1 + г).

Отсюда видно, что будущая цена портфеля является дискретной случайной величиной с двумя возможными значениями: 58и - В(1 + г) и бБй - В(1 + г), которым однозначно соответствуют значения случайной выплаты по опциону <ри и (6).

В результате решение задачи хеджирования свелось к поиску таких значений 5 и В, при которых повариантные обязательства по опциону покрываются повариантными размерами нашего капитала. Очевидно, что отвечающие этим требованиям условия воспроизведения запишутся в виде следующей системы уравнений:

Г58ц-В(1 + г) = Фи, [бБ, -В(1 + г)-ф„.

Из этих двух уравнений получаем:

5 = ф" " ф<| В = ~фА 5ц \' (5и - 5а>(1 + г>

или с учетом соотношений (1),

ЧР" ~ЧРч в ФмО + Ф-фаО + ч) (10) Б„<и - сі) * " (и - сі)(1

При построении данного портфеля я = (5, В) использовались те же составляющие: акция, опцион, банковский счет и с теми же "периодными" свойствами, что и для хеджирования акции в п. 3. Поэтому, уединив акцию и приведя к ней объемные показатели рассмотренной задачи, получим тот же, что и в п. 3, защитный портфель с коэффициентом хеджирования

1 п

п = — и начальным капиталом і = ° . Отсюда и из условия (5) найдем 6 0 б связь с пипимртпцмм синтетического оппиома-

= ->В-6І ~ ~ Пфц - ^ ~ Пф"

п " " " п(1 + г) " п(1 + г)

и, пользуясь ею, перепишем (9) в виде: п п

что совпадает с определением (3). Таким образом, независимо от объекта хеджирования, будь то акция (п. 3) или обязательства по опциону (п. 4), теоретическая цена опциона будет одна и та же.