1.5. Многопериодное хеджирование

Биномиальная однопериодная модель сводит эволюцию цены к достижению ею одного из двух возможных значений. В реальности таких значений может быть бесконечно много, и окончательный выбор определяется характером изменения цены как случайной функции времени.

К этому семейству относится, в частности, рассмотренная выше элементарная модель биномиального ценообразования на период. Ее Можно расширить на любое число периодов. При этом коэффициенты и и d, а также ставка процента г могут меняться от периода к периоду. Хотя на каждом Шаге возможна только Два ценовых значения, при большом числе периодов это позволяет аппроксимировать достаточно йлавно изменяющуюся цену с широким диапазоном возможных значений на дату окончания. Например, если опционы исполняются в кбйце торгового дня, "периодом" можно считать один час (соответственно пйдЬбрйв вели- мины и, d и г). Если до конца дня остается 7 часов, то финальная цена акции в соответствии с многопериодной биномиальной моделью может иметь до 27 = 128 значений.

Формулы 5-хеджирования

Не вдаваясь в теоретическое многообразие применяемых в многопе- риодном случае методов, ограничимся примером двух периодов, который тем не менее сохраняет специфику динамического хеджирования и ценообразования, используемых в общем случае.

Добавим к рассмотренной ранее одноходовой модели еще один период и допустим, что в зависимости от реализованного в конце первого периода ценового значения дальнейшее движение цены происходит по тем же правилам и в тех же пропорциях и и d.

Здесь согласно сделанным допущениям

= $о(1 + ^ = + й) - высокая и низкая цены в конце периода 1;

Яш = воО + и)2, в*, = ЗД! + <1)2, в* = Ба,, = воО + и)(1 + с!) - высокая, низкая и промежуточная цены в конце периода 2.

В общем случае, если тангенсы прямолинейных отрезков меняются в зависимости от промежуточных состояний, Бщ) я 8Л|; в рассматриваемом упрощенном варианте эти тангенсы неизменны, и поэтому число различных возможных у финальной цены значений будет равно 22 - 1, то есть трем.

Решая задачу покрытия обязательств для двухпериодного опциона "колл", определим цены Си и Са, воспроизводящих эти обязательства портфелей отдельно в каждом промежуточном состоянии 5и и Ба, что при попятном движении к вершине дерева Б0 дает, по аналогии с одно- периодным случаем, требуемый для хеджирования начальный капитал С, то есть цену опциона.

Сочетая выручку от продажи опциона по данной цене с заемными средствами, его надписатель проводит попериодное хеджирование (прямое движение ОТ вершины Бо), манипулируя с этой целью количеством акций и объемом заемных средств в составе защитного портфеля (синте-тического опциона). В начальный момент он подгоняет число акций 60 таким образом, чтобы обеспечить приписываемые защитному портфелю стоимости Си и Са на конец первого периода. Очевидно, что условия такой воспроизводимости имеют следующий вид:

508и - В0(1 + г) = Си, - Во(1 + г) = Са, С -С.

и, значит, &„ - — —, В0 = 6о Бо - С.

и """ с!

Аналогично в начале второго периода, когда обстановка прояснится, производится окончательная ревизия защитного портфеля с помощью все той же схемы, примененной к одному из реализованных состояний 8и или Бф

Для верхнего узла соответствующие условия запишутся в виде:

бкДш - В0(1 + Г)2 - 58п(61и - 60)В,(1 + Г) = <рщ1,

б,^ - В„(1 + г)2 - где 5§ПХ (= 1 при X > 0, = 0 при X = 0, = -1 При X < 0), а 5?П(&1Ц - б0)В| - изменения банковского счета, обусловленные продажей или покупкой акций в зависимости от соотношения чисел б|„ и бо-

Отсюда требуемое число акций? \r\nторой фирмы.

Используя данный пример, проделаем все расчеты, необходимые для применения o-хеджирования в двухпериодной биномиальной модели. В качес!ве отправной точки зададимся следующими числовыми характеристиками опциона: срок исполнения - два периода, цена исполнения - 500 д. е. (К. = 500). Будем, кроме того, считать, что безрисковый процент г и возможные доходности d и и базовой акции не меняются и по каждому из периодов имеют следующие одни и те же значения: г = 10%, d = - 20%, и = 20%. Приступая к построению динамического портфеля, мы исходим из возможности продавать и покупать акции по действующим текущим ценам, причем цена на начало первого периода известна и равна 500 д. е. (S0 = 500).

Бинарное дерево иен. Вычисления начнем с определения возможных по периодам ценовых значений. После закрытия каждого периода рыночная цена акции может либо увеличиться, либо пойти вниз в зависимости от реализованного значения индекса цен: 1 + И = 1,2 ИЛИ 1 + d = 0,8. Таким образом, переоценка курса акций происходит в ходе возможных перемещений по ценовым уровням первого и второго периодов:

Би = 1,250 = 600, Ба = 0,850 = 400 и соответственно (рис. 4)

Бцц = 1,25и = 720, 51К1 = 0,85и = 480, = 1,25а = 480, 8<и = 0,8$,, = 320. В результате будем иметь дерево цен с тремя конечными вершинами, где числа в узлах показывают возможные значения цены по каждому периоду (рис. 5).

Курс * \r\n

\r\n

S»=500

S„=720

S^S^SO

S«=320 \r\n

\r\n1

200

>Период

Рис

П !> тп П і

- и^гс| -

где Р„ + Р,^ = 1. Решая, получим Рц = 0,75; Р<) = 0,25.

Платежные обязательства по опииону. Рассчитаем возможные выплаты эмитента по опциону в зависимости от реализовавшегося ценового сценария на дату исполнения. Применяя формулы (6) для каждого концевого узла, найдем терминальные значения платежных обязательств эмитента или выступающего от его лица брокера. Двигаясь сверху вниз, получим:

<р11и = шах(0; 720 - 500) = 220,

<рис| = шах(0; 480 - 500) = 0,

Фм = тах(0; 320 - 500) = 0.

Цена опциона. Для определения цены воспользуемся принципом воспроизводимости (9), (10), (13) последующих по отношению к каждому узлу ценового дерева (рис. 4) платежей. В рассматриваемом двухперибд- ном случае требуемые для этого вычисления сводятся к последовательному применению данного принципа с помощью трех однопериодных моделей. Две из них соответствуют движению от концевых вершин к промежуточным состояниям Бц и Рассматривая вспомогательный (не-существующий) однопериодный опцион по верхнему из этих узлов, найдем справедливую премию (цену) (13):

0,75 * 200=150 1,1

Для нижнего узла расчетная по второй вилке цена (13) будет нулевой: Сй = 0.

Это, впрочем, понятно и без расчетов и объясняется отсутствием платежных обязательств, то есть риска потерь, по нижнему сценарию (ф<и = ф^, = 0).

Замыкая метод воспроизводимости промежуточных капиталов, в нашем случае Си = 150 и Сй = 0, на "текущую" вершину Бо получим по формуле дисконтирования средней стоимости (13) искомую цену двухпе- риодного опциона:

с и 075x150 _ } 1,1

то есть величину необходимого для хеджирования начального капитала.

Коэффициенты д-хеджмювания. Для двух и более периодных опционов двухмерностИ защитного портфеля (акция, банковский счет) не хватает, чтобы изначально обеспечить разовое покрытие всех обязательств.

Вычислим эти коэффициенты по данным рассматриваемого примера. Разделив разность стоимостей Cu = 15Q и Cd = 0 на разность цен Su = 600 и Sd = 400, получим начальный коэффициент:

6„ ™ 0,75.

\' 600 - 400

Для определения коэффициентов следующего периода найдем аналогичные отношения по каждому промежуточному состоянию Su и Sd, где в

качестве воспроизводимых стоимостей выступают "висячие" платежи ср,ш. ФисЬ ФсМ (конечные стоимости защитных портфелей). В результате будем иметь:

220

б,„ 0,91(66), бы = 0.

1 720-480 ld

Оптимальная хеджирующая стратегия. Для того чтобы описать ее устройство, определим, какое количество акций надо держать в защитном портфеле в исходной (So) и промежуточных (Su, Sd) точках. Это можно подсчитать, если известно, какое количество колл-опционов продано в порядке первичного размещения. Для того чтобы закрыть короткую позицию (продажу) по колл-опционам (1000) длинной позицией (покупкой) по акциям, нужно умножить 1000 на вычисленные коэффициенты (6о, Sim ?|d): в начальной позиции мы имеем 1000 х 0,75 — 750, дальше снизу вверх 0 и 916,(66) » 917.

Опираясь на найденные значения коэффициентов, опишем стратегию динамического 6-хедЖирОвания. Требуемый для ее реализации капитал изымается из выручки от прбдажи опционов в объеме, равном произведению теоретически справедливой цены С на число размещенных кон- трактЬв:\' \' \' \'

С0= 102Д27) х 1000 = 102272,(72) - 102273.

В начальной позиции (п = 0) хеджеру, чтобы купить 750 акций, нужно иметь 375000 д. ед. (500 х 750). Располагая начальным капиталом Со = 102272,(72), он снимает недостающую ему сумму BQ = 375000 - - 102272,(72) = 272727,(27) с банковского счета под ставку г = 10% и приобретает требуемые ему акции в требуемом ему количестве.

Проследим, как производится перебалансировка защитного портфеля Б ответ на изменения цены базовой акции в начале второго периода (n = 1). Количество акций на начало первого периода - 750.

Если цена акции повысилась до 600 д. ед., то число акций надо довести до 917. Для этого следует докупить 567 акций, которые оплачиваются за счет дополнительного займа В!и = 100200 (600 х 167). Что будет дальше, то есть на дату истечения (п ~ 2)?

В конце срока хеджер распродает все имеющиеся в защитном портфеле акции, а выручку направляет на погашение своих обязательств - по опциону и долговых. Правила d-хеджирования таковы, что поступления от продаж должны в точности соответствовать всем платежным поручениям. Убедимся в этом. Для этого подсчитаем деньги, заработанные на продаже акций по каждому варианту (Sm„ Sl;d): верхнему, для которого выручка

Мш= 720 х 917 = 660240, и нижнему с поступлением

Mud = 480 x 917 = 440160.

Очевидно, что данные варианты тождественны по величине начисленной по займу суммы:

Z = В0(1 + г)2 + В,(1 + г) = 272727,(27) х 1,21 + 100200 х 1,1 - 440220, но различаются размерами выплат по опциону: наличием обязательства в объеме 220000 (1000 х 220) для верхнего положения и отсутствием обязательств, то есть нулевым платежом, внизу. Проверяемое условие сводится к выявлению наличия следующего баланса:

выручка = накопленный долг + обязательства по опциону.

В нашем случае из-за необходимости арифметических округлений данное тождество принимает вид двух приближенных равенств по верхнему (Suu) и соответственно нижнему (Slld) состояниям:

660240 - 440220 + 220000; 440160 - 440220,

что, впрочем, не влияет на существо дела.

Перейдем к составляющей стратегии хеджирования, которая включается в нижней точке Sd. На нисходящем отрезке траектории (S0 .-* 3d) цена снизится до 400 д. ед., а соответствующий коэффициент хеджирования 6 |d обнулится (6|d = 0). Согласно процедурам хеджирования это означает, что все содержащиеся в защитном портфеле акции (750 штук) следует продать, а выручку направить на обслуживание долга.

В этом случае (так же, как и для уже рассмотренных выше альтернатив) поступления от продажи акций

Md = 400 х 750 = 300000 в точности закроют наращенные на ту же дату обязательства по займу

Z = В0(1 + г) = 272727,(27) у. 1,1 = 299999,(9).

иЬсу,жовтіє. Независимо от варианта ценовой траектории орокер, применяющий технику синтетического опциона, полностью исключает

ПМРЬ" ирп ІЛ nvnUDIOT/\'n її ЛГ\\(>Г/,ПІІ1ЛІ 41 ІППП Mll^-I лпші лйгпитап і

priv.i\\ iivililuit//l\\vil ri L> І.чд.іилгіпп D D111UJ1ГІ ГІ 1 D I.DUH UVflJOlUJID"

ства ітри любом ІІШМОЖІШМ сценарии развития рыночной конъюнктуры.

Так, если опционы проданы по теоретической цене С = 102,(27), он ничего не выигрывает и ничего не проигрывает как в случае поднятия курса акции, так и в случае его снижения, но сохраняет при этом свои "брокерские" комиссионные. Если же ему удалось разместить контракты по цене 112,5, то есть выше теоретической на 10%, то в расчете на 1000 проданных опционов, его чистый доход, помимо комиссионных, достигнет 10227 д. е. (10,2(27) х 1000).

і ї імі\\, ч і Uvbj wApuHri і ь і5 ы і оду vi продажи J і о завышенной цс не, надо создать защитный портфель. Если этого не сделать, то при неудачном будущем можно проиграть. В нашем случае - это обязательство (puu = 220, которое не покрывается наращенной суммой начального капитала:

112,5 х (1 + 0,1)2= 136,12 < 220.

V критически настроенного читателя в отношении действии хеджера может возникнуть целый ряд вопросов. В частности, если акция двухгодичная и выплата происходит в конце второго периода, надо ли что-то предпринимать в первый перйод. Может быть, лучше дождаться его окончания, определить по схеме, в какой точке мы оказались, и после этого по однопериодной модели, всегда дающей верный результат, найти коэффициент хеджирования S и составить правильный портфель?

Однако такая логика ожидания не дает желаемого результата. Следуя ей, "примерный" хеджер приходит в точку Su = 600 с все еще пустым портфелем. Заполняя его в соответствии с коэффициентом 6h, = 0,91(66), он Должен будет купить 917 акций по цене 600 д. ед., то есть заплатить 550200 д. ед. Между тем, последовательно хеджируясь, мы могли бы купить это же количество акций по частям и в итоге затратить значительно меньше средств.

Но если до конца первого периода мы ничего не предпринимали, то дальше хеджироваться бесполезно, так как полностью исключить риск непокрытия обязательств уже не удастся. Подтвердим это с помощью все того же прймера. Начальный капитал Со = 102272,(72) на конец первого периода Возрастет до ёеличины:

С0(1 + 0,1) = 112499,(9) - 112500,

что меньше стоимости требуемых нам 917 акций на 437700 д. ед. Заняв эту недостающую сумму, мы купим акции и одновременно примем на себя обязательства вернуть в конце второго периода "набежавший" долг в размере 437700(1 + 0,1) = 481470 д. ед.

В зависимости от реализованного на конечную дату варианта неопределенности к этому долгу в верхней точке (БЩ,) добавится платеж по опционам (1000фии), равный 220000, в нижней же точке (Б^) не добавляется ничего (ф1К* — 0),

Таким образом при наименее благоприятном верхнем исходе итоговое обязательство составит 701470 денежных единицы (481470 + 220000), которые не покрываются выручкой от продажи акций, равной 660240 д, ед, (720 х 917), При этом недостача в 4,1230 д. ед. соответствует 5,9% от требуемой суммы и, следовательно, отсутствует необходимая натич-

иы пг»ыгч/т/>то\\/ат ИРИ\\гм/о 1_iы /ЛТ 1/лтлплгл ир »/паплли ич^\'лимтира

I Ш Г1 I IV] и^ VI I IV* лу 1и| Г1 V/ 1 * V I/. (IV ^ДМ^ ¦ ^и Г 1 ¦ •

В завершение примера обратим внимание на одну особенность хеджера, которая коренным образом отличает его от спекулянта. Последний, как мы уже неоднократно отмечали, стремится покупать акции тогда, когда они дешевле, и продавать их, когда они подорожают. Хеджер же делает все наоборот. Так, в нашем примере он при подъеме в точку ои (удорожание) докупал к имеющимся 750 акциям еще 167 штук, а при скатывании в нижнюю точку (удешевление) полностью распродавал имеющиеся у него 750 акций. Это Объясняется тем, что г1ри Подъеме курса на завершающий срок обязательства по колл-опциону растут и, следовательно, растут требования к направляемым па их покрытие средствам; источником же этих средств служит выручка от распродажи содержащихся в защитном портфеле акций.

Обобщая, можно сказать, что "крылатый" совет спекулянтам от барона Ротшильда "Покупайте дешево и дорого продавайте" в назидание хеджерам оборачивается отрицающей его формулой "Покупайте дорого и продавайте, когда дешево".

Продемонстрированная в примере техника расчетов единообразно распространяется на многошаговый вариант, при этом, чем короче назначается шаг, тем развесистее получится дерево биномиальной модели и тем точнее она будет имитировать процесс ценовой эволюции. Процедуры, копирующие изложенные выше правила обратной разметки узловых цен и их прямого воспроизведения, легко алгоритмизируются и переносятся на ЭВМ. Это, в свою очереди позволяет автоматизировать расчеты, связанные с поэтапным пересмотром защитного портфеля и переторговлей.

Отметим принципиальную разницу в подходах, используемых для установления рациональных курсов первичных ценных бумаг по, сравнению с теоретическим ценообразованием опционов. Если в первом сяучае цена ^читается из условия воспроизводимости ожидаемых доходов. тр для опциона определяющими являются условия воспроизводимости, но уже ожидаемых платежей по обязательствам (11). Справедливости радй, заметим, что для покупателя опциона "колл" это будут* Ожйдаемые им Поступления.

В случае п-периодного колл-опциона для однократного расчета цены следует найти современную величину ожидаемого платежа, иначе говоря,

(1 + г)"

Несмотря на то что выручка С от продажи опциона покрывает ежи даемый платеж М(Ф), риск несоответствия, измеряемый среднеквадрати- ческим отклонением

о(Ф) = М[Ф - М(Ф)Р = М[Ф - С(1 + г)»|2, будет сохраняться. Для того чтобы избавиться от этого риска, продавец опциона может воспользоваться представленными в данном разделе схемами и направить свой начальный капитал С на формирование защитного портфеля.

Пример. Согласно данным базового примера случайный платеж Ф имеет три возможных значения: фии = 220, фис| - 0, фнг! = 0. Их вероятности •ожно определить с помощью известной схемы Бернулли: каждый раз происходит случайное испытание, и каждый роз может с вероятностью Ри = 0,75 произойти подъем или с вероятностью Р^ = 0,25 - спуск.

В соответствии с решеткой случайных блужданий, изображенной на рис. 5, интересующие нас вероятности будут равны:

Рии = Ри2 = 0,5625; Рис1 = РиРа + РлРи = 0,375; = Р^ = 0,0625. Отсюда ожидаемая эмитентом выплата получится как взвешенная по этим вероятностям сумма платежей фии, ф1|с| и ф^, из которых два последних равны нулю:

М(Ф) = 0,5625 х 220 = 123,75.

Дисконтируя эту величину по ставке г = 0,1 на начало, найдем цену опциона

С „1^75_102,27,

(1,1)2

что совпадает с полученным ранее результатом пошаговых расчетов.

Оценим риск платежа Ф, который можно исключить с помощью хеджирования. В отличие от относительного измерителя, которым является процентная ставка, величина платежа абсолютна, и поэтому в качестве измерителя риска воспользуемся относительным, в отличие от СКО, по-казателем: коэффициентом вариации ж = о(Ф)/М(Ф). Найдем абсолютный риск, измеряемый дисперсией:

о2(Ф) = М(Ф)2 - М2(Ф) = 0,5625 х 2202 - 123,752 = 11910,9375.

Подставляя это значение в формулу относительного измерителя, получим интересующее нас значение:

109,14 пее ае — - 0,88.

123,75

1.6. ЗиЩНтНЫе ПОртфели, ОСНОвиННЫб Ни ОПЦивНОХ "пут "