§ 3d. О связи стоимостей опционовЕвропейского и Американского типа

Из формул (1) и (2) в § За ясно, что цена (Т, х) > V(T,x), что, конечно, вполне естественно, поскольку по условиям контракта опционы Американского типа представляют возможность не просто дожидаться (терминального) момента исполнения, но и выбирать этот момент.

В настоящем параграфе приводятся некоторые результаты относительно связи пен для стандартных опционов покупателя и продавца, для которых платежные функции имеют вид д(х) = (х — К)+ и д(х) = (К — х)+ соответственно.

Будем предполагать, что А = 0.

V(T,x) = Exe-rTg(ST) (1)

V*(T,x)= sup Еxe~rTg(ST), (2)

теж?

где ж = So-

2. Совсем просто решается вопрос о соотношении стоимостей (пен) V(T, х) и V* (Т, х) в случае д(х) — (х — К)+, т. е. для опциона покупателя. В этом случае

V(T,x)=V*(T,x), (3)

и в классе Шд оптимальным является момент Ту = Т (см. § Зс).

Замечание. Подчеркнем, что если Л > 0, то результат (3) уже не имеет места, и это вызвано тем, что процесс (St — K)+)t^o при Л > О уже не будет субмартингалом (ср. с §3с).

Перейдем теперь к вопросу о величине "дефекта"

A?(X)=V*(T,x)-V(T,X) (4)

для стандартного опциона продавца (д(х) = (К — ж)+), считая Л = 0 и обозначая ж* = x*(t), 0 < і < Т, пограничную функцию между областями остановки и продолжения наблюдений для оптимального момента остановки Ту.

Теорема. В случае стандартного опциона продавца "дефект"

ГТ

До*(ж) = гКЕх / e~rul(Su < х*(«)) du. (5)

J о

Следствие 1.

ГТ

Р*, = Ру + rKESo / e~rul(Su < X* («)) du Jo

= Ке~гТФ(-у_) - 50Ф(-у+)

+ rK F e-ruФ(-y_(u,x*{u)))du, (6)

Jo

где (ср. с обозначениями в § lb)

у± 73т

и

і go , ( о2\\

У_ (и, х* (U)) = L2__ . (7)

Доказательство. Пусть

Y(t,x) = Et,xe-r(T-Vg(ST) (8)

и

Y*(t,x) = sup Еt,xe-r^\'^g(ST), (9)

remj

где д(х) = (К — х)+. Тогда для

A f(x)=Y*(t,x)-Y(t,x) (10)

находим, что

e~rtAj(x) = Et,x{e~r^g{STr) - e-rTg(ST)}, (11)

где rtT - оптимальный момент остановки в задаче (9). По формуле Ито (§ 5с, гл. III)

d(e~ru{K - Su)+) = e~ru d(K - Su)+ - re~ru(K - Su)+du, (12)

и по формуле Ито-Мейера для выпуклых функций (см. §4а, гл. VII; [395; гл. IV]; ср. также с формулой Танака (17) в §5с, гл. III)

d{K - Su)+ = -I(SU < К) dSu + ~LU{K), (13)

где

LU{K) = lim Г l(\\St -K\\^E) dt (14)

eJ-O ІЄ J о

- локальное время на [0,u], проводимое процессом S = (St)t^o на уровней.

Из (11)—(13) находим, что

гТ

е~гТ

А?(х) = -Et,x J^ d(e~ru(K - Su)+)

¦t rT

= -EtlX / e~ru{—I(Su < K)dSu + \\dLu(K)

JtJ

- r(K - SU)I{SU < K) du}

= EГ e~™{-dLu(K) +I(SU < K) JrT

x [rSu du + aSu dWu + (rK - rSu) du]}

Гт

= Et,x J ^e~ru{rKI(Su < K)du - dLu{K)}. (15)

Положим для t ^ T

T

At = Г\' e~ru{rKI(Su < K)du — dLu(K)}. . (16)

Jro

Тогда, поскольку r^f — T, из (15) получаем, что

e~rt&?(x) = E t,x[AT-At]. (17)

Представим теперь At в виде

At = А] + A2t,

где

т

А\\ = Г e~rul(Su < x*(u)){rKI(Su T

At = Г* e~rul(Su > x*(u)){rKI{Su < K)du — dLu{K)}.

JtO

Поскольку x* (и) < К для всех и < Т, то

тТ

А}= f \' e~rvl(Su < x*(u))rK du JtO

= г К f e~rul(Su Jo

Процесс .А1 = (Aj)t.g;