§ 4а. О проблематике расчетов опционов на рынке облигаций

О разнообразии опционов, многие из которых относятся к числу "экзотических" можно судить, например, по их (английским) наименованиям: up-and-out put, up-and-in put, down-and-out call, down-and-in call, barrier option, Bermuda option, Rainbow option, Russian option, knock-out option, digital option, all-or-nothing, one-touch all-or-nothing, supershares,... (cm. [232], [414], [415]).

Говоря о расчетах упомянутых опционов и других производных финансовых инструментов, следует отметить, что их методология такая же, как и в моделях, рассмотренных Ф. Блэком, М. Шоулсом и Р. Мертоном ([44], [346]) в случае (В, 5)-рынка акций. При этом снова возможны два пути - мартингальный и базирующийся на непосредственном обращении к "фундаментальному уравнению" (ср. с § § lb, с).

Последующее изложение будет относиться к расчетам стандартных опционов Европейского и Американского типа для случая, когда вместо

(В, .?)-рынка рассматривается (В, Р)-рынок, состоящий из банковского счета В = {Bt)t^T и единственной облигации с моментом исполнения Т, структура которой описывается (положительным) процессом Р = (Р{t,T))t^.T, подчиненным условию Р(Т,Т) = 1.

В соответствии с изложением в §4а, гл. III, и §5а, гл. VII, будем при описании (B,V)-рынка придерживаться опосредованного подхода, считая, что эволюция банковского счета В = [Bt)t^T такова, что

Bt = Бо exp (у г (a) ds^, (1)

где г = (r{t))t<:T - некоторый стохастический процесс процентной став-ки.

Что же касается динамики процесса цен Р = (Р (t,T))t^T облигации, то будем предполагать, что относительно исходной меры на (^t)t^T)

дисконтированные цены

= tBt

образуют мартингал.

Согласно теореме 1 из § 5а, гл.

(3)

P(i,T) = Е^ехр (-j\\(s)ds^

а в силу теоремы 2 из того же самого §5а, гл. VII, рассматриваемый (В, Р)-рынок является безарбитражным (скажем, в NA+-версии).

3. Из (1) и (3) видим, что на (В, V)- рынке динамика процессов (Bt)t^T и (P(f,T))t^T существенно зависит от структуры процесса г = (r(t))t^T- Наше основное предположение относительно этого процесса будет со-стоять в том, что это есть диффузионный гауссовско-марковский процесс, описываемый стохастическим дифференциальным уравнением

dr{t) = (a{t) - P{t)r{t)) dt + 7(t) dWt, (4)

порождаемым винеровским процессом (Wt)t^T и (неслучайным) начальным условием г(0) = го- Функции a(t), /3(f), 7[t) предполагаются детерминированными, причем

/

J о

ЛТ(|а(*)| + |/?(*)|+72(*))<й<оо. (5)

В этих предположениях уравнение (4) имеет, и притом единственное, (сильное) решение

где

g(t)=exp(- J 0(з)(Ь) (7)

- фундаментальное решение уравнения

g(t)=l- Г 0(s)g(s)ds. (8)

Jo

Замечание 1. Согласно изложению в §4а, гл. III, модель (4) есть не что иное, как модель Холла и Уайта, частными случаями которой являются модели Мертона, Васичека, Хо и Ли (см. формулы (14), (7), (8) и (12) в указанном §4а).

4. Из марковости процесса г = (r(t))t^y следует, что

гТ

(9)

Р(«,Т) = Е

ехр

(-/ Г(.)*)

Обозначим /(t, Т) = J r(s) ds. Тогда из (6) нетрудно найти, что

du, (10)

(П)

E(/(t,T)|rW)=rW^ + [JtU9Ma{s)dS.

D(l(t,T)\\r(t)) = ^j(s)duj ds.

Поэтому из (3) следует, что для

P(t,T) = Е[ехр(-/(«,Т)) |r(t)] =exp(iD(/(<,r)\\r(t))-E(l(t,T) |r(t))) имеет место следующее представление:

P(t,T) = ехр(A(t,T) - r(t)B(t,T)),

(12)

где

А(,-г)=UY йЬЧ v ЛГ 9Ma{\')d-h<із>

«Ю\'ГШ*-

Замечание 2. Согласно терминологии § 4с, гл. III, модели, в которых цены Р (t,T) представляются в виде (12), называются однофакторны- ми аффинными моделями. Сделанное дополнительное предположение, что процесс г = (r{t))f$.T является гауссовско-марковским, дает воз-можность для таких моделей, часто называемых одно факторными га- уссовскими моделями, довольно детально провести соответствующие расчеты для стандартных опционов Европейского и Американского типов на рассматриваемых (В, Р)-рынках. Этим вопросам посвящены последующие § § 4Ь, с.

Замечание 3. По поводу согласования разных моделей, описывающих динамику пен облигаций, с эмпирическими данными см., например, [257].