§ 4Ь. О расчетах опционов Европейского типа в однофакторных гауссовских моделях

Пусть Т° - некоторый момент (Т° < Т), рассматриваемый как момент исполнения опциона Европейского типа с функцией выплат /то = (Р(Т°, Т) - К)+ в случае опциона покупателя и /т0 = [К - Р(Т°, Т))+ - в случае опциона продавца.

Теорема.

С°(Т°,Т) = Р(0,Т)Ф(<*+) - КР(0,Т°)Ф{<і-) (1)

где

In Р(°\'Г) ± ia2 (то T)B2(To т)

= КР(0,Т°) 2 1 \' ; 1 \' \' , ,

* <х(Т°,Г)Б(Г°,Г) \' 1 \'

B(7*\'T)=C$)du- <з)

(5)

Рациональная стоимость Р°(Т°,Т) стандартного опциона продавца определяется формулой

(6)

Р°(Т°,Т) = ЛГР(0,Г°)Ф(—d_) - P(0,T)$(-d+)

Прежде чем переходить к доказательству формул (1) и (6), отметим, что они весьма схожи с формулами для рациональных стоимостей С(Т) и Р(Т) в случае акций (см. (9) и (18) в § lb).

Это сходство не столь уж удивительно, поскольку для рассматриваемой модели пены Р (?, Т) имеют, как и цены St в модели Блэка-Мертона-Шоулса, логарифмически-нормальную структуру:

1пР (t,T)=A(t,T)-r(t)B(t,T),

где [r(t))t^.T является гауссовским процессом,

Более, пожалуй, удивительно то, что прошло столь много лет с 1973 года, когда была опубликована формула Блэкаи Шоулса, до 1989 года, когда появилась статья Ф.

2. В соответствии с теорией расчетов на полных безарбитражных рынках (см. раздел 5 в гл. VII) и в предположении, что исходная вероятностная мера на (П, , = &, является мартингальной, находим, по

что

С°(Т°,Т) = ЕЛ(Т°)(Р(Т°,Т) -К) +

= Е(/(Р(Т°,Т) > K)R{T°)(P{T°,T) - АГ)) = E(J(P{T°,T) > K)R{T°)P(T°,T))

-ІГЕ(/(Р(Т°,Т) > K)R{T°)). (8)

Ясно, что событие

{Р(Т°,Т) > К} = {А(Т°,Т) - г(Т°)В(Т°,Т) > ЫК}

= {г(Ґ>)<г*}, (9)

где

= in K-AQ°,T)

-В(Т°,Т) { \'

и A(t,T), B(t,T) определены формулами (13) и (14) в §4а. Пусть

гТ лТ°

? = г(Т°), г)= r(u) du, С = / r(u)du. Jo J О

Тогда из (8) и (9) находим, что

С°(Т°,Т) = E(/(f ^ г*)е—») - JCE(J(e ^ г*)е-<). (И)

Для дальнейшего упрощения этой формулы полезным является следующее утверждение, справедливость которого устанавливается прямым подсчетом (см. [257; лемма 4.2]).

Лемма. Пусть (X, У) - гауссовская пара случайных величин с вектором средних значений (рх, ру) и матрицей ковариаций ( ^. Тогда

ЕI(X ^ х) ехр(-У) = exp- ру) Ф(Х) (12)

и

Е1(Х ^ х)Х ехр(-У)

= exp^crf- - pY) • - рхуЩх) - сгх<р(х)}, (13)

где

х - (рх - PXY)

х =

Ох

1

<р(х) =

у/2ж

Ф(я) = f <р(у) dy. J — ОО

С учетом формул (6), (10) и (11) из §4а нетрудно подсчитать, что AiC = Ег(Т°) - ff(T°) (г0 + ^ya(s) ds),

/"т Г7, Г /¦" яМ 1

pv = EJ r(u)du=r0 J g(u)du + J у a(s)ds du,

ГТ° Ґ* fT° Г Г 9 Ы) 1

/іс = Е j r(u) du = го у du + J yj ^ya(s) ds

ds,

t° г /-т0

ds,

4-ої rw« = Jo [I ^w*

= Cov ^r(T°), J r{u) du

a(T°) g(u)

per,=Cm(rCI°),J r(u)du^J

= PS С +\'

= Cov (r{T°), f° r{u) duj + Cov ^r(T°), f] r(u) du^j

JT<

/то Из (11) и (12) находим, что

С°(Т°,Т) = Е(/(? ^ г*)е-") - КЕ(1{? < г*)е~<)

-і^р^-^Ф^\'-\'^-^\').

Подставляя сюда вышеприведенные значения /і^, <х?, сг,,, сг^,

P?v и /э^^, после некоторых алгебраических преобразований (см. [257; Appendix 4b]) приходим к требуемой формуле (1).

Формула (6) следует непосредственно из (1) с учетом того, что

(К - Р(Т°,Т))+ = (Р(Т°,Т) - К)+ - Р(Т°,Т)+К.

(Ср., например, с выводом формулы (9) в §4d, гл. VI.) Теорема доказана.

3. Из формулы (6) следует, что рациональная стоимость Р°(Т°, Т) опре-деляется по "начальным" ценам Р(0,Т°), Р(0,Т), константе К и величине а(Т°,Т)В(Т°,Т), определяемой, в свою очередь, по коэффициентам /3(s), 7(3) приТ0 ^ s ^ Т.

В случае модели Васичека (3(s) = s, 7(e) = 7, и нетрудно найти, что

*{7°,Т)1Ц7°,Т) = 1 -е-2^))1/2.

Начальные цены Р (О, Т°) иР(0, Т) определяются в этом случае из формулы (см. (12) в §4а)

Р(0, t) = ехр{ А(0, t) - г0В(0, t)}

с

2 і

в

B{0,t)=l-[l-e~f»}.