§ Зс. Задача Стефана для стандартных опционов покупателя и продавца

При каждом фиксированном х Є Е функция Y* (-, х) является невоз-

растакщей по t; при каждом фиксированном t Є [0,Т) функция Y*(t, ¦) является неубывающей и выпуклой (вниз) по х.

Пограничная функция х* — х* (t) являетсяневозрастаюпхей на [О, Т), и множества Cj и Dj при t <Т имеют следующий вид:

С? ={x&E-.StDj = {хЄЕ: St >x*{t)}.

При t = T множество Crf = 0 и Dj.

Если Л = 0, то x*(t) — оо, t < Т, что соответствует тому, что при каждом t <Т

Cj = Е, Dj = 0.

Иначе говоря, для всех t <Т наблюдения следует продолжать независимо от того, какие значения принимают пены St, что является следствием того, что процесс (e~rt(St — K)+)t>0 является субмартингалом, и по теореме Дуба об остановке для любого г є WIQ

Exe~rT(Sr - К)+ ^ Exe-rT(ST - К)+.

Для случая дискретного времени также имеет место подобный результат (Р. Мертон, [346]), который интерпретировался (см. §5Ь, гл. VI) сле-дующим образом: стандартные опционы-колл Американского типа и Европейского типа "совпадают!\'

Функция У* = У*(і, х), t Є [О,Г], х Є Е, и пограничная функция х* = x*(t), 0 ^ t < Т, являются решением следующей "двухфазной" задачи Стефана, ИЛИ задачи с подвижной (свободной) границей:

в области СТ = {{t,x):x < x*(t), t Є [0,Т)}

- + № * (*> *) - ж* (*> *); (8)

в области DT U {(Т, х): х Є Е}

Y*(t,x)=g(xy, (9)

награнипеа:* = х* (і), 0 < t < Т, раздела "двух фаз" выполнено условие

Дирихле (P. G.L. Dirichlet):

Y*(t,x*{t))=g(x*(t)) (10)

и условие Неймана (К. Neumann):

dg(x)

(И)

xi.x-(t)

dY* (t, х)

x-fx\'(t) dx

dx

которое часто называют условием гладкого склеивания.

Прокомментируем изложенные результаты, по поводу подробных дока-зательств которых см. работы, цитированные в конце п. 1, § ЗЬ.

О справедливости формулы (1) уже говорилось в § За. Оптимальность момента Ту следует из общей теории оптимальных правил остановки (см., например, [441; гл. III, §3]). Относительно свойств гладкости функции Y*(t,x) и вывода уравнения (8) см., например, [247], [363] и [467].

Если условие (10) довольно-таки естественно, то справедливость условия гладкого склеивания (11) менее очевидна. В [200] и [441; гл. III, §8] приводятся достаточно общие условия, обеспечивающие выполнение условий гладкого склеивания на границе области остановки.

Напомним также, что с условиями гладкого склеивания мы уже не раз встречались: при рассмотрении аппроксимаций в задачах с дискретным временем (раздел 5 в гл.

Полезно подчеркнуть, что если в рассмотренной в предыдущем пара-графе типичной задаче Стефана из математической физики в ка ждой фазе действует "свое" уравнение, то в задачах об оптимальной остановке диф-- ференциальные уравнения для У* (t, х) возникают лишь только в одной фазе (в области продолжения наблюдений), тогда как в другой фазе (в области остановки) искомая функция У* (t, х) совпадает с заранее известной функцией д{х).

Отметим также, что для рассматриваемого случая, где д(х) = (х—К)+,

= 1, поскольку x*(t) > К, 0 < t < Т. (Последнее

xj.x*(t)

dg(x) значение —;— ах

неравенство нетрудновьшести из того свойства, что функция У* = Y*(t,x) является /3-эксцессивной мажорантой функции д = д(х).)

По поводу разрешимости задачи Стефана (8)—(11) и свойств граничной функции х* = x*(t) см. [467], [363] (и комментарий к этой работе).

2. Опцион продавца. В этом случае д(х) = (К — х)+. Свойства 1)-4) остаются в силе, и функция У* = У* (t, х) снова принадлежит классу С1\'2. Для каждого фиксированного х Є Е функция У * (-, х) является невозрас- тающей по t; при каждом фиксированном t Є [0, Т) функция У* (t, ¦) является невозрастающей и выпуклой (вниз) по х.

При любом А ^ 0 множества Cj и Dj имеют при t <Т следующий вид:

Cf = {х: St >**(«)}, D? = {x:St <**(«)}¦

При t — Т множество Crf = 0 и Dj. — Е.

Пограничная функция х* = X*(t) является неубывающей функцией по t; если А = 0, то iim х* (t) = К.

t-\\T

Задача Стефана для Y*(t, х) и x*(t) формулируется аналогичным образом. При этом условия (8), (9) и (10) сохраняются, а условие (11) для 0 ^ t < Т принимает следующий вид:

dg{x)

dY* (t, х)

xfx*(t)

dx

dx

где

xix*{t) ^х

dg{x)

= -1,

xt x*(t)

поскольку g(x) = (К — x)+ и x* (t) < К.

Дополнительную информацию о свойствах функций Y*(t,x) и x*(t) можно найти в статье [363], специально посвященной стандартному опциону-пут Американского типа и содержащей обширную библиографию, относящуюся и к другим опционам.