§ За. Об особенностях расчетовна конечных временных интервалах

1. В случае бесконечного горизонта, т. е. когда моменты исполнения принимают значения из временного множества [0, оо), часто удается полностью описать структуру цен опционов Американского типа и соответствующих областей остановки и продолжения наблюдений.

Важно подчеркнуть, что это оказалось возможным благодаря тому, что геометрическое броуновское движение S = {St)t^Q было однородным марковским процессом, не было временных ограничений на моменты исполнения, а, значит, рассматриваемые задачи являлись задачами

эллиптического типа.

Ситуация резко усложняется тогда, когда временной параметр t принад-лежит ограниченному интервалу [0, Т].

В этом случае соответствующая задача об оптимальной остановке становится "неоднородной" и, с аналитической точки зрения, приходится иметь дело с задачами

параболического типа.

В результате в соответствующих задачах вместо граничной точки х* возникает уже целая пограничная функциях* = x*(t), 0 ^ t ^ Т, разделяющая в фазовом пространстве [0, Т) х Е = {(t, х): 0 < t < Т, х > 0} об-

,... ,. , viiS&^Ss

ласти продолжения и остановки наблюдений. (Ср. с рис. 57 и 59 в § § 5Ь, с, гл. VI.)

Следует также подчеркнуть, что хотя теория оптимальных правил остановки для случаянепрерывного времени (см., например, монографию [441]) дает общие методы решения задач, в которых надо отыскивать оптимальный момент остановки, тем не менее, не так уж много известно конкретных задач (в том числе и связанных с опционами), в которых удается дать тонные аналитические выражения для пограничных функций х* = x*(t), О ^ t < Т, для цен и т.п.

На практике, и, в том числе, для расчетов реально торгуемых опционов Американского типа, обычно прибегают к дискретизации (по времени и/или фазовому пространству), и приближенные значения, скажем, для пограничной функции и пен находятся, как правило, методом индукции назад (см.

Это, разумеется, не исключает интереса к нахождению точных (или близких к ним) решений, в связи с чем следует прежде всего остановиться на некоторых вопросах теории соответствующих задач об оптимальной остановке на конечных временных интервалах и, в частности, на одном весьма распространенном приеме, основанном на редукции таких задач к задачам Стефана, или, как еще говорят, к задачам с подвижными (свободными) границами для уравнений с частными производными.

2. Будем, для определенности, рассматривать (В, 5)-рынок, описываемый соотношениями (1) и (2) из §2а, причем считается, что временной параметр t принадлежит [О, Т], ц = г, и функции платежа имеют следующую структуру: ft = e~xtg(St), где Л ^ 0, борелевская функцияg(x) ^ О, х Є Е - (0, оо).

/т Вт

Пусть

(1)

V{T,x)=B0 Ех

и

(2)

- рациональные пены опционов Европейского и Американского типа соответственно. В соотношениях (1) и (2) символ Ех означает усреднение по исходной мере (мартингальной, поскольку ц = г) в предположении, что So = х.

V*(T,x)=B0 sup

Замечание. Доказательство формулы (1) дляУ(Т, х) былоданов§4Ь, гл. VII. Доказательство формулы (2), основанное на опциональном разложении, в идейном отношении такое же, как и в случае дискретного времени (см. § § 2с, 5а в гл. VI). Детали соответствующих доказательств, связанные с непрерывным временем, см., например, в [281].

3. Положим дляОих є Е = (0, оо)

V(t,x)=Ese-^g(St) (3)

и

V{t,x)= sup Exe-0rg(Sr), (4)

тези»

где /3 = Л + г, х = So-

При рассмотрении случая, когда t Є [О, Т], полезно также введение функций

Y{t,x) = V{T-t,x) (5)

и

Y*(t,x)=V*(T-t,x), (6)

где Т — t играет роль "оставшегося" времени. Ясно, что

Y(t,x) = EttSe-KT-%($r) (7)

и

Y\'(t,x)= sup Еt.xe-^-MSr), (8)

где Et x - усреднение по исходной (мартингальной) мере в предположении St — х, и ЯЯ^1 - класс моментов остановки г = т(и>) таких, что t ^ т ^ Т.

В случае броуновского движения функции V = V(t, х) рассматривались (при Р = 0) в § 3f, гл.

dV

K+PV-LV, (9)

где

тііХ) = гя*г + ів2я>°У, (10)

с начальным условием

F(0,x)=g(z). (11)

Из (5), (9) и (11) следует, что функция У = Y(t, х) для t < Т подчиняется уравнению

~llt+l3Y = LY №

с краевым условием

Y(T,x)=g(x). (13)

Напомним, что с фундаментальным уравнением (12), которое есть не что иное, как уравнение Фейнмана-Када (§3f, гл. III), мы уже сталкивались в § 1с в связи с методом, примененным Ф. Блэком и М. Шоулсом в [44] и Р. Мертоном в [346] для расчета рациональной стоимости [V(T, х) - У (0, ж)) стандартного опциона-колл Европейского типа с д(х) — (х — К)+ и А = 0.

4. Перейдем теперь к вопросу об отыскании рациональной стоимости V*(T,x)=Y*(0,x). Определим

т0т = inf{0 < t < Т: y*(t, St) = g(St)} (14)

и

Df={xeE:Y*(t,x)=g(x)}, (15)

С? = {х &E:Y*{t,x)> д{х)}. (16)

Дляз < t имеем Y*(s,x) = V*(T - s,x) > V*(T - t,x) = Y*{t,x). Поэтому для 0 < s < t < T

Dor С Dj С Df

C0T D Cj D Cj.

В случае t = T, очевидным образом, Dif = E и Су = 0. Области

DT = {{t,x):t Є [0,T), xeDf)

CT = {(t, ж): і Є [0,T), х Є Cj}

в фазовом пространстве [0, Т) х Е называют областями остановки и продолжения наблюдений соответственно. Связано это с тем обстоятельством, что в "типичных" задачах об оптимальной остановке марковских процессов момент TQ оказывается (см., например, утверждение 3 в теореме 6, § 4, гл. III в [441]) оптимальным:

Exe-rtg(STT) = V*(T,x). (17)

Поскольку

T0T = inf{0то становится понятной интерпретация множества DT = (J ({і} х Dj)

tкак области остановки: если (t,St) Є DT, то наблюдения прекращаются. (К множеству остановки естественно также относить и "терминальное" множество Т х Dj. = Т х Е.)

Области DT и Ст могут иметь весьма сложную структуру в зависимости от свойств функций д = д(х) и, разумеется, от свойств процесса S = (St)t^.T- Например, эти области каїк множества в [0,Т) х 1? могут быть многосвязными, состоять из нескольких "островов" остановки и т. п.

В случае же стандартных опционов покупателя и продавца (колл и пут), для которых д(х) = (х — К)+ и д(х) = (К — х)+ соответственно, области DT и Ст оказываются односвязными (см. далее §3с).

Для этих опционов граница dDT области остановки может быть представлена в виде

dDT = {{t,x):tE[0,T), x = x*(t)}, где, в случае опциона покупателя,

x*{t) = inf{x€ E:Y*(t,x) = (х - К)+}, а в случае опциона продавца

x*(t) =sup{x€ E:Y*(t,x) = {К-х)+}.