§ 2d. Русский опцион

dBt = rBt dt, В0 > 0, (1)

dSt = St{гdt + стdWt), So > 0, (2)

или, равносильно,

Bt=B0ert, St=SQert-eПоскольку

& = So„wt-?t (3)

Bt Во

s fsA

то относительно исходной меры Р процесс — = I — I является мар-

в \\BtJt> о

тингалом.

ft=e-Xtgt(S), t^ О, (4)

где

gt(S) = (таx5u - aSt) , a > 0. (5)

V u^t /

Опционы Американского типа с функциями выплат (4), называемые "Русскими опционами", [435], [434], относятся к классу опционов продавца (оп- ционы-пут) с последействием и дисконтированием. (Ср. с § 5d, гл. VI.)

Используя те же самые обозначения (Еж, .. ),чтоив § §2а,Ь,

ноложим

U,(x) = sup Ехе~ГТfT(S) (6)

гє®г°°

и

U.(x)= sup Ехе~гт fT(S)I(r < оо). (7)

теШ?

В отличие от "одномерных" задач об оптимальной остановке марковского процесса S = (St)t^o, рассмотренных в § §2а,Ь, задачи (6) и (7) яв-ляются "двумерными" в том смысле, что функционалы ft(S) зависят от

двумерного марковского процесса ( St, max Su ).

V u^t /

Весьма замечательно, однак», что методы "замены меры" позволяют эти "двумерные" задачи свести к некоторым новым, являющимся уже "одномерными" что позволяет найти явные выражения и для U„(x) (= U»(x)), и для оптимальных моментов остановки.

2. Идея отмеченной редукции "двумерных" задач к "одномерным" была достаточно четко изложена в § 5d, гл. VI, для случая дискретного времени.

В рассматриваемом случае поступим так же, как в п. 5, § 2а, считая исходное фильтрованное вероятностное пространство (Г2, &•, (&t), Р) координатным винеровским пространством.

Пусть Р - мера на (Г2, S-) такая, что ее сужение Pt ~ Pt и

где

Относительно меры Р пропесс W — (Wt)t^O с

Wt=Wt-at (10)

является, по теореме Гирсанова, винеровским, и для т є

Еxe-^y9T(S)I(r <оо) = < оо)

= хЕхЄ-\\т2т (max^S -aST)+ ^ < ^ bT

=жЕе_Ат Введем процесс {ipt)t>o, полагая

шах„<т 5„

— а

5Т

+

1(т< оо).

Фг = S , (12)

где гро ^ 1-

Ясно, что если фо = 1)то

Фг = гг— (із)

max„^i 5„

— а

ST

и, следовательно Ее-Ат

+

І(т < оо) = Ее~Ат[^г - 0]+ І(т < оо). (14)

Будем обозначать Р^ - распределение вероятностей процесса [фг)г^о в предположении, что фо = ф ^ 1, и рассмотрим следующие задачи об оптимальной остановке:

и(ф)= sup Е^е-Ат[^-а]+ (15)

тє®г°°

и Л

и(ф) = sup Е.фЄ~Хт[фт - а]+ Цт < оо), (16)

которые можно рассматривать как задачи расчета дисконтируемого опциона-колл Американского типа, когда пропесс цен акций задается процессом {Фг)ї^Oi а Bt = 1. (Подчеркнем, что исходная задача относится к опциону-пут\\)

Из (6), (7) и (15), (16) находим (с учетом (11) и (14)), что

U,{x) = xU(l), ЇЇ*(х)=хЩі). (17)

3. Прежде чем сформулировать основные результаты относительно решения задач об оптимальной остановке (15) и (16), остановимся на некоторых свойствах процесса (VOt^o с t/>o = 1.

Лемма. 1) Относительно меры Р процесс (ipt)t^о является диффузионным марковским процессом на фазовом пространстве Е = [1,оо) с мгновенным отражением в точке {1}.

Процесс (ipt)t^о имеет стохастический дифференциал

dipt = -фг (rdt + o (Mt) + d^t, (18)

где (ipt)t^о ~ неубывающий процесс, растущий на множестве {(оi,t): V>t(w) = 1}, и W = {Wt)t^.о - винеровский процесс {по мере Р).

Если q — ц(ф) - функция на Е = [1, оо) такая, что q є С2 на

(1,оо) и существует rfill

= + Ф> 1, .(19)

и

q\'{ 1+) = 0. (20)

Доказательство. Из (12) находим, что

Г maxu^t+д S„ \\

Фі+А = max< . ё— (

I it+д bt+A J

}

maxu^t Su вофо maxtSt ¦ St+A/St\' St • St+A/St\' St+A/St 1 maxt= max

Заметим, что для t < и ^ t + A

Тем самым, с учетом того, что процесс W является винеровским относительно меры Р, видим, что имеет место следующее свойство "марковости":

Law(фі+A I р) - Law^t+д | фи Р) ¦

max2.

Nt - max|max5„, SoV\'o}- (22)

Ясно, что процесс N = (Ni)t^o является неубывающим процессом ограниченной вариации. Из (2) и (10)

dSt = St [(г + сг2) dt + cr dWt] (23)

и

d(^) = ~ [г Л + о- Wt] ¦ (24)

Поэтому, по формуле Ито,

di>t = Ntd(l^j +~dNt

St,

= -4>t[rdt+adWt] + ^, (25)

St

или, в интегральной форме,

ft ft ft dft

ФІ=ФО~Г ipudu — а І фи dWu + / —-. (26)

Jo Jo Jo Su

Обозначим

PT)

jo

и заметим, что dNu (o>) = 0 на множестве {(о\\и):фи (а>) > 1} (в том смысле, что j 1{фи (и) >1) dNu (ш) = о) • Поэтому

Г* dN

J 0 "и

что более наглядно показывает, что изменение значений процесса (o попадает в граничную точ-

ку{1}-

Покажем, что для всякого t > 0

[ 1{фи =l)du ~0 (Р-п-н.). Jo

По теореме Фубини

г оо г оо г оо

Е / /(Vu = 1) du = / E/(V„ = 1) du = / Р(фи = 1) поскольку P(V„ = 1) = 0, что следует из того, что двумерное распределение пары (max W3, Wu ) имеет плотность. V s^u J

Тем самым, процесс (i/>t)t>o проводит в точке {1} нулевое (Р-п.н.) время и, значит, эта точка есть мгновенно отражающая граница ([239; гл. IV, §7]).

4. Теорема. Пусть А>0, а ^ 0, ф ^ 1. Тогда

?/(V>) = и(-ф) = < - 7і^72 (30)

I V - а, Ф^Ф,

где

7fc = ^ + (-DfcV(2) +В> *=1>2\' (31)

А , //^2 2

являются корнями квадратного уравнения

72 - А-у - В = 0 (32)

С , 2г г, 2Л\r\n~ ф> = фЪ (-\r\n, то і\r\n11 . 71 - 1 72-71\r\n71 72 - 1 \r\nА = 1 + -j , В = -j ; "порог" ф является решением трансцендентного уравнения

(33)

ф

Момент

т = inf {t ^ 0: фг ^ ф}

таков, что Рф(т < оо) = 1, ф ^ 1, и является оптимальным как в классе так и в классе Ш0 .

Как ив § § 2а, Ь, приведем два доказательства - первое ("марковское"), основанное на решении задачи Стефана, и второе, опирающееся на "мартингальные" соображения.

Первое доказательство. Те же самые соображение, что и в § § 2а, Ь, основанные на представлении (22) из § 2а, показывают, что области продолжения наблюдений С и прекращения наблюдений D в задаче (15) должны иметь следующий вид:

С = {ф > 1: ф < ф} = {ф > 1: ЩФ) > 9ІФ)}

и

D = {V ^ 1: ф > ф] = {ф > 1 :ЇЇ(Ф)=9(Ф)}, гдед(ф) = (ф - а)+.

Как и в § § 2а, Ь, неизвестный порог ф и 11(ф) определяются из решения задачи Стефана".

Ш(ф) = Хи(ф), 1 <ф<ф, (34)

U\'{1+) = 0, (35)

и(ф)=д(ф), ф^ф, (36)

<Ю{ф)

= <1д{ф)

¦ФЫ Лф

аф

(37)

¦фі\'ф

где оператор L определен формулой (19).

Будем искать решение уравнения (34) в виде U(ф) = фТогда для 7 получаем квадратное уравнение (32), корнями которого являются 71 < О и 72 > 1, задаваемые формулами (31).

Тем самым, уравнение (34), "действующее" в области {ф: 1 < ф < ф}, имеет вид

и{ф) =С1ф^ + с2ф^, (38)

где сі, С2 - некоторые константы.

Для определения ф и констант с± и с2 имеются три дополнительных условия: (35), (36) и (37), которые, с учетом (38), принимают следующий вид:

Сі 7i + С272 = 0, (35\')

СіфЪ + с2ф™ = ф - а, (36\')

сі7і^71-1 + С272^2_1 = 1- (37\')

Из (36\') и (37\')

Q71 + (1 ~1і)Ф (72 - ъ)Ф72

Q72 + {1~1г)Ф (7і ~ 72

Cl

С2 =

Из (35\')

72

Сі = с2,

7i

что дает для ф уравнение (33).

ф =

Наконец, из (38) и (39) с учетом (33) находим, что в области С і=

{ф: ф < ф}

Покажем теперь, что Р^(г < оо) = 1, ф ^ 1. Для этого достаточно показать, что

(42)

для любого ф > 1. (Для ф = 1 свойство (42) очевидно.) Имеем

^ = exp Yt,

где

Yt = sup

uaiWv-Wj+fr+^pjiu-t)

Образуем последовательность моментов остановки о такую, что

сто = О,

(71 =inf{t ^ l:Yt =0},

ak+1=in?{t ^ ak+l:Yt = 0},... .

Тогда видим, что для у — \\пф ^ 0

sup Yt(w) ^ = [Jsup Yt{w) ^ у|. t<00 J fc>() сг*: crjfc-Hl J

Для разных к события s OJ г sup Yj (u>) ^ у > являются незави-

симыми и их вероятности равны и положительны. Отсюда, по лемме Бореля-Кантелли, вытекает, что Р-! о>: sup Yt(oj) > у I = 1 и, значит,

I t

Рф(т < оо) = 1.

Осталось лишь доказать, что момент т = inf {i ^ 0: фг ^ Ф} является оптимальным в задачах (15) и (16).

Один из методов доказ ательства состоит в установлении "проверочных" свойств (А) и (В) из § 2а, что делается точно так же, как и в случае опционов продавца и покупателя. Подробности см. в [444].) Приведем теперь иное доказательство, основанное на "мартингальных" соображениях (ср. сп. 5в§2аи[32]).

Второе доказательство. Для простоты будем предполагать a = 0. (По поводу общего случая a ^ 0 см. [32].) Обозначим

Mt = е~мфМфг) (43)

и определим функцию h — Ь(ф), ф ^ 1, так, чтобы по мере Р процесс М = (Mt)t^о был локальным мартингалом.

Применяя формулу Ито к е~хгфгк(ф^, находим, что

с1(е~мфМфЛ) =e-x%[Atdt + Bt{-adWt + dipt)], (44)

где

At = -(Х + гМфь) + (a2 - г)ф^\'{фі) + 1-о2фїІі"{фі), (45)

В1 = к,{фі)+к{фі). (46)

Из (44) видим, что для того, чтобы процесс М = (Mt)t^o являлся локальным мартингалом, функцию h \' к(ф),ф ^ 1, достаточно определить из решения следующей задачи:

\\<т2ф2к"(ф) + (а2 - г)фк\'{ф) - (А + гЩф) =0, ф > 1, (47) с граничным условием

/і\'(1+) + /і(1+) = 0. (48)

Перепишем уравнение (47) в виде

ф2к"{ф) + 2 (l - ?) фЫ (ф) - 2 = 0 (49)

и будем искать решение этого уравнения в форме h(tp) = фх.

х2 + ж(1 — 2г) — 2(А + г) = 0. (50)

Сопоставим это уравнение с уравнением (32):

72 - 7(1 + 2г) - 2А = 0; (51)

замечаем, что если положить 7 = Х +1, то уравнение (51) перейдет в уравнение (50) и, значит, корни ХІ и Л обоих уравнений связаны соотношениями 7» = хі + 1, і = 1,2.

Общее решение уравнения (49) (для а2 = 1) имеет вид

Цф) =dxipXl + ё2фХ2, ф > 1.

Возьмем решение h = h(ip) таким, что выполняется свойство (48). Тог-да

1 + х2 72

«і = = ,

х2 — х\\ 72 — 7i

1+ X! 71

а2 = = .

Х\\ -Х2 71 - 72

Следовательно,

Цф) = [72V71"1 - 71V-72"1]- (52)

72-71

Корни 7i < 0, 72 > 1 и h\' (ф) = 0 при ф — ф, где ф определяется из соотношения

~72_71 7i(72 - 1) = L

72(71 - 1)

Сопоставляя (53) с (41), замечаем, что величина ф в точности совпадает со значением ф, определяемым формулой (41). При этом в точке ф функция Н(ф) принимает свое минимальное значение.

Из (43)-(48) видим, что для найденной функции h = к(ф) процесс

Mt = е-^фіЦфі), t ^ 0,

является неотрицательным локальным мартингалом и, значит, супермар-тингалом. Поэтому для всякого т Є и \'Фо = 1

ЕіЄ~Хтфт = Е1к~ (фт)Мт ^ЕіЛ_1(^)Мг

= Л"\'1 (ф)Е\\Мт <:h~l{ф)ЕгМ0 = /і"1 (V?)

і 72-7і г 72-71

_— = ф ¦—^ -— .

72^,71-1 -7l^,72-l 72^71 - 7іі/)72

Бели = 1, то момент r = inf{t ^ 0 Ф} является, как показано

выше, конечным с вероятностью единица (Рі(т < оо) = 1), и для этого момента

Еie-AfV? = Eih^^M? = h-1^) ( = Е/(1)),

что и доказывает оптимальность момента г в классе при фо — 1. (Ана- логичные соображения остаются в силе для любого фо ^ V>.) | Обратимся к исходным задачам (6) и (7). Из (11), считана = 0, находим,

! что

| Еже-(А+г)т5т(5)/(т < оо) = хЁе~Хтфт1(т < оо). (54)

Здесь фо = 1 и, как установлено выше, момент т = inf {t \\фг > ф} является оптимальным моментом остановки в том смысле, что

sup Ее~Хтфт1(т < оо) = Ее~х9ф91{т < оо) = Ее~х?ф9 (55)

на диффузионных (В, S)-рынках акций.