§ 2с. Комбинации опционов покупателя и продавца

В настоящем параграфе будет приведен пример расчета опциона-стрэнгл Американского типа, снова в предположении, что моментом исполнения может быть любой момент времени на [0, оо), а структура рассматриваемого (В, 5)-рынка описывается соотношениями (1)-(2) из §2а.

Bt = B0ert (1)

и

St = SoexpjtrWt + (/і - j, (2)

где W = (Wt)t^o ~ стандартный винеровский процесс, причем ц = г. В этом случае мартингальной является исходная мера Р.

Для дисконтируемого оппиона-стрэнгл функция выплат имеет вид (ср. с (3) в § 2а)

ft = e-Xtg(St), t Z О,

где

\' К\\ — s, s ^ К і, д(в) = 0, K1S — К2, s ^ К2.

В соответствии с общей теорией (раздел 4, гл. VII, и раздел 2, гл. VI), цена

V*(x) = sup ВоЕх^-= sup Еже-<А+г)т5(Я), (4)

ге®г°° ?>т re

где — {т = т(и>): О т(и>) < оо, ы Є О} - класс конечных моментов остановки, а Еж - усреднение в предположении, что So — х є Е = (0, оо).

2. Для отыскания пены V* (х) и соответствующего оптимального момента остановки воспользуемся "мартингальным" приемом из [32], использованным в предшествующих параграфах (см., например, "второе дока-зательство" в п. 6, §2а). Будем при этом полагать начальное состояние So — 1 и считать, что цены исполнения К\\ и К2 таковы, что К\\ < 1 < К2. Пусть

/1 г\\ (I г\\ 2 2(А + г)

ҐІ г\\ 1(1 г\\ 2 2 (А+г) корни квадратного уравнения (30) в § 2а.

Как показано в § §2а,Ь, процессы Mt(1) = e\'^S]1 иМ(|2) = e~p*Sp с /3 = А + г, і > 0, являются Р-мартингалами. Тем самым, Р-мартингалом является неотрицательный пропесс Mt (р) — + (1 — р)Мj2^ для любого 0 ^ р ^ 1, и

к*(1)= sup Eie-T5(ST) т 63Ertg°

= sup ЕMT(p) f Sr) (7)

r6®t°° РЬт + (1 - P)W

Поступая как и в п.

^—.м- m

Тогда из (7) заключаем, что

^-JSe^wfflbSF\' W

где Ер(р) _ усреднение по мере Р (р).

Следующий шаг состоит в выборе подходящего значения р из множества [0,1] (далее оно будет обозначаться р*), для которого удается решить соответствующую задачу об оптимальной остановке (9).

Как показывается в [32], следующая система уравнений для (р, si, S2):

(10) (П) (12)

s2 -К2 кг- Si

ps?+(l-p)sГ ps? + (l-p)s?\' S2 = Pjisj1 + (1 ~ P)12S? s2-K2 ps? + {l-p)sl2 \'

Si _ pyisj1 + (1 -p)y2sl2 ai-Ki~ ps? + (I - p)sl2 \'

где p є [о, 1], s2 > if 2-ї si < K\\, имеет и притом единственное решение (р*.

Пусть

si)"»)\'

, s*2-K2 ( К2 — s*

С = 1 —

V(s?)-n + (l-p*)(s*)72 ^ p*(sJ)Tl + (l-p*)(s

Несложный анализ показывает, что

sup —-1 ; = sup ^r-1 г (= с*).

a/l p*s~n + (1-р*)аЮ p\'s-n + (1 -p*)S72 V. >

При этом максимум функции G(s) = ^г : достигается

^ w p*sTi + (1 -p*)s™

в точках sj < К\\ и > К2.

Следовательно, из (9)

V*(L )>с*. (13)

Определим

т* = inf{t: St = ^ или5і =

Из свойств линейного броуновского движения со сносом вытекает, что Р(т* < оо) = 1. Поэтому E^p^G(ST*) = с* и, значит,

V*(L )=с*,

а момент т* является оптимальным моментом остановки.

Замечание. Если К\\ = К2, то опцион-стрэнгл превращается в опцион-стрэддл (см. п. 2, §4е, гл. VI).