§ 2а. Стандартный опцион покупателя

Этим объясняется то, что последующее изложение начинается с рассмотрения второго случая. Случай конечного временного интервала [О, Т] рассматривается в разделе 3.

Будем предполагать, что на фильтрованном вероятностном пространстве (О, задан стандартный винеровский процесс W = (Wt)t^o и диффузионный (В, 5)-рьшок имеет следующую структуру:

(1) (2)

dBt = rBt dt, В0 > О,

dSt = Stipdt + adWt), S0 > 0.

Для стандартного дисконтируемого опциона покупателя (ошшона- колл) функция платежа имеет, по определению, следующую структуру:

(3)

ft = e~xtg(St),

где g(x) = {x- K)+, X Є E = (0, oo).

По аналогии со случаем дискретного времени, положим

V*(x)=snp В0Ёв?, (4)

От

где sup берется по классу всех конечных моментов остановки

= {т = т(ш): 0 < г(ы) < оо, ш Є ft}, (5)

и Ех обозначает математическое ожидание по мартингальной мере Рх, относительно которой процесс S — {St)t^o имеет стохастический дифференциал

dSt = St{r dt + adWt), S0 = x. (6)

Чтобы упростить обозначения, будем с самого начала полагать р — г. В этом допущении у Рх и Ех символ " ~ " можно опускать. Итак, пусть

V{x)= sup ЕXe~^+^T(ST-K)+. (7)

re ang°

Для многих целей имеет смысл рассматривать наряду с классом также класс

ТІ™ = {т = т(ш): 0 < т(и>) ^ оо, ш Є ft}

тех марковских моментов, которые могут принимать и значения +оо, и полагать

7*(х)= sup Еже-(Л+Г>т(5т -К)+1{т < оо). (8)

Отыскание функций V* (ж) и V * (х) имеет самое прямое отношение к расчетам рассматриваемого стандартного опциона-колл Американского типа, поскольку значения V* (ж) и V (х) в точности совпадают со значениями рациональных стоимостей, в предположении, что покупатель опциона может выбирать момент предъявления опциона или в классе OTq0 , или в классе и So — х.

3. Приступаяк рассмотрению задач об оптимальной остановке (7) и (8), выделим сначала (неинтересный) случай А = 0. В этом случае

e~rt

(St - К)+ = (Soe^-^* - Ке-^У,

откуда видно, что процесс (е rt(St — K)+)t-^o является субмартингалом, и, значит, если г Є т. е. т(ш) < Т, w Є Л, то

Exe-rT(ST - К)+ 4 Еxe~rT{ST - К)+ < х. (9)

Согласно формуле Блэка и Шоулса (см. (9) в § lb),

Exe~rT(Sr — К)+ -»¦ х, Т —ь оо, (10)

при любом г > 0.

Поскольку в рассматриваемом случае V*(x) = lim VZ (х), где

Т—юо

Vf(x) = SUP Еxe~{x+r)T{ST-K)+ (И)

reared

(см. [441; гл. 3]иср. с§5Ь,гл. VI), то из (9) и (10) заключаем, что если А = 0 иг ^ 0, то "наблюдения надо продолжать так долго, как это возможно" Точный смысл этого высказывания состоит в том, что для каждого х > 0 и любого є > 0 можно найти такой детерминированный момент Тх>е, для которого

Exe-rT*\'*(STxtC-K)+ >х-є.

4. Сформулируем теперь основные результаты относительно задач об оптимальной остановке (7) и (8) для случая А > 0.

Теорема. Бели А > 0, то для всякого х Є (0, оо)

ч

e. 7f (12) С Х~г, X < X ,

где

(14)

х*=К —Г— . (15)

71-1

В классе 97ї0 существует оптимальный момент, и в качестве такового может быть взят момент

т* =inf{O0: 5t> х*}. (16)\'

При этом

если г ^ — или X ^ X*, РХ(Т* < оо) = { 22 (17)

если Г < — и X < X*.

Ниже будут приведены два доказательства этих утверждений.

5. Первое доказательство. Рассмотрим несколько более общие задачи об оптимальной остановке, нежели задачи (7) и (8). Пусть

V{x)= sup Еxe~^g{ST), (18)

-гєал§°

V*(x)= sup Exe~PTg(ST)I(T < oo) (19)

- пены в задачах об оптимальной остановке марковского процесса S = (St, х Є Е — (0,оо), где Рх - распределение вероятностей

процесса ScSo=x,/3>0,ng = g(x) - некоторая борелевская функция.

Если g = g(x) является непрерывной неотрицательной функцией, то, согласно общей теории оптимальных правил остановки марковских процессов (см. [441; гл. 3] и ср. с теоремой 4 в § 2а, гл. VI):

(&)V*(x) = V*(x),x ЄЕ; (20)

(b) V*(x) является наименьшей ft-жсцессивной мажорантой функции д{х), т. е. наименьшей среди функций V(x) таких, что

V(x) > д(х), V(x) > e-0tTtV(x), (21)

где TtV(x) = EEF(St);

V*(z)=limlimQ^(z), (22) п N

где

ЯпЯІр) = тах(д{х),е-^-2ПТ2-пд{х))-, (23)

если Ех < оо, то для каждого є > 0 момент

ТЕ = inf{t: V*(St) < e-^g(St) + є} (24)

являетсяє-оптимальньшмоментомостановкивклассе971^° ,т.е. Рх(тх < оо) = 1, х Є E,nV*{x) - є Exe-PT*g(ST?y,

если момент

то = inf{i: V*(St) ^ g(St)}

в классе :

является моментом остановки (Р^то < оо) =1,їЄ Е), то он оптимален V*(x) = Exe~^g(ST0), ХЄЕ-,

при этом, если некоторый другой момент остановки Т\\ также является оптимальным, то Рх{т0 < п) = 1, х Є Е, т.е. то является наименьшим оптимальным моментом остановки.

Пусть С* — {х Є Е: V(x) > g{x)}w.D* — {х Є Е: V*{x) = д(х)}.

Из (22) и (23) нетрудно вывести (ср. с §5Ь, гл. VI), что функция V* = V* (х) имеет довольно-таки простую структуру, являясь на Е = (О, оо) выпуклой вниз функцией, мажорирующей функцию д — д(х).

Тем самым, решение задач (7), (8) сводится к отысканию значения х* и, разумеется, функции V*(х) ( = V*(x)).

Если проанализировать рассуждения, проведенные в п. 6, §5Ь, гл. VI, при решении соответствующей задачи в случае дискретного времени, то станет вполне естественной идея о том, что требуемое значение х* и V* (х) - наименьшая (А+г)-эксцессивная мажоранта функции д{х), должны быть решениями следующей задачи Стефана, или задачи со свободной границей (см. [441; 3.8]):

LV(x) = {\\ + r)V(x), х<х, (25)

V{x) = g{x), х^х, (26)

dVjx) _ dgjx) dx ,t*- dx xi~

где

д о"2 2 д2

L = rxd~x + ™

- инфинитезимальный оператор процесса S = (St)t^o со стохастическим дифференциалом

dSt = St(rdt + adWt).

Будемискать решение уравнения (25) (в неизвестной пока области (0, х)) в виде

V{x)=cx\'>. (29)

Тогда для 7 получаем уравнение

Чтобы упростить обозначения, будем считать сг2 = 1. ^Еслиег2 ф 1, то

в окончательных ответах надо будет сделать замену г —? А —? -Д-.\')

а1 а /

Уравнение (30) с а2 = 1 имеет два корня

71 = (l-r") + J(l-ry + 2(\\ + r) (31)

и

72

= (\\\'г)-у(1~гУ + 2{х + г)- (32)

Поскольку Л > 0, то 7i > 1. (Если Л = 0, то 71 = 1.) Корень 72 < 0. Поэтому общее решение уравнения (25) должно иметь вид

V(x) = сії71 + с2ж72. (33)

Как и в случае дискретного времени (§ 5Ь, гл. VI), из (33) заключаем, что сг = 0, поскольку в противном случае ^(а;) —? ±оо при х 4- 0, что должно быть исключено по смыслу рассматриваемой задачи (V* (я) > 0 и V*(x)^xJ.

(34)

сі ж71 — х — К.

Итак, К(х) = с\\Х11 для х < х, где С\\ и "свободная" граница х является пока неизвестными константами, для определения которых воспользуемся условием (26) и условием "гладкого склеивания" (27). Условие (26) дает соотношение

Условие (27) принимает вид

cniF1-1 = 1. (35)

Из этих двух соотношений находим, что

«^(vT \'\' <зб)

Таким образом, решение V(x) задачи (25)-(27) может быть представлено следующим образом:

~ , , ( х — К, х >х,

VM = { 71 (3?)

І.

где х и сі определяются из (36).

Замечание. Если К — 1, то V(x) в точности совпадает с функцией V(x), определяемой формулой (39) в §5Ь, гл. VI, что не будет удивительным, если принять во внимание формулу (22) и тот способ, которым отыскивалась в гл. VI функция V(x).

Теорема будет доказала, если теперь показать, что найденная функция V(x) совпадает с ценой V* (ж) (см. (7)), амомент

т = inf{* ^ 0: St > х}

является оптимальным в классе и в классе 97t§°, если Рх (т < оо) = 1.

С этой целью достаточно, очевидно, лишь убедиться в справедливости следующих "проверочных" условий: для х Є Е = (0, оо) (A) V{x) = Еxe~(A+r)?(S? - К)+1{7 < оо)

и

(В) V{x) > Ехе-(л+г>т(&г - К)+1(т < оо) для любого т Є В силу того, что (S? - К)+1{Т < оо) = V(S?)I{T < оо) и V{X) > (х ~ К)+, для справедливости (А) и (В) надо, в свою очередь, проверить выполнимость условий

(A\') V(x) = Еxe~^+r^V(S7)I{T < оо)

и

(В\') V(x) > Е хе-(А+г>тК(5т)/(г < оо) для любого г Є Ж~ их$Е.

Стандартная техника установления справедливости свойств (А\') и (В\') основала на применении к функции V(x) формулы Ито (точнее, некоторого ее обобщения - "формулы Ито-Мейера") и состоит в следующем.

Пусть V = V(ж) - некоторая функция из класса С2, т.е. функция с непрерывной второй производной. Тогда "классическая" формула Ито (§5с, гл. ІП), примененная к функции F(t,x) = и процессу

S = {St)t^o, приводит к следующему представлению:

e-(A+r)V(St) = у(5о) + J* e-(A+r)« [xK(Stt) - (Л + r)V(Su)] du

+ Ґ e^x+r^aSuV\'(Su)dWu. (38) Jo

Если теперь обратиться к функции V(x), определенной в (37), то можно заметить, что эта функция принадлежит классу С2 для всех х Є Е = (О, оо) за исключением лишь одной точки х — х, что дает основание надеяться на справедливость формулы (38) и для V(x) = V{x) при соответ-ствующем понимании производных в точке х = х.

В рассматриваемом случае функция V(х) является выпуклой (вниз), причем ее первая производная V\' (х) существует и непрерывна для всех х Є Е = (0, оо), вторая производная V" (х) существует для всех х Є Е = (О, оо) за исключением точки х = х, в которой существуют пределы

(2) - \\imV"{x) и VY(x) = \\imV"(x).

х\\х х\\.х

В стохастическом исчислении имеется обобщение формулы Ито, данное П.-А.

Интересующая нас функция V(x) является выпуклой (вниз), и формула Ито-Мейера amiF(t, х) — е~(Л+г^У\'(х)и5 = (St)t^o будет по внешнему виду той же самой, что и формула (38) с тем лишь изменением, что вместо второй производной V"(x) надо взять, скажем, значение V"(x).

Итак, с учетом этого соглашения находим, что

e-(x+r»V(St) -V(So)

= f e-^x+^u[LV(Su)-{X + r)V(Su)]du + Mt, (39) Jo

где

Mt= Ґ e-(x+r)uaSuV\'(Su)dWu. (40)

Jo

/о

Полезно отметить, что при X < X

LV{x) - (Л + r)V(x) = 0 (41)

(в силу (25)), и непосредственный подсчет показывает, что это равенство сохраняется и при х = х, а при х > х

LV(x) - (Л + r)V(x) < 0. (42)

Из (39), (41) и (42) получаем, что (при So = х)

V(x)^e-(x+r»V(St)-Mt. (43)

Как видно из (40), пропесс М = (Mt)t^о является локальным мартингалом.

Пусть (т„) - его локализующая последовательность и г Є Шї0 ¦ Тогда из (43)

V(x) > ЕхЄ-(а+г)(т"Лт)К(5т„Лт) - ЕMTnAT = Е xe~^+r^^V(STn/,T) = Еxe^x+r^^V(STnAT)I(T < оо),

и, по лемме Фату,

V(x) ^ limEIe-(A+r)^"A^K(STnAT)/(r < оо)

П

> Еxe~^x+r^V(ST)I(T < оо),

что и доказывает (В\').

Установим теперь справедливость свойства (А\').

Если ї? Л = {і:і) х}, то Р х(т = 0) = 1, и свойство (А\') очевидно.

Пусть теперь х Є С = {х: х < х}. Тогда из (41) и (39) получаем

V(x) = - МТпЛ7

и, значит,

V(x) = Е *e-^A?>V(STnA?)

- E.e-^+^-^i^ArKfr < оо)

+ Е xe-(x+rHT»^V{STn )1{т = оо). (44)

Поскольку

О < e-(A+r)^«A?)y(ST.nA?)/(? < оо) ^ зир[е-(Л+г)4У(St)]j{т <оо)

^ supfe-^e^\'-^4]/^ < оо) t^o

и

Esupfe-^e\'^-^r*] < 00 (45)

t^o

(см. ниже следствие 2 к лемме 1), то по теореме Лебега о мажорируемой сходимости

limE*e-(A+r>(T"A?>y(STnA?)/(r < оо) - Exe~(x+r^V{Sr)I{T < оо).

(46)

Далее, V(STn) У(5) < оо на множестве {ш: т — оо}, и поэтому

lim Ехе- (А+Г)т" V(ST )1(т = оо) = 0. (47)

п

Требуемое свойство (А\') следует из (44), (46) и (47). Для завершения доказательства теоремы надо установить справедливость свойства (46) и доказать формулу (17) (с г* = т). С этой целью докажем следующее утверждение.

Лемма 1. При х 0 и рЄШ, а > О,

1 г

где Ф(ж) = — І е 2 dy. у27Г J-оо

Доказательство. Пусть, для простоты, а2 = 1. По теореме Гирсанова (§ Зе, гл. III или § ЗЬ, гл. VII)

P(max(/is + Ws) > х, fit + Wt < ж) V s^t /

= Е/(max (/is + Ws) > x, fit + Wt < x)

\\ s^t \'

= Eexp (p.Wt - Y*)1 (m|f Ws >x,WtПоложим Tx = inf{t > 0: Wt = x}. Тогда принцип отражения Л. Андрэ утверждает, что процесс

Wt = WtI(t < Тх) + (2х - Wt)I(t > Тх) (50)

является также винеровским. (См. § ЗЬ в гл. III, [124], [266] и [439].) Из (49) и (50) находим, что

Pfmax(fis + Ws) < ж)

\\ s^t /

= Р(fit + Wt x, fit + Wt < ж) = - Eexp(pWt - fjtj > x, Wt ^ я)

= Ф (^p) - EexP (fWt - l(™axWs >x,Wt< ж) = - Еехр^(2ж - Wt) ~ ^ I(Wt > x)

= Ф - e2^Eexp(pWt - ^ x)

= Ф - e2"-P(/it + Wt ^ x)

Лемма доказана

2. Опционы Американского типа. Случай бесконечного горизонта 937 Следствие 1. Если р < 0, то

Р(sup(pt + aWt) ^ ж) = 1 - exp j ^ J. (51)

Если р ^ 0, то

P(sup(pt + aWt) < ж) = 0. (51\')

Следствие 2 (к доказательству (45)). Беря в (50) р

находим, что

P^sup aWt - (Л+ у)*] < = 1 - ехр|-^1 + (52)

Отсюда ясно, что если А > 0, то свойство (45) выполнено.

2

Следствие 3 (к доказательству (17)). Пусть St \' xert ¦ eа2

х* > х. Тогда из (51) с р ~ і находим, что

Р(т* = оо)

, ч 1 2г

— Ш <»>

2

что доказывает формулу (17) для г < — и х < х*. При х ^ х* эта

а2

формула очевидна, а при х < х* up — і — ^ 0 формула (17) следует

из (51\').

Первое доказательство теоремы закончено.

6. Второе доказательство. Пусть /3 = А + г, А > 0, 71 определено формулой (31) и So = 1. Полагая

Zt=e-^S1\\ (54)

находим, что

Zt = ехр|ті^ - ^у"*}- (55)

Отсюда ясно, что Z ~ (Zt) является Р-мартингалом и е-* (St - К)+ = srHSt - K)+zt.

Если обозначить

G(x)=x~^(x-K)+,

то видим, что

F*(l) = sup Ee-(A+r)T(5T - К)+І(т < оо) тєЩ?

= sup EG(ST)ZTI(T < оо). (56)

тєШГ

Рассматриваемый процесс S — (ST)T^о порождается винеровским процессом W = (Wt)t^o, и, без ограничения общности, можно сразу предполагать,что (Г2, &•, (^t)t>0, Р) является координатным винеровским фильтрованным пространством, т.е. О = С[0, оо) - пространство непрерывных функцийа> = (w(t))t^o, 3-t = o>(s), s ^ = V иP-винеровская мера.

Пусть P - мера на (Г2,относительно которой процесс W = (Wt)t^о с Wt = Wt — (71 &)t является винеровским.

Если Pt = Р | и Pt = Р | &t - сужения мер Р и Р на то Pt ~ Pt, и производная Радона-Никодима есть

!rz" <57)

где ZT определяется формулой (55). (См., например, теорему 2, § Зе, гл. III.) Поэтому, если А Є З-t, то

EI А = ElAZt, где Е - усреднение по мере Р, и если А Є 9-т, то

ЕІАІ(Т< ОО) = EZTIAI(T(ср. с (2) в § За, гл. V).

Отсюда находим, что если / = f(w) - неотрицательная &-т-измеримая функция, то

ЕД(т< оо) = EZT//(TВместе с (56) это приводит к тому, что

(60)

v*(l)= sup EG(5r)/(r < оо).

Иначе говоря, задача об оптимальной остановке (8) (для х = 1) эквивалентна новой задаче (60), решение которой может быть легко получено из следующих соображений.

Рассмотрим функцию G(x) = х~\'У1(х — К)+. Эта функция на Е =

7i

71 - 1 (61)

(О, оо) достигает своего максимального значения в точке х* = К- (ср. с (15)), причем

max G(a;) = с* (= G(x*)), где с* определяется формулой (14). Поэтому из (60)

(62)

F*(l) s; с* sup EJ(r < оо) s; с*.

Пусть т* = inf{i ^ 0: St ^ х*} и начальное значение SQ = 1 ^ х* Поскольку, по предположению, Л > 0, то х* <00.

Лемма 2. 1) При А > 0

(63)

Р(т* < оо) = 1.

Доказательство. Процесс Wt = Wt — (71 cr)t, t > 0, является винеровским по мере Р и, по теореме Гирсанова,

Р(т* < оо) = Р (max St > х*

\\ t>о

= Р ( шах Vt^o

= Р ( шах

\\*>о

^ In ж"

oWt+\\i\\aWt + (li ln^j = 1,

где последнее равенство следует из (51) и того, что

2 а"1 2 /7Ї М2 2(А + г) п

Тем самым, (63) доказано. Свойство (64) было установлено в следствии 3. Лемма 2 доказана.

Обратимся снова к (62). Поскольку Р(т* < оо) = 1 и G(5T«) = G(x*)= с*, то

Е G(ST.)=c*

и из (62) следует, что

F*(l) = EG(5T.) = ЕG(St*)I{T* < оо)

= Еe~(x+r)T\' (ST- - К)1(т* <оо)=с*.

Тем самым получено (для х — 1) второе доказательство формулы (12)

2

и установлена оптимальность момента г*. Еслиг ^ —,тоР(т* < оо) = 1,

и, следовательно, при этом условии момент г* является оптимальным в классе Шд0.