§ 4d. Стандартные опционы покупателя и продавца

f(SN) = (SN-K)+,

где N - момент исполнения (maturity time) и К - цена исполнения (strike price). Полученные в предшествующем параграфе формулы для рациональной стоимости и совершенного хеджа, естественно, здесь упрощаются.

Fn(S0-,p) = ?c?pfc(l-p)n-fcmaJo, S0(l + a)N (l±^)fe-Л (1) fc=o \'

Пусть

- то наименьшее целое, для которого

+ (2)

Будем, для краткости, в случае /лг = {SN - К)+ обозначать С(/лг; Р) через CN или через С<^>, если нужно подчеркнуть зависимость от К.

Если К0 > N, то FN(SQ-,P) = Ои, следовательно, в этом случае (см. (8), §4с) рациональная цена CN = 0, что и понятно, поскольку тогда заведомо Sn < К и покупка опциона не может принести никакого дохода, а потому и цена его равна нулю.

Будем поэтому предполагать, что Ко ^ N. Тогда

CN = (l+r)-NFN{So;p)

N

-K(l + r)-N ? CkNPk{l-p)N~k¦ (3)

k=Ka

Положим

Р =

1+І- 1+г

n

N-k

B(j,N-,p) = 22CNPk(l-p) k=j

С этими обозначениями получаем следующий результат Дж. Кокса, Р. Росса и М. Рубинштейна, [82].

Теорема. Для стандартного опциона Европейского типа с функцией выплат /(SN) = (SN — К)+ справедливая (рациональная) стои-мость

CN = SoB(Ko,N-,p*) - K(l + r)-NB(K0,N;p), (6)

где

К

(7)

1 + а

Ко — 1 +

In

In

S0(l + a)N/ 1 + 6.

Если К0 > N, то CN = 0. 2, Поскольку

(К - SN)+ = (SN ~ К)+ - Sn + K,

то рациональная (справедливая) стоимость для ошшона-пут, которую обозначим РN > определяется формулой

Рлг = Е(1 + г)-^(іГ-5^)+

(8)

= СN- Е(1 + r)-NSN + К( 1 + r)~N.

(9)

PN =CN -S0 + K(l+r)~N.

Здесь Е(1 + г) SN = So- Поэтому справедливо следующее тождество, называемое "паритетом колл-пут":

4. Опционы Европейского типа на биномиальном (В, 5)-рынке 749 3.

f / о \\

С^ = Во Е N— соответствующая рациональная стоимость. BN

Следующее интересное наблюдение (см., например, [121], [122]) показывает, как знание рациональных стоимостей Cj^ для функций выплат (SN — > К ^ О, может быть использовало при отыскании значений для опционов с другими функциями выплат /. Предположим, что функция / = f(x), х > 0, такова, что ее первая производная f\'(x) = j p(dy), где р = p(dy) - конечная мера (со знаком) на

J О

(R+, 53(R+)). (Если у функции f(y) существует "обычная" вторая производная, то p(dy) = f"(y) dy.) Тогда непосредственно проверяется, что

/*оо

f{x) = /(0) + xf\'( 0) + / (х- К)+ p(dK) Jo

и, значит,

/•ОО

f(SN) = f(0) + SNj\'(0)+ (SN-K)+p(dK) (Р-п.н.).

Jo

Беря математическое ожидание по мартингальной мере FV, находим, что

-:f(SN) _ ДО) , So ,„m , (SN-K)+

Е-

?>0 JO- ^ЛГ

Блг Влг В0\' и, следовательно, согласно формуле (6) из § lb,

poo

с#> = (1 + r)-Nf(0) + sof\'(0) + / c p(dK). (10)

Jo

Заметим, что если f(x) = (x — K*)+, К» > 0, то мера p(dK) сосредо-точена в точке К*, т. е. р * (dK) = {к* } (dx), и, как и должно было быть,

^ JV — ^JV ¦

4. Формулы (6) и (9) решают вопрос о значениях рациональной стоимости опционов покупателя и продавца. Для эмитента, выпускающего эти опционы, представляет большой практический интерес также и рас-чет совершенного хеджа ж = (/3,7), который может быть проведен, опираясь на формулы (15) и (14) предыдущего параграфа. Не останавливаясь на подробном анализе этих формул, ограничимся далее лишь рассмотрением одного простого примера, идея которого взята из работы [162]. (См. также [443] и сходный иллюстративный пример, рассмотренный в начале этой главы.)

Пример. Рассмотрим две валюты, скажем, А и В. Пусть Sn - стоимость 100 единиц валюты А, измеряемой в единицах валюты В, причем п = 0 и 1. Предположим, что So г- 150 и ожидается, что в момент времени п — 1 цена Si может стать равной 180 (повышение курса валюты А) или 90 (понижение курса валюты А).

Записывая

Si = So(l + Pi), (11)

находим, что принимает два значения 6 и о, где 6 = | и а = —что соответствует повышению и понижению курса валюты А.

Пусть Во — 1 (в единицах валюты В) и г = 0.

Пусть JV= 1и/(5і) = (Si -К)+, где К = 150(B), т.е. # = 150 единиц валюты В. Таким образом, при повышении курса валюты А покупатель опциона-колл получит 180 — 150 = 30 (единиц валюты В). При понижении же курса - / (Si) = 0.

Пока ничего не было сказано о вероятностях того, что р\\ — Ь и pi — а. Если предположить, что повышение и понижение курса А происходят с ве-роятностью то E/(Si) = 30-1 = 15 и по классическим воззрениям, идущим со времен Бернулли и Гюйгенса (см., например, [186; с. 397-402]), разумной платой заприобретение такого опциона была бы величина Е f (Si) -- 15 единиц валюты В.

Однако следует подчеркнуть, что это значение существенно зависит от вероятностного предположения о том, каковы вероятности Р — P(pi = 6) и 1 — р = P(pi = а). Еслир = то мы видим, что E/(Si) = 15 (В). Но если р ф то значение E/(Si) изменится.

Если, к тому же, учесть, что в реальных ситуациях практически нет каких-либо определенных соображений о точных значениях р, то становится понятным, что классический подход к определению разумной цены не может считаться удовлетворительным.

В этом смысле изложенная выше теория расчета рациональной стоимости действует в предположении, что р может быть любым числом, лишь бы 0 < р < 1, а в качестве того значения, относительно которого можно все рассчитывать (по классической схеме), надо брать значение

~ г — а

В рассматриваемом примере

П4-? О

Ci = S0p(l +6) - Кр = s0pb= 150 • ^ • і = 20.

З 5

Таким образом, покупатель, приобретая опционы, должен заплатить премию Сі, равную 20 (в единицах валюты В), которую можно теперь рассматривать как начальный капитал Хо = 20 (В) продавца опциона (эмитента) , с которым тот выступает на рынке в качестве инвестора.

Представим капитал ХО в его обычном (для (В, S)-рынка) виде: Хо = РоВо + 7oSo. Если считать Б0 = 1 и So = 150, то капитал Х0 = 20 (В) может быть записан в виде 20 = 0+^-150.

Пусть эмитент имеет возможность также брать (с банковского счета В в валюте В) средства в долг, который, разумеется должен быть возвращен. Тогда начальный капитал Хо = 20 (В) может быть представлен, например, в таком виде: Хо = —30 + | • 150, что соответствует портфелю (Д),7о) = (—30, , означающему, что с банковского счета взято 30 единиц валюты В, но зато уже | • 150 = 50 единиц валюты В эмитент может обменять на валюту А, получая 33.33 единицы.

Предположим, что эмитент, выступающий как инвестор на рассматриваемом (В, 5)-рынке, выбирает портфель (/Зі,71) = (/Зо, 70)¦ Рассмотрим вопрос о том, что дает данный портфель в момент N = 1.

В силу сделанного предположения Вг — Во = 1, на банковском счете будет fiiBi = —30 единиц валюты В.

Если происходит "повышение" валюты А ("180 В = 100 А"), имеющейся у эмитента, то 33.33 единицы этой валюты дадут 60 единиц валюты В, из которых 30 единил составляют долг на банковском счете. Вернув 30 единиц долга, эмитент будет иметь еще 60 — 30 = 30 единиц валюты В, которые он и выплатит покупателю опциона, полностью выполнив условия контракта.

Если же происходит "понижение" валюты А, то 33.33 единицы этой валюты дадут 30 единил валюты А, которые эмитент вернет на банковский

счет. Покупателю опциона ничего выплачивать не надо (он проиграл!) и, тем самым, эмитент полностью "чист"

Произведенный выбор портфеля (/?i,7i) = (—30, 5) может показаться несколько искусственным. Однако, именно к этим значениям приводит изложенная выше теория.

В самом деле, согласно формуле (14) из §4с, "оптимальное" значение 7i = 71 (5э) совершенного хеджа подсчитывается следующим образом:

7i (So)

F0(5b(l + Ь)-р) - F0(Sq(1 +о);р)

So (Ь - а)

/ (So (1 + Ь))-/(So (!+«)) = /(Sp(l + b))

So (6 — о) So (6 — а)

(So(l + 6)~ К)+ = Ь 1/5

So(6 — о) ~ Ь-а ~ 1/5+2/5 ~ 3 \'

Значение /Зі = /ЗЬ определяется из условия

X0 = A)+7OS0.

Поскольку XQ = 20, 7о = 3 и So = 150, то /Зі = /Зо = -30, что и было принято выше.

Из приведенных рассмотрений ясно, что чистый доход V(Si) покупателя опциона (как функция от Si при заданном К) задается формулой:

Естественно, конечно, задаться вопросом, а каков же доход продавца оп-циона.

Нетрудно видеть, что в рассмотренном выше примере этот доход равен нулю и в случае "повышения" и в случае "понижения" валюты А.

Дело в том, что, на самом деле, ситуация более сложная и, прежде всего, потому, что существуют "операционные издержки" "комиссион-ные" "налоги" и т.п., что увеличивает, разумеется, ту величину премии, которая была рассчитана выше. Так что, например, "комиссионные" могут рассматриваться как доход продавца опциона. Впрочем, надо также принимать во внимание и то обстоятельство, что эмитент обладает (быть может и на короткий период времени) дополнительными средствами, сла-гающимися из премий, которые он может использовать для приумножения своего капитала.

Можно задаться также вопросом о том, почему на фондовом рынке существуют и пользуются спросом самые разнообразные опционы и другие ценные бумаги.

Одно из объяснений состоит в том, что на рынке всегда есть те, которые рассчитывают или на понижение, или на повышение обменных курсов, цен акций,.... А раз это так, то, естественно, должен быть и тот, кто воспользуется этой ситу алией. Именно это и делают эмитенты, выпуская в свет опционы-колл (в расчете на присутствие на рынке "быков"), или опцио- ны-пут (в расчете на наличие на рынке "медведей"), или их комбинации в сочетании с другими видами пенных бумаг.