§ 5с. Расчеты для стандартного опциона продавца

/„Ы=/9"(*-у)+, хЄЕ, (1)

гдеО < /3 < 1,Е = {у = Хк: к = 0,±1,...}, Л> 1.

По аналогии с обозначениями из предшествующего параграфа, будем полагать

VnN(y)= sup Еv(a0)r(K-ST)+, (2)

т-ЄШІ^

V*(y)= sup Ey(aflr(K-ST)+. (3)

Интерес к вычислению этих величин связан с тем, что

V0Ar(y) = Civ(/;P), у = (4)

и

^*(у)=Соо(/;Р), y = S0, (5)

где СN(f; Р) и Соо(/; Р) для системы функций / = (/п)п^о с /„ = /„(у), задаваемыми формулами (1), определяются формулами (7) из §5а и (21) из § 5Ь соответственно.

Теорема 1.

= {у Є Я: у Є (0,у*]}, (6)

С?={уЄЕ:у€(уї,оо)} (7)

т? = min{0

= min{0При этом

Уо (8)

(9)

vN( ч _ Г 9ІУ)І y?D» = (0,y»}, °W~\\QN9(y), уЄС» = (у»,оо).

Рациональная стоимость Доказательство аналогично доказательству, проведенному в § 5Ь для случая опциона-колл, и основано на анализе множества точек у Є Е, в которых происходит "подъем" функции д(у) под действием операторов Qn.

Полезно при этом отметить, что под действием оператора Q заведомо происходит "поднятие" функции д(у) в точке у = К (выше для простоты полагалось К = 1) и Qg(y) = д(у) = 0 для у > К. Поэтому эти значения у Є Е можно относить как к областям остановки наблюдений, так и к областям продолжения наблюдений. Формулы (6) и (7) показывают, что такие точки были отнесены к областям продолжения наблюдений.

2. Рассмотрим вопрос об отыскании функции V* (у) ^lim Vj^ (у) j,

значения у* = lim у^ и оптимального момента г*: ЛГ-юо

V(y) = Ev[al3)T*(K-Sr.)+, (10)

снова полагая для простоты К = 1.

Обозначим С* = (у* ,оо), D* — (0, у*].

<р{у) = <*р[р<р{\\у) + (1

eg = (у?,оо),...,С%_1 = (г/лг-1,00),с% = 0.

Траектория (So, Si, S2, • ¦ ¦) выходит из областей продолжения наблюдений в момент Гц^

Рис. 60. Графики функций д(у) = (1 — у)+ и =

QN д(у) для опциона-пут с функциями вьшлат/п = /Зпд(у), О < /3 41,0 ^п^ N,\\> 1

Общее решение ЭТОГО уравнения имеет ВИД СІ У71 +С2УТ2 С 71 > ІИ72 < О (см. (31), (32) в §5Ь).

Поскольку V* (у) ^ 1, то сі = 0 и, значит, функцию V* (у) следует искать в классе функций

(11)

т7 < Г 1 - 2/\' 2/ < 2/\' I су72, У >У,

где "оптимальные" значения с* и у* параметров сиу должны быть опре-делены из вышеупомянутых (п. 6, § 5Ь) дополнительных соображений, что V*{y) = Vс* (у, У*) должна быть наименьшей а/З-эксцессивной мажорантой функции д(у) = (1 — у)+.

Следуя изложенной в §5Ь схеме отыскания приближенных (при малых Д = 1 — А > 0) значений с и у (для параметров с* и у*), находим, что они должны определяться из системы двух уравнений

<Рс(у) = д(у),

(12)

dg{y)

dfc(y)

dy

у=у+

у—у-

І72І1

dy

721

Решая эту систему, получаем

(13)

72

с =

І72 - II\'72-1! \'

У =

72-1

С помощью значений у и с, полученных в "предельной" схеме (А 4- 1), можно дать формулы (см. [443]) для величин у* и с* и в исходной "допре-дельной" (А > 1) схеме:

где

с* = min(ci,c?),

с* = (1 _ Д[1°ЄА 5])Д-72[1°6А У]; с^ = (і — ДР°ЄА !/]+l^-72[l°gA у] 72

<ч

(17)

если с* = ct, ДроКА Й+1( еслис*=с|.

Свойство а/3-эксцессивности наименьшей мажоранты V*(y) функции д(у) = (1 — у)+ устанавливается прямой проверкой.

Наконец, заметим, что условие

а + b А + А- .

(ср. с (45) в §5Ь) обеспечивает вьшолнение свойства Ру(т* < оо) = 1, у Є Е, для момента т* = inf{ra: Sn < у*}. (Еслиу < 2/*,тоРу(т* =0) = 1.)

Тем самым, при выполнении условия (14) момент т* является оптимальным в том смысле, что выполнено свойство (10) для всех у Є Е.

Теорема 2. Пусть 0 < /3 < 1 « выполнено условие (18). Рациональная стоимость Соо(/;Р) = V*{S0), (19)

где

I с So , So > У , а константы с* и у* находятся по формулам (14)—(17). Оптимальным моментом предъявления опциона к исполнению является момент т* — inf{n: Sn ^ У*}- При этом

V*(S0) = ESo(a/3)r\'{l-Sr.)+.

...