§ 2Ь. Стандартный опцион продавца

Будем считать, что диффузионный (В, 5)-рынок описывается представлениями (1) и (2) из § 2а и

U,(x)= sup Exe~(x+r)T(K-ST)+, (1)

re®tg°

U.(z)= SUP Exe~(x+r)T(K — ST)+I(t < OO). (2)

Теорема.

(3)

ТТ I \\ тт г \\ ( К -X, X ^х,, U* (х) = U» (ж) = < 72

где

(4)

/ О -

/ \\ 1+І73І

«-^\'(пта) • (Ч

/

/

В классе Ш0 существует оптимальный момент и в качестве такового может быть взят момент

(7)

т, = inf {і >0: St ж»}.

При этом

1,

еслм г — или X ^ ж»,

(8)

Р*(т. < оо)

2г

Ж» \\ <7* 1 <72

— I , еслм г > — м ж > ж», ж / 2

Доказательство этой теоремы даже несколько проще, нежели доказательство теоремы в §2а, что объясняется тем, что здесь функция д(ж) = (К — ж)+ является ограниченной.

По аналогии с соответствующей задачей для случая дискретного времени (§5с, гл. VI) естественно предположить, что области продолжения наблюдений С» и остановки наблюдений ?)» имеют следующий вид:

С» = {ж Є Е: х > ж»} = {ж Є Е: U*{x) > д(ж)}

и

?>, = = {х Є Е: U*{ ж) = з(ж)},

где ж, и С/, (ж) являются решениями (х и U(x)) задачи Стефана:

LU(x) = (А + r)U(x), ж>ж,

U(ж) = д(ж), ж ^ ж,

\'Д/(яї)

(11)

<й/~(ж) _ dg{ж) d® хії" xts\'

В рассматриваемом случае ограниченные решения уравнения (9) в области ж > ж имеют вид U(x) = сж72, где 72 является отрицательным корнем квадратного уравнения (30) из § 2а, определяемым формулой (4). Используя условия (10) и (11), однозначным образ ом находим значения с и ж, задаваемые правыми частями равенств (5) и (6).

Доказательство того, что U, (ж) = U(x) и момент г» является оптимальным, проводится путем установления соответствующих "проверочных" условий (А) и (В) с помощью рассуждений, аналогичных тем, которые были приведены в предыдущем § 2а. Доказательство формулы (8) основывается на применении леммы 1 и следствий к ней из того же § 2а.

Замечание. "Мартингальный" метод доказательства сформулиро-ванной теоремы ("второе доказательство") основан на том замечании, что в рассматриваемом случае мартингалом является процесс Z = (Zt)t^o с

причем

Zt=e~^S]\\ /? = А + г,

t \'

е-*[к - St)+ = sr2(K- St)+zt s; c,zt

и последующие рассмотрения идут так же, как и в случае опциона покупателя (§2а).