§ 4с. Расчет рациональной стоимости и хеджирующих стратегий. II. Случай марковских платежных функций

Пусть

XI = E{f(SN)(l+rr^-^\\9n] (1)

- капитал совершенного хеджа ж в момент времени п и, в частности,

C(/N;P)=XJ=i[/(SN)(l+r)-N]. (2)

Обозначим

п

Fn(x;p) = ?/(«(1 + 6)fe(l + «)"-fe)C*Pfc(l -р)п~к.

Тогда, поскольку

Д (1+/>*) = (1 + 6)Л^-Л"(1 + а)^-п)-(Л^"Л">, (4)

nгде Д„ = (Ji н h ёп, Sk = ^—то

о — о

Е f(x П (l + pfc)) =FN-n(x-,p) (5)

~ г — а

С Р = 7 .

о — а

Учитывая, наконец, что

SN = Sn П (1 + pjk), (6)

из (5) получаем следующий результат.

Теорема 1. В CRR-модели с марковской платежной функцией fx = /(Sjv) капитал Хж = совершенного хеджа ж определяется формулами

X: = (l+r)-(N-^FN_n(Sn-,p). (7)

В частности, рациональная стоимость опциона задается формулой

С(/лг; Р) = X! = (1 + r)~N Fff(So;p)- (8)

2. Обратимся теперь к вопросу о структуре совершенного хеджа

5? = 09,7)-

Положим

/(»(\'+ •>»->. <„

Тогда, согласно теореме 2 из предшествующего параграфа, в представлении

N

MN =M0 + Y,ZkS)(h-p) /t=і

для

предсказуемые функции

= С*_4(Д<_1;р), (10)

где

В N " fc=0

ЛГ-І

x+fc+l\\ / /l_L»,\\x+*>

• (И)

Если здесь положить х = А,-і, то, с учетом равенства

5i_a = S0(l +

и обозначения (3), из (11) получим, что

= ^[FN-i{Si-1(l + by,p)-FN.i(Si.1(l + ay,p)]. (12)

Заметим теперь, что, согласно формулам (12) и (16) из §4Ь,

Ъ Si_i(6-a) Si-\\{b — о) • (Л}

Из (12) и (13) находим, что

= (1 + г)-<"-0 . F*r-i(Si-i(l +Ь)-,р) - +о);р)

Si-i(b-a)

Как ив §4Ь, обозначим

В силу самофинансируемости стратегии ж = (/3, 7) ДД • + Аъ ¦ Si_! = 0.

Поэтому

Xf_! = -1 +7<_iSi_i = +7і5і_і,

и, значит,

_ ХТ-1 _ 7^-1 Ві-г Ві_г ¦ С учетом (7) и (14) находим, что

~ = Jjy-i+i№-i;p) _ Длг 6 — 0

- -Jbr-i(S<-i(l+a);p)]}- (15)

Резюмируем полученные результаты.

Теорема 2. В CRR-модели с fx = /(SN) компоненты /3 = (Д)^дг «7 = (7і)і^лг совершенного хеджа ж = (/3,7) определяются формулами (14) и (15).

Следствие 1. Предсказуемые функции/Зі и-уі зависят от "прошлого" лишь через значение Sj_i:

Pi=HSi-1), 7І=7І№-І).

Следствие 2. Пусть неотрицательная функция f = f(x) являет-ся неубывающей. Тогда из (3) и (14) следует, что для совершенного хеджа ж — (/3,7) функции ji ^ 0 для всех і ^ iV.

Замечание. Если интерпретировать отрицательность величин 7j как взятие акции взаймы (так называемый short-selling), то результат след-ствия 2 означает, что в случае неубывающих функций f(x) совершенный хедж является хеджем без short-selling\'a.