§4Ь. Расчет рациональной стоимости и хеджирующих стратегий. I. Случай общих платежных функций

(1)

АВп =гВ„_і, Д S„ = pnSn-1,

где (рп) - последовательность независимых случайных величин, прини-мающих два значения а и Ь,а < 6, иг - процентная ставка, —1 < а < г <Ь.

Помимо требований (1) предполагается, что заданная на исходном фильтрованном вероятностном пространстве (SI, 9, Р) последовательность Р 1 (Рп) такова, что

Р(Рп =Ь)=р, Р (рп = а) = q,

р + q — 1,0 <р < 1, причем при каждом п величины рп являются -измеримыми.

В рассматриваемой модели вся случайность, образно говоря, "входит" через величины рп, и поэтому в качестве пространства элементарных

событий можно брать или пространство Гідг — {a,b}N, т.е.

п

Если .., хп) = ^ьО*») _ число тех ХІ, г ^ п, которые равны Ь,

i=l

то, очевидно,

Р„(*1,. ..,*„)= ь-.*«). (2)

По-другому можно сказать, что Р„ = Q ® - • • 0 Q - прямое произведе-

п раз

ние мер Q таких, что Q({6}) = р, Q({o}) = q, где/? > 0, q > 0, р + q = 1. Согласно § Id, гл. V, CRR-модель является безарбитражной и полной, а, согласно первой и второй фундаментальным теоремам, для каждого п ^ 1 существует и притом единственная мартингальная мера Р„ ~ Р„, имеющая следующую простую структуру (ср. с (2)):

где

_ г-а _ Ь-Г

р = - , q = -—- . (4)

о — а о — а

Из (3) следует, что мера Рп, как и мера РП) имеет структуру "прямого произведения": Р„ = Q ® • • • ® Q, где Q({6}) = р, Q({o}) — q.

4 v \'

п раз

2.

Как уже отмечалось, и для продавца (эмитента), и для покупателя оп-ционного контракта прежде всего важен вопрос о том, что понимать под "справедливой" (иначе, "рациональной") стоимостью этого контракта.

Согласно изложению в § lb, гл. V, на полных безарбитражных рынках, к числу которых относится рассматриваемый биномиальный (В, S)-рынок, справедливой (рациональной) ценой естественно считать величину (совершенного хеджирования Европейского типа):

С(/лг;Р) =inf{x>0:37rcXJ = жиХ? = fN (Р-п.н.)}, (5)

где Хж = - капитал, отвечающий самофинансируемой стра

тегии 7г = (/3,7). (См., подробнее, § lb, гл. V, и § lb в настоящей главе.) При этом С(/дг; Р) может быть подсчитано по формуле (4) из § lb:

С(/„;Р)=В0Е-^, (6)

где Е есть усреднение по мартингальной мере Р щ.

Для модели (1) В^ = BQ( 1 -f- r)N. Тем самым, здесь

= (7)

и с принципиальной точки зрения этой формулой полностью решается вопрос о рациональной стоимости опционного контракта с функцией выплат /дг.

Весьма замечательно, что в рассматриваемой модели продавец опциона, получив от покупателя премию С(/дг; Р), может составить такой портфель 7г = (/3,7), чтобы его капитал X71" = в момент времени N в точ

ности воспроизводил платежное поручение /дг. При этом, как отмечалось, например, в § lb, стандартный прием отыскания портфеля п = (/3,7) состоит здесь в следующем.

Образуем мартингал М = (Мп,9п, Рлг)п^лг с

5

Согласно "-—-представлению" найдется такая предсказуемая последовало __

тельность 7 = (7»)і<лг, что

М„=М0 + |>л(|), n^N. (8)

Полагая (Зк = Мк —, получаем (см. §4Ь, гл. V, и § lb в настоящей

Вк _

главе) самофинансируемый хедж 5г = (/3,7), капитал которого

ХІ = 0кВк + 7kSk = I ^fc)

таков, что

X*=C(fN; Р) (9)

и выполнено свойство "совершенности"

xn = /лг-

Поскольку

(Pfc - г)

(10)

( \\ _ Sk-1

Вк

из (8) видим, что

7* /»

Мп=М0 + 22 sk} (Рк -г)=Мо+22 «к)АткР)> (11)

к=1 к-1

где а^г\' и 7к связаны соотношением

%-f*.

а последовательность т^ = (тп\\&п, Рлг)п^лг,

п

™?р) = !>*-*•), (13)

fe=l

образует мартингал.

Из дальнейшего станет ясно, что наряду с последовательностью р = (р„) целесообразно ввести также последовательность S ~ (<5П), полагая

, Рп - а ,, ..

= -7—— • (14)

о — а

Понятно при этом, что

(15)

"\'{I ~ 6п = {1

и&п = o(pi,...,pn) = .. ,?„).

Поскольку

^Г\' (16)

то наряду с (8) и (11) имеем также представление

п

Mn=M0 + J24S)miS\\ (17)

fc=i

гле последовательность тп^ = Рдт),

ш^ = ^{5п-р), (18)

і=і

является мартингалом и

а[5) = (Ь-а)а[р\\ (19)

Резюмируем изложенные результаты в виде следующего утверждения.

Теорема 1. 1) В CRR-модели (1) для любого N и любого &N-измеримого платежного поручения /N справедливая цена С(/дг; Р) опре-деляется формулой

с(/";Р) = і(ГТ7р\' (20)

где Е - усреднение по мартингальной мере PN-

2) Существует совершенный самофинансируемый хедж тг = (/3,7), капитал которого X* — (X*)n^N таков, что

= е( FN

XI

)¦ (21)

X* = C(fN; Р), X% = fN

3) Компоненты fi = ((3n)n^N « 7 = (ln)n^.N хеджа ж таковы, что

где 7„, n^N, определяются из -представления" (8) для мартин-

гала М = (М„, PN)n^N,

Теорема 2.

(22)

/ЛГ =BNg( An),

где g = д(Длг) - некоторая функция от AN = & і Н 1- 8N-

Тогда в представлении (17) коэффициенты

(23)

Sjf)=GN_fc(Afc_i;p), l^i^JV,

где До = 0 и

п

Gn(x;p) = 22b(x+k + l)- g(x + k)]C*pk qn~k. fe=0

Доказательство. Заметим, прежде всего, что МП = E(MN | где MN = —•

&N

Поскольку Д МП = САП* АТПП^, то для AN^ = <*N\\8I,... ,6N-I) находим, что

= Ё(Млг | Si, ¦ ¦ •, _ Е(з(Длг)|6i,...,6n-i,l) -Ё(g(AN)\\Si,...,Sn-i)

. (25)

1-р

Ha множестве {а>: Дп_і = х, 5п — 1}

Ё(5(Длг) | &п) = Ед{х + 1 + AN - Д„)

и

Ё(д(Д^) 19N-I) = ЁД(Х + AN - Д„_і)

= рЕд(х + 1+ AN ~ Д„) + (1 -р)Ед(х + AN - Д„).

Тем самым, на этом множестве

Е^Д^І^-Е^Длг)!^-!)

= (1 -р)Е[д(х+ 1 + AN - АП) -g(x + AN - Д„)]

= (! -Р) Е Ых +1 + *)"$(* + Л)]С*_пРк( 1 -p)N~n~k fe=0

= (1 -p)GN-n(x-,p),

что с учетом (25) приводит к требуемому представлению (23). Теорема доказана.