§ Id. Формула Блэка и Шоулса. III. Модель с дивидендами

Более точно, это означает следующее.

Здесь <5 > 0 есть параметр, характеризующий интенсивность (rate) выплаты дивидендов. Если Bt = 1, то из (1) следует, что

dSt = dSt + SSt dt, (2)

и, значит, приращение капитала обладателя акции за время dt складывается из изменения dSt рыночной ее пены и дивидендов 6St dt, пропорциональных St-

Поскольку dSt = St(p dt + adWt) и

d(^j=^{{p-r)dt + adWt), (3)

(4)

fQ = [(/i - г + <5) dt + adWt] ¦

то из (1)

Обозначим

Wt = Wt+ »~r + 6t (5)

а

(є.

Тогда, если определить меру Рт, полагая

dPT = ЯтйРт,

то, в силу теоремы Гирсанова (см. § Зе, гл. III), найдем, что процесс W = (Wt)t^T п° мере Рт будетвинеровским. Поэтому

\' Law (fit + aWu t^T\\PT) = Law((r - 6)t + aWt; t^T | Рт)

= Law((r- 6)t + aWt; t^T | PT)

и

Law (St; t ^ T \\ PT) = Law(Soe(r-4-?)t+,rW\'t; і<Г|Рт). (7)

Пусть X* — PtBt + jtSt, t ^ T, есть капитал самофинансируемой стратегии 7г = (/3,7). Поскольку по мере Рт дисконтированный капитал [J является мартингалом в классе 0-допустимых стратегий V Bt Л<т

с J 7u^u du < оо (Р-п.н.), то

у-к уте ±Т _

рт ВТ В0 \'

Отсюда выводим (ср. с (13) в § lb), что рациональная стоимость опциона-колл Ст№ г) определяется формулой

Ст№г) = В0Ерг^, (8)

где/т = {ST-K)+.

1. Опционы Европейского типа на диффузионных (В, 5)-рынках 925 С учетом (7) и формулы (16) в § lb, из (8) находим, что

\\ +

Ст№ г) = е~гТЕрт - К)

= - К)

Пусть также Ру(5;г) - соответствующая стоимость ошщона-пут при наличии дивидендов. Нетрудно убедиться, что стоимости Си Рт (5; г) связаны (ср. с (9) в § 4d, гл. VI) следующим тождеством "паритет колл-пут":

Рт№ г) = Ст№ г) - Soe~ST + Ке~гТ. (10)

Сопоставляя формулу (9) с формулой (9) из § lb для Ст(0;г) (= Ст)) и учитывая (10), приходим к следующему результату.

Теорема. Рациональные стоимости Ст(<5; г) и Рт (<5; г) опциона- колл и опциона-пут при наличии дивидендов от акции задаются формулами

(12)

\' " \' (П)\r\nС Т(6-г) = е_<$тСт(0; г — S)\r\n\r\nРт№г) = e~STPT{0-,r - 6)\r\n

где Ст (0; г — 8) и Рт (0; г — 6) определяются правыми частями фор-мул (9) и (18) из § lb ( "случай без дивидендов") с заменой г на г — 6.