4. Оценка деривативов с использованием стохастической модели для краткосрочных ставок (метод Блэка — Дермана — Тоя)

Для расчета цены дериватива в заданный момент времени (для определенности, в момент времени 0) необходимо построить стохастическую модель для какой-то изменяющейся со временем величины, поведением которой цена дериватива определяется достаточно хорошо.

Дермана — Тоя этой величиной является краткосрочная ставка.

Основная часть в методе Блэка — Дермана — Тоя — это построение данной стохастической модели, описание которой приводится ниже. После построения стохастической модели оценка деривативов производится стандартным путем; описание этого этапа также содержится в данном разделе. Затем приводятся примеры оценки деривативов.

Пусть т > 0 — это выбранный временной шаг и Т > 0

некоторый момент времени, кратный т.

Исходной информацией для построения стохастической модели являются, во-первых, доходности бескупонных облигаций 2/(0, Г) при Т = г, 2т,... ,Т + т, соответствующие начислению процентов 1/т раз за период времени 1, или, что эквивалентно, значения дисконтной функции Р(0, Т) при тех же Т, которые связаны с доходностями у(0, Г) соотношением

Р(0\'т)= (1 + гг,(0,Г))^\'

и, во-вторых, волатилъности доходностей оу(0,Т) при тех же Т.

Волатильности доходностей имеют следующий СМЫСЛ. Предполагается, что при фиксированном Т доходность у(т,Т) является случайной величиной и выполняется следующее условие для дисперсии логарифма этой случайной величины:

Я(1п(у(т,Г)))=ау2(0,Г)г. (4.1)

Мы не обсуждаем, каким образом строится функция ау(0,Т) (как, впрочем, и функция Р(0,Т), которую на практике часто приходится восстанавливать по ценам купонных облигаций), а считаем, что эти функции каким-то образом построены, и, исходя из них, производится построение стохастической модели для краткосрочной ставки.

Рассмотрим дискретно работающую экономику.

Построить стохастическую модель — это значит для каждого момента времени ? = пт определить случайную величину г(?, ? + т). Эта случайная величина принимает некоторое значение для каждого состояния экономики j, возможного в момент времени ? = пт,з = 0,1,... , п. Данное значение следовало бы обозначить г(], t,t + т), однако для краткости мы будем обозначать его Расчет кратко

срочных ставок г(з, ?) производится для всех Ь ^ Г.

3

Рис. 4.1.

Для каждой пары моментов времени Ь и Т, такой, что Ос^сТ^Г + г, и для любого 3 = 0,1,... , через Р{], Т) обозначим цену в момент времени ? при состоянии экономики з бескупонной облигации, по которой в момент времени Т выплачивается 1 руб. В частности,

РО\'.М + г) 1

1 + тг(;\