5. Отсроченные соглашения о форвардных ставках и их оценка с использованием метода Блэка — Дермана — Тоя

{Т2-Т,)М(гя{ТиТ2)-Х)

руб. (Как обычно, если сумма платежа отрицательна, это означает, что участник А не получает, а платит эти деньги.) Здесь N — условная основная сумма соглашения о форвардной ставке, гя(Т1,Т2) — простая процентная ставка для заимствований в момент времени Т\\ до момента времени Т2, X — оговоренная в договоре фиксированная ставка.

Мы знаем (см. раздел 1), что текущая стоимость в момент времени Ь такого соглашения о форвардной ставке равна

УМ = ЛГ (Т2 - то Р(«,т2) (Л(*,тьт2) - х).

Здесь Т1,Т2) — просто начисляемая форвардная ставка.

В разделе 1 был рассмотрен финансовый инструмент, называемый отсроченным соглашением о форвардной ставке. Разница между отсроченным соглашением (для краткости в этом разделе мы будем называть соглашение о форвардной ставке просто соглашением) и обычным соглашением заключается только в моменте времени, когда производится платеж. Отсроченное соглашение о форвардной ставке заключается в том, что участник А получает ту же самую сумму, что и в предыдущем случае, но в момент времени 7\\, а не в момент времени

Может возникнуть вопрос о правильности названия "отсроченное соглашение". Речь ведь идет не об отсроченном, а об опережающем платеже. Но можно смотреть на это, как на опережающий платеж, а можно — как на отсрочку в определении плавающей ставки. В основу названия положена вторая точка зрения.

Сравнивая два соглашения, отсроченное и обычное, и исходя из того, что отличаются они только сроком платежа, но не размером, можно предположить, что текущая стоимость в момент времени і отсроченного соглашения равна

^ - Ш)

т.е.

у2(і) = N (Т2 - Тг) Р(і,Тг) (/,(«, ТьТа) - X). (5.1)

Скажем сразу, что величина определенная формулой (5.1), не является текущей стоимостью в момент времени ? отсроченного соглашения.

Составим в момент времени Ь портфель из одного длин-

ного отсроченного соглашения и \' коротких обычных

соглашений. Если текущая стоимость отсроченного соглашения определяется по формуле (5.1), то стоимость такого портфеля в момент времени і равна 0.

Пусть t + є < Ті. Текущая стоимость обычного соглашения в момент времени (t 4- є) равна

Vl{t + e) = N (Т2 - Ті) P(t + є, Т2) (fs(t + є,Тг,Т2) - X).

Если формула (5.1) дает текущую стоимость отсроченного соглашения, то эта текущая стоимость в момент времени (t + є) равна

V2(t + ?) = N(T2- Тг) P(t + є, ТО (/,(< + є,ТьТ2) - X).

Тогда текущая стоимость рассматриваемого портфеля в момент времени (і + є) равна

У^ + ?)-Ш)ЩІ + ?) =

= N (Т2 — Ті) (f„(t 4- є, Ті, Т2) — X) •

= N (Та - ТО (/.(t + є, Ті, Та) - X) P(t + є, Т2) •

fP(t + e,Ti) _ P(t,Ti)\\ = \\P(t + e,T2) P(t, Т2))

= N{T2- ТО2 p(t + є, Т2) (fs(t + є, Ті, Т2) - X) ¦

¦ifs{t + e,Ti,T2)~ f3(t,Ti,T2)). Последний переход следует из равенства

щтщ = і + № - тол(<,тьт2).

Если считать, что X = fs(t,Ti,T2) (а это так, если t — это момент заключения обычного соглашения), то в момент времени + е) текущая стоимость портфеля составляет

N (Т2 - Тх)2 P(t + е, Т2) (fs(t + е, Ти Т2) - Xf.

Данная величина положительна как при увеличении, так и при уменьшении форвардной ставки fs(t + е, ТЬТ2) по сравнению с форвардной ставкой fs(t,Ti,T2). Стоимость портфеля в момент времени t была нулевой, а в момент времени (t + е) стала положительной во всех случаях, кроме случая, когда форвардная ставка не изменилась.

Это означает, что использовать формулу (5.1) для расчета текущей стоимости отсроченного соглашения нельзя.

Мы можем также высказать гипотезу, что текущая стоимость отсроченного соглашения в момент времени t должна быть больше величины V2(t), определенной формулой (5.1), и должна стремиться к V2(t) при стремлении к 0 волатиль- ности форвардной ставки (точное определение волатильнос- ти форвардной ставки дано в разделе 8).

Для расчета текущей стоимости отсроченного соглашения может быть использован, в частности, подход Блэка — Дермана»— Тоя.

Пример. Рассмотрим отсроченное соглашение о форвардной ставке с датой измерения плавающей ставки 7\\ = 4 года (в данном случае это и дата выплаты) и с тенором 1 год (т.е. Т2 = 5 лет). Условная основная сумма N = 1 млн. руб. Фиксированная ставка X совпадает с /,(0,ТьТ2) (поэтому при расчете текущей стоимости отсроченного соглашения по "наивной" формуле (5.1) текущая стоимость в момент времени 0 оказалась бы равной 0). Требуется найти текущую стоимость отсроченного соглашения в момент времени 0.

Пусть, как и в примере 1 из раздела 4, доходность (соответствующая начислению процентов один раз за период времени 1, т.е. один раз за год) имеет вид

у(0, Т) = 0,1 + Г/200,

волатильность доходности имеет вид

ау(0, Т) =0,2 -Т/120.

Тогда X = 0,145224.

Опишем расчет с т = 1. Цены бескупонных облигаций с номиналом 1 руб. с погашением в момент времени Т2 = 5 для моментов времени Ті = 4 и Т2 = 5 и для всех состояний экономики, соответствующих этим моментам времени, показаны ниже. В скобках показаны краткосрочные ставки г5(ТьТ2) для различных состояний экономики в момент времени Ті. Эти же ставки приведены в примере 1 раздела 4; цены бескупонных облигаций без труда могут быть определены по краткосрочным ставкам.\r\nТі = 4 Т2 = 5\r\n 1,0\r\n0,800260 (0,249594) 1,0\r\n0,840941 (0,189144) 1,0\r\n0,874635 (0,143334) 1,0\r\n0,902023 (0,108620) 1,0\r\n0,923947 (0,082313) 1,0\r\n

Цены отсроченного соглашения в момент времени Т1 = 4 для всех состояний экономики рассчитываются по формуле

У{з, ТО = N (Т2 - ТО (Ыз, Ті, Т2) - X), 3= 0,1,... , Ті/т.

При t < 4 цена отсроченного соглашения рассчитывается по формуле (4.8):

v{j>f) = l + rr(j,t) \\ ( \' + т) + V{j + М + r)) при j = 0,1,... , t/т. Результаты расчета показаны ниже.

104370 61275 43920 33914 18200 -1890 15103 410 — 172^9 -36604 915 -13081 -29045 -45908 -62912

Таким образом, цена отсроченного соглашения о форвардной ставке в момент времени 0 получилась равной 915 руб.

Более точные результаты могут быть получены, если проводить расчеты с более мелкими шагами по времени т. Приведем эти результаты. Одновременно проверим, что при стремлении волатильности доходности к 0 цена отсроченного соглашения также стремится к 0. Для этого будем считать, что волатильность доходности имеет вид

а„(0,Т) = а (0,2 -Т/120).

Ранее рассматривался случай а = 1. В табл. 5.1 приведены цены в момент времени 0 отсроченного соглашения о форвардной ставке, полученные при расчетах с различными т и а.

Таблица 5.1. Цены отсроченного соглашения о форвардной ставке при различных волатилъностях доходности сгу(0,Т), рассчитанные с различными временными шагами т\r\nт а\r\n 1 0,5 0,25\r\n1 914,9 221,8 54,9\r\n0,5 949,2 227,2 56,0\r\n0,25 971,3 230,2 56,6\r\n0,125 983,2 231,4 56,9\r\n0,0625 990,0 231,9 57,1\r\n \r\n