8. Оценка деривативов с использованием стохастической модели для форвардных ставок (метод Хита — Джерроу — Мортона)

В этом методе сначала строится стохастическая модель с непрерывным временем для форвардных ставок, а затем стандартным путем производится переход к стохастической модели с дискретным временем. Основная математическая трудность в построении метода Хита — Джерроу — Морто-на — это переход от стохастической модели с дискретным временем для форвардных ставок к стохастической модели с дискретным временем для цен бескупонных облигаций. После того, как стохастическая модель для цен бескупонных облигаций построена, оценка деривативов производится обычным способом индукцией назад.

Напомним, что непрерывно начисляемая форвардная ставка /(<, Т, Т + т) определяется из соотношения

ехр(т/(?,Т,Т + г))= Р(*\'Т)

Здесь 0 ^ ? ^ Т. Значение т > 0 считается выбранным. Будем считать, что при произвольном, но фиксированном

Т > 0 математической моделью для форвардной ставки является случайный процесс, представляющий собой решение стохастического дифференциального уравнения

df = /.4/(*,Т) <И + ст/^Т)^, (8.1)

где г1 — стандартное броуновское движение. Величина сгу называется волатильностью форвардной ставки. Введем обозначение

Р(*,Т + т)\' Тогда

d ln F(t, Т) = ai(t, Т) dt + где ц = т ц/, а = т сг/.

Из последнего уравнения следует, что математическое ожидание случайной величины

ln F(t + г, Т) — ln F(t, Т)

приближенно может быть принято равным

fi(t,T)r, (8.2)

а дисперсия этой случайной величины приближенно может быть принята равной

ег2(?, Т) Т. (8.3)

Рассматривается дискретно работающая экономика; переменная t может принимать значения 0, т, 2т,... , пт,... В момент времени пт экономика может находиться в одном из 2П состояний.

Рис. 8.1.

Состояние экономики, возможное в момент времени пт, будем обозначать через считая, что — это набор из п символов и и й. Например, при ? = т возможны два состояния экономики, вт = и и 8Т = і. При і = 2т возможны

четыре состояния экономики, 82т = ии, й2г = и$2г = йи,

в2т = йсі. Если в момент времени ? экономика находится в состоянии то к моменту времени (і+г) экономика может перейти в одно из двух состояний в4+г = или в(+г = 8ій.

Возможные состояния экономики для первых трех моментов времени показаны на рис. 8.1.

Обозначения и и d происходят от английских слов "ир" и "down". В предыдущих разделах при описании методов Блэка — Дермана — Тоя и Халла — Уайта мы просто нумеровали все состояния экономики, возможные в тот или иной момент времени, и, на первый взгляд, это кажется удобнее, чем обозначать состояние экономики строкой из символов и и d. Причина, почему в методе Хита — Джерроу — Мортона принят именно такой способ обозначения состояний экономики, станет понятна после того, как будет выписана стохастическая модель для цен бескупонных облигаций (формула (8.6)).

Обозначим через F(t,T;st) величину F{t,T) при состоянии экономики st. Тогда

\\nF(t + т, Г; в|+т)-1пР(*,Г; st)

— это случайная величина, которая может принимать два значения, одно при st+T = stu и другое при s(+T = std. Требуется, чтобы математическое ожидание и дисперсия этой случайной величины были равны соответственно (8.2) . и (8.3).

Потребуем, чтобы из состояния st экономика с равной вероятностью могла перейти в состояние stu или в состояние std, т.е. вероятности обоих переходов равны 0,5. Положим

ln F(t + т, Т; st+r) - ln F(t, Г; st) =

_ Г fi{t, Т; St) т - a(t, Т; st) s/т при st+r = stu \\ n(t, T\\ st) т + a(t, T\\ st) у/т при st+r = std.

Математическое ожидание и дисперсия этой случайной величины равны соответственно (8.2) и (8.3) .

То же самое определение можно записать в другом виде

F(t + T,T-,st+r) =

_ Г F(t,T;st)a(t,T-,st) при st+T = stu . .

\\ F(t,T;st)P(t,T-,st) при st+r=std,

где

a{t, Г; st) = ехр[ /x(f, Т; st) т - a(t, Т; st) ^ ],

(8.5)

0(t, Т; st) = ехр[ fi(t, Т; st) т + a(t, Т; st) у/т ].

Нашей целью является построить по процессу (8.4) процесс для цен бескупонных облигаций. Запишем его в виде

P(t + T,T-Si+r) =

_ Г P(t,T-,st)u(t,T-st) при st+T = stu

X P{t,T;st)d(t,T-,st) при st+T = std. 1 \' ;

Построить процесс — значит опрёделить все значения u(t, Т; st) и d(t, Т; st). Значения функций а и /? известны для всех узлов. Они строятся по значениям функций ц и сг, которые являются известными. Через значения этих функций должны быть найдены величины и и d для всех узлов.

Цены бескупонных облигаций Р(0,Т) считаются известными для всех сроков погашения . Поэтому, если процесс (8.6) известен, то можно определить цены бескупонных

облигаций для всех моментов времени для всех возможных в эти моменты времени состояний экономики и для всех Т > По ценам бескупонных облигаций могут быть рассчитаны цены различных деривативов для момента времени 0.

Очевидно, что

и(Ь, ? + т; «<) = ? + т; з*),

поскольку при любом состоянии экономики Р{Ь + т, I + г; в<+7.) = 1. При 4 < Т - г считаем, что

<ИЬТ]8%) <и(Ь,Т-,8г)

при любом 5*. Положим

Очевидно, что

= и(г, Ь + г; = Л + г; Рассмотрим также счет денежного рынка. Положим

В(0) = 1

и

Важно то, что состояние счета денежного рынка в момент времени (? + т) определяется состоянием экономики в момент времени Ь и не зависит от того, чему равно st+т, в 14 или

Утверждение. При t < Т

Доказательство.

Рл± т \\ P(t + T,T-, stu)

F(t + т, T; stu) = -^rr-—=- ч

P(t + T,T + T; stu)

P{t,T\\ st) u(t, T; st)

P(t,T + T-st) u(t,T + r;st) - Fa T¦ « i

Утверждение доказано.

Утверждение. При t < T

0(t,T;s,)- d((\'T;S\')

d(t, T + t; st) \'

Доказательство аналогично доказательству предыдущего утверждения.

Утверждение. При k ^ 2

u(t, t + кт; 8t) = fc_1 R(t]St) . (8.7)

Y[a(t,t + jr; st)

Доказательство проведем по индукции. При fc = 2 в силу доказанного выше утверждения имеем

^ \' 4 a(t, t + т; St) a(t,t + г; st)

При произвольном к в силу того же утверждения и предположения индукции

U{t\'t + kT\'St)- a(t,t +(к-l)T-st)~

1 R(t-, st) R(t; et)

«(t, t + (A - 1)т; ef) « tl

l[a[t,t + jT\\8t) [[a(t,t + jT\\st) j=i j=l

Утверждение доказано.

Утверждение. При к ^ 2

d(t, t + кт; S|) = . (8.8)

ПЖМ + л-;*) i=i

Доказательство аналогично доказательству предыдущего утверждения.

Значения функций аи/J известны для всех узлов. Они строятся по значениям функций ц и ст, которые являются внешними, или, как иногда говорят, экзогенными переменными. Через них должны быть найдены величины und для всех узлов. \r\nПри построении а и ? по ? и а мы приняли, что ве-роятность перехода в состояние stu из состояния st равна 0,5, и вероятность перехода в состояние std из состояния st также равна 0,5. Мы откажемся временно от этого ограничения и будем считать эти две вероятности зависящими от узла (сумма двух вероятностей для каждого узла, конечно, равна 1) и неизвестными. Нашей ближайшей целью является получить уравнение, связывающее данные вероятности и величины и, в. и Я (а именно, уравнение (8.12), заменяемое потом на уравнение (8.14)). Уравнение (8.14) используется для определения величин и и й.

Мы рассмотрим торговые стратегии с использованием двух активов: счета денежного рынка и бескупонных облигаций с погашением в некоторый выбранный момент времени Т. Мы говорим, что задана торговая стратегия, если для каждого узла определена пара чисел

(?о (*; «0) ¦

число единиц счета денежного рынка, находящихся в портфеле в момент времени ? при состоянии экономики

число бескупонных облигаций с погашением в момент времени Т, находящихся в портфеле в момент времени t при состоянии экономики

Числа ?о(?;5() и ?1(2; не обязаны быть целыми и не обязаны быть неотрицательными.

Таким образом, стоимость портфеля в момент времени < при состоянии экономики есть

&(*; 5<) В(Ъ зг-т) + 6(*; 8г) Р(<, Т; 8г).

Торговая стратегия является самофинансируемой, если при любом г ^ ? ^ Т и при любом состоянии экономики

НЛ*-т;з^т)Р(г,Т-,зг) = (8.9)

= &(«; ?(*; 54_т) + зг) Р(Ь, Т; \r\nУсловие (8.9) означает следующее. В момент времени і состав портфеля, остававшийся неизменным с момента времени Ї — г, может быть изменен. При этом стоимость портфеля после изменения должна быть той же самой, что и до изменения.

Самофинансируемая стратегия является арбитражной возможностью, если

6(0)5(0) +6(0)Р(0,Т) = о (8.10)

и существует такой момент времени ?, 0 < ? ^ Т, что ?о(* - т; з,_т) В(Р, з*_т) + - г; в*_г) РЦ, Т; а4)

Г ^ 0 для всех в« . .

| > 0 хотя бы для одного \\ • )

Условие (8.10) означает, что стоимость портфеля в момент времени 0 равна нулю. Условие (8.11) означает, что в момент времени ? стоимость данного самофинансируемого портфеля неотрицательна для всех состояний экономики и положительна для некоторых состояний экономики. Это возможность с положительной вероятностью превратить ничто в деньги без опасности оказаться в проигрыше. По-другому, арбитражную возможность называют денежной помпой.

Напомним, что Т — это произвольный, но фиксированный момент времени.

Теорема. Следующие три условия эквивалентны.

Среди самофинансируемых стратегий нет арбитражных возможностей.

Для всех і < Т — т и для всех состояний

<І{І,Т\\Зі) < Д(і;*) < и{і,Т;зг).

(3) Для любого t ^ Т — т и для любого состояния экономики St существует число 7г(t,T;st) такое, что

О < 7Г{t,T;st) < 1 и

P(t,T-,st) P(t + т, Т; stu) ,

= 7v{t,T;st)-

ил т<+ т.^М* + г1Т;аг<[) +(1-*&Т,.г)) в{г + т.31) ¦

Замечание. Если считать, что

_ Г с вероятностью 7г(?, Т; — \\ с вероятностью 1 — 7г(?, Т;

то правая часть равенства из условия (3) может быть интер-претирована как математическое ожидание случайной величины

РЦ + т,Т]з1+т)

В{1 + Т\\8ь) \'

принимающей два значения; одно при в4+г = и другое при в<+г = Условие (3) означает, что при фиксированных ? и ве данное математическое ожидание равно

В{ц 8ь-т) \'

Доказательство разобьем на три этапа.

Этап 1. (1) =>• (2). Докажем, что из нарушения условия (2) следует существование арбитражных возможностей. Пусть, например,

Г; *)><*(*, Г;*)

при некоторых ? и Яе. Тогда арбитражной возможностью является следующая стратегия. Ничего не покупать и не продавать до момента времени Если в момент времени ? экономика находится в каком-то другом состоянии, отличном от рассматриваемого то ничего не покупать и не продавать до момента времени Т. Если в момент времени ? экономика находится в состоянии то выпустить 1/Р(?,Т\'; я*) облигаций (при этом будет получена сумма равная 1) и на полученные деньги купить 1 единиц счета денеж

ного рынка. В момент времени + закрыть обе позиции. Образовавшиеся денежные средства будут неотрицательны при состоянии экономики «(М и положительны при состоянии экономики Такая торговая стратегия является арбитражной возможностью.

Случай

<<*(*,Г;*) <и(*,Т;*)

рассматривается аналогично.

Этап 2. (2) =>• (3). Заметим, что при Ь = Т — т условие (3) выполняется с любым поскольку Р(Т,Т) = 1

7г(*,Т;вО =

при любом состоянии экономики. Пусть < < Т — т. Тогда положим

Я(*; з,)Г; д,) «(г,Т; *)-<*(*, Г; 5,)\' \r\n

На основании (2) 0 < 7г(?; в4) < 1. Имеем

в») = тг(*, Г; 8») Т; в4) + (1 - тф, Г; в»)) <*(*, Г; я4),

откуда

1 = Т;"дм" + ( \' ;в0) Ж^Г

Умножим обе части этого равенства на Имеем

-ип ^Г/ Т. о ^ +

что и требовалось доказать.

Эгал 3. (3) (1). Предположим, что выполняется условие (3) и существует торговая стратегия, являющаяся арбитражной возможностью. Обозначим ее ?о(4; $«)• Обозначим через в} одно из тех состояний экономики, для которого в условии (8.11) выполняется строгое неравенство. Имеем

- г; з1т) В{1 - г; ^_2т) + & (« - т; 5*_т) Р{1 - г, Г; 5*_т) = \r\nBfrsU)

-г.,* чР(*-г»Г\'>д?-т)

= B(t - г; S^_2T) Ы* ~ r; sU) + €i(t ~ r;

7r(t - т, T; st__TJ

B(t;sl_T) P(t,T;s*t_rd)

+(l-7r(i-r,T;at*_T)) \r\n

\r\nn(t-T,T;s*_r)

R(t-r;s*t.T)

b(t-r;slT)B(t-,slT)+ \r\n

\r\nHi(t-r;slT)P(t,T]SlTu) \r\n

\r\n+(1-tt (t-r,T;slT))

So(t-T;slT)B(t-,slr)+ \r\n

\r\nHi(t-T-s*_T)P(t,T-,s*t.Td)

Последнее неравенство следует из определения арбитражной возможности, так как оба выражения в квадратных скобках неотрицательны и хотя бы одно из них положительно. Из условия самофинансируемости получаем

>0.

Со(t - 2т; s*_2t) B(t - т; s*t_2r)+ +b(t - 2r; sUr) ~ т, T; slT) > 0. \r\n

Повторяя аналогичные выкладки, имеем

fo(t - 3т; s*t_3r) B(t - 2т; 3;_3т)+

+6(« - Зт; st_3r) P{t - 2т, Г; s*t_2r) > 0.

Продолжая таким образом до момента времени 0, получаем

€о(0) В(0) + ?i(0) Р(0, Т) > 0,

что противоречит определению арбитражной возможности. Теорема доказана.

Теперь мы установим, что при любых t и st числа 7Г(i, Т; st) одинаковы для всех Т > t + т.

Рассмотрим некоторый актив, по которому в какой-то момент времени Тх (и только в этот момент времени) производятся определенные выплаты, вообще говоря, зависящие от состояния экономики Stx• Размер этой выплаты обозначим через x(Tx,sTl).

Мы покажем, что если выбрано Т > Тх, то существует единственная самофинансируемая торговая стратегия

(&(«;*),&(*;«»))

с использованием двух активов, счета денежного рынка и бескупонных облигаций с погашением в момент времени Т, такая, что в любой момент времени t < Тх и при любом состоянии экономики St цена рассматриваемого актива st) должна быть принята равной

?о(?; st) B{t- St—т) + 6(4; P(t, T; st).

При этом ?o(t;st) и fi(i;st) определяются по некоторым явным формулам. Другое значение цены рассматриваемого актива означало бы наличие арбитражной возможности с использованием следующих трех активов: счета денежного рынка, бескупонных облигаций с погашением в момент времени Т и данного актива.

Построение самофинансируемой стратегии производится обычным способом индукцией назад. Пусть ? < 7\\ и предположим, что для момента времени (? + т) и для всех состояний экономики в<+т цены ж(? + г;ве+т) известны. В момент времени ? при состоянии экономики построим портфель из единиц счета денежного рынка и в«) облига

ций с погашением в момент времени Т, стоимость которого при любом будущем состоянии экономики, или вгб, будет совпадать с ценой простого контингентного требования. Должны выполняться соотношения

+?!(*; 5,) Р(*. Г; в,) и(г, Г; в,) = х{1 + т; -Н^; Р(«, Г; в») <*(<, Г; в,) = + т; зф.

Отсюда

+ т; Г; — + т; в4и) Г; в«)

Я(*; в») («(*, Т; в,) - <*(*, Т; в*)) \'

х(Ь + т; в(и) — + г;

Р(«,Г; я4)(и(«,Г; в,)Г; в,))" \r\nЯ(«; st)

+ x(t + r; Sfd)

Найдем выражение для x(t\\ st). Имеем Ф, st) = ?o(t; st) B(t; st-r) + ?i(i; st) P(t,T; st) = 1 Г ( , R(f,st)-d(t,T-,st) ,

u(t,T-,st)-d(t,T-,st) u(t,T;st)-R(t;st)

u(t,T•,st)-d(t,T¦,st)^ Если использовать обозначение

n(t,T- st) =

(8.12)

R{t^,st)-d(t,т¦st)

u(t,T; st) — d(t,T-,sty \r\n

\r\nсоответствующее тому, которое было сделано в доказательстве теоремы, то окончательно формулу можно записать в следующем виде \r\n

\r\n[ir(t,T; st) x(t + r; stu) +

R{t\