9. Сравнение метода Хита — Джерроу — — Мортона с другими подходами, используемыми при оценке и хеджировании

Оценка европейского опциона пут с использованием метода Хита — Джерроу — Мортона и метода Блэка — Дермана — Тоя. Пусть математической моделью для цены бескупонной облигации с погашением в произвольный, но фиксированный момент времени Т является случайный процесс, доставляющий решение стохастическому дифференциальному уравнению

dP{t,T) = np(t)P{t,T)dt + v(t,T)P(t,T)dzt, где Zt — стандартное броуновское движение и v(t,T) = -*f(T-t),

oj — константа.

Из уравнения (8.22) вытекает, что математической моделью для форвардной ставки в этом случае является случайный процесс, доставляющий решение стохастическому дифференциальному уравнению

df(t, Т,Т + т) = (...) dt + о/ dzt.

Данное уравнение является частным случаем уравнения (8.1), которое было отправной точкой в методе Хита — Джерроу — Мортона. Как уже отмечалось, если оj — кон-станта, то метод Хита — Джерроу — Мортона по окончательным расчетным формулам совпадает с предложенным ранее методом Хо — Ли.

Чтобы найти волатильности доходностей бескупонных облигаций, требуемые в подходе Блэка — Дермана — Тоя, из уравнения

Г) = (1 + ту(г,Г))Сг-0А

выразим y(t,T) через P(t,T) и воспользуемся формулой Ито. Формула Ито показывает, что случайный процесс y(t, Т) является решением стохастического дифференциального уравнения

dy{t, Т) = (... )dt + oj (1 + т y(t, Г)) dzt,? \r\nа случайный процесс In y(t,T) является решением стохастического дифференциального уравнения

dIn y(t, Т) = (... )dt + af 1 \\lt,T)T) dZt¦

(

Поэтому дисперсия случайной величины In у(т,Т) может быть принята равной

1 + ту(0,Т)\\2 " у(0,Т) ) т-

В соответствии с формулой (4.1) это означает, что во- латильность доходности имеет вид

Пример. Рассмотрим европейский опцион пут на бескупонную облигацию с номиналом 1 руб. с погашением через 5 лет. Срок истечения опциона 2,5 года; цена исполнения 0,85 руб. Требуется рассчитать цену этого опциона.

Расчеты проведены для трех вариантов, где различаются срочная структура процентной ставки и волатильность форвардной ставки. Для каждого варианта расчеты были проведены и по методу Блэка — Дермана — Тоя, и по методу Хита — Джерроу — Мортона. Каждый вариант рассчитан с четырьмя различными значениями временного шага т.

Вариант 1. гс(0, Т) = 0,1 при всех Т > 0 и (7/ = 0,01. В табл. 9.1 приведены рассчитанные цены опциона.

Таблица 9.1. Цены европейского опциона пут на бескупонную облигацию, рассчитанные с различными временными шагами т по методу Хита — Джерроу — Мортона (ХДМ) и по методу Блэка — Дермана — Тоя (БДТ) при непрерывно начисляемой ставке спот гс(0, Т) =0,1 и волатильности форвардной ставки о} = 0,01\r\n г\r\n 5 5 5 5\r\n 16 32 64 128\r\nХДМ 0,055513 0,055556 0,055561 0,055559\r\nБДТ 0,055462 0,055465 0,055469 0,055469\r\n

Оба способа расчета показывают, что при рассматриваемых условиях этот опцион должен стоить примерно 0,055 руб. Разумеется, если рассматривать бескупонную облигацию с номиналом не 1 руб., а, например, 1 млн. руб., то и цена опциона должна увеличиться в 1 млн.

Вариант 2. Рассмотрим срочную структуру процент-ной ставки

гс(0, Т) = 0, 08 - 0,05 ехр(—0,18 Т)

при Т > 0. (Примерно такой была срочная структура процентной ставки в США в начале 1994 г. (см. [44, с. 442]).) По-прежнему о; = 0,01. В табл. 9.2 приведены рассчитанные цены опциона.

Таблица 9.2. Цены европейского опциона пут на бескупонную облигацию, рассчитанные с различными временными шагами т по методу Хита — Джерроу — Мортона (ХДМ) и по методу Влэка — Дермана — Тоя (БДТ) при непрерывно начисляемой ставке спот гс(0,Т) = 0,08 — 0,05ехр(—0,18 Т) и волатилънос- ти форвардной ставки оу = 0,01\r\n т\r\n 5 5 5 5\r\n 16 32 64 128\r\nХДМ 0,018805 0,018489 0,018527 0,018526\r\nБДТ 0,018549 0,018278 0,018058 0,018117\r\n

По сравнению с вариантом 1 произошло заметное уменьшение цены опциона пут. Это естественно. Уменьшение процентных ставок приводит к увеличению цены облигации и, следовательно, к уменьшению цены опциона пут при фиксированной цене исполнения опциона.

Вариант 3. Срочная структура процентной ставки та же, что и в варианте 2, но а/ = 0, 02. В табл. 9.3 приведены рассчитанные цены опциона.

По сравнению с вариантом 2 увеличение волатильности форвардной ставки привело к увеличению цены опциона.

Приведенные результаты расчетов позволяют сделать вывод о хорошем совпадении для данного примера цен опциона, полученных по методу Блэка — Дермана — Тоя и по методу Хита — Джерроу — Мортона. При т = 5/128 различие в ценах составило 0,90 • 10~4; 4,09 • 10~4 и 4,88 • 10~4 для вариантов 1, 2 и 3 соответственно.? \r\nСравнение методов расчетов

Таблица 9.3. Цены европейского опциона пут на бескупонную облигацию, рассчитанные с различными временными шагами т по методу Хита — Джерроу — Мортона (ХДМ) и по методу Блэка — Дермана — Тоя (БДТ) при непрерывно начисляемой ставке спот гс(0,Т) = 0,08 — 0,05ехр(—0,18 Т) и волатильнос- ти форвардной ставки о/ = 0,02\r\n Т\r\n 5 5 5 5\r\n 16 32 64 128\r\nХДМ 0,030452 0,030189 0,029911 0,029815\r\nБДТ 0,029116 0,029269 0,029319 0,029327\r\n

Отметим, что при расчете по методу Хита — Джерроу — Мортона краткосрочные ставки в некоторых узлах могут быть отрицательными.

133

Сравнение стратегии хеджирования, основанной на расчете дюрации, и стратегии хеджирования, по-строенной с использованием метода Хита — Джерроу — Мортона для купонной облигации. Пусть активы А и В обладают следующим свойством. Если доходность актива А увеличивается, то доходность актива В всегда уменьшается, и наоборот. Если удается составить портфель из активов А к В в таких пропорциях, что потери по сравнению с безрисковым инвестированием становятся невозможными, то говорят, что осуществлено идеальное хед-жирование.

На практике хеджирование может быть более или менее близко к идеальному. Один из подходов к выработке стратегий хеджирования связан с расчетом дюраций. Привлекательной стороной этого подхода является то, что нет необходимости использовать сложный математический аппарат. Но набор финансовых инструментов, к которым такой подход может быть применен, достаточно ограничен. Подробное описание этих методов можно найти в книге [7].

Рассмотрим облигацию (или портфель облигаций), по которой в моменты времени А,... производятся выплаты С\\,... , Сп. Если г* — это непрерывно начисляемая ставка для заимствований на срок и, то стоимость такой облигации в момент времени О

п

Р =

{=1

Положим

{=1

п

1=1

где

— отношение текущей стоимости выплат, производимых в момент времени и, к текущей стоимости всех выплат. В частности, при п = 1 дюрация ?>р = ?і.

= - ЛСі е\'

(1Р_ йи

Предположим теперь, что значения ставок мгновенно изменились, и вместо г,- ставка заимствования на срок и стала (гі+ад) (т.е.

і=і

Имеем

<1р ^ « . -(ті+*)и

<1и . , 1=1

Поэтому

= -Р(0)?>Р.

и=О

При малом изменении Аи параметра и изменение цены облигации может быть рассчитано по формуле

АР = -Р(0)?>РДи.

Защититься от риска, связанного с изменением цены облигации, можно, например, открыв фьючерсную позицию, для которой базовым активом является какая-то другая облигация. (Функционирование рынка фьючерсов описано, например, в книге [68].)

Пусть Р(и) — это фьючерсная цена при процентных ставках (г»+и), базовым активом для фьючерса является некоторая облигация (вообще говоря, отличающаяся от первойоблигации). Пусть для хеджирования открыто Н фьючерсных позиций покупателя. Тогда при изменении всех ставок от Г{ до + и) на маржевый счет зачисляется сумма

Н(Г(и) - Г(0)) = НАР. Предположим, что

АГ = -Г(0) БР Аи,

где Ир — это дюрация облигации, на которую заключен фьючерсный контракт. Тогда при изменении Аи параметра и стоимость портфеля претерпевает изменение

АР+ЬАР= -(Р(0) ПР + /г Г(0) ВР) Аи.

Чтобы изменение стоимости портфеля, обусловленное изменением процентных ставок, было равно 0, число открытых фьючерсных позиций должно быть равно

Пример. Рассмотрим облигацию с погашением через 12 лет с номиналом 100 руб., по которой раз в полгода выплачивается купон 5 руб. По этой облигации занята длинная позиция. С целью защиты от неблагоприятного изменения процентных ставок производится хеджирование этой облигации фьючерсным контрактом. Для фьючерсных контрактов базовым активом являются облигации с погашением через 10 лет с номиналом 100 руб., по которым раз в полгода выплачивается купон 4 руб.

Пусть для всех сроков заимствования непрерывно начисляемая ставка спот одинакова: = 0,09 для любого г. Тогда

Р(0) = 105, 699198, DP = 7,37951340.

Будем считать, для простоты, что фьючерсная цена во всех случаях совпадает с ценой облигации, на которую заключен фьючерсный контракт.

F(0) = 92, 228370, DF = 6, 93116403.

Из (9.1) получаем

105,699198-7,37951340 Н = " 92,228370.6,93116403 = 22019351"

Рассмотрим стратегию, когда на каждую облигацию с погашением через 12 лет открыто Л = —1,22019351 фьючерсных позиций. Пусть теперь процентные ставки изменились и для всех сроков заимствования остались одинаковыми, но стали равными не г = 0,09, а равными (г + и). Табл. 9.4 дает ответ на вопрос, что происходит со стоимостью рассматриваемого портфеля при различных и от —0,04 до 0,04.

Из табл. 9.4 видно, что при сделанных допущениях относительно поведения процентных ставок и фьючерсных цен описанная стратегия хеджирования полностью защищает от процентного риска. Больше того, при исходном значении процентной ставки 0,09 стоимость портфеля оказывается самой маленькой (но это не обязательная черта для данного класса стратегий хеджирования).

Таблица 9.4. Стоимость портфеля, состоящего из облигации и из її фьючерсных контрактов на другую облигацию, при различных значениях процентной ставки (г + и); И — —1,22019351\r\nПроцентная Стоимость Поступление на Стоимость портфеля\r\nставка облигации маржевый счет Р(и)+\r\n(г + и) Р(и) /i(F(u) - F(0)) +h(F(u) - F{0))\r\n0,050 143,9956 -37,3332 106,6624\r\n0,055 138,3280 -31,9190 106,4090\r\n0,060 132,9398 -26,7386 106,2013\r\n0,065 127,8161 -21,7812 106,0349\r\n0,070 122,9428 -17,0367 105,9061\r\n0,075 118,3067 -12,4954 105,8113\r\n0,080 113,8952 -8,1480 105,7472\r\n0,085 109,6964 -3,9857 105,7108\r\n0,090 105,6992 0,0000 105,6992\r\n0,095 101,8929 3,8170 105,7099\r\n0,100 98,2675 7,4731 105,7406\r\n0,105 94,8136 10,9754 105,7890\r\n0,110 91,5222 14,3310 105,8532\r\n0,115 88,3849 17,5464 105,9313\r\n0,120 85,3935 20,6280 106,0215\r\n0,125 82,5407 23,5819 106,1225\r\n0,130 79,8191 26,4136 106,2327\r\n

Интересно посмотреть, насколько результаты хеджирования зависят от точности определения дюраций. Предположим, что мы бы определили дюрации округленно:

ВР = 7, Ор = 7.

Тогда

105,699198-7 к=~ 92,228370-7 ~М460Ю4».

Результаты хеджирования с таким И при различных значениях ставок (г + и) показаны в табл. 9.5.

Как видно, при увеличении процентных ставок данная стратегия не полностью защищает от потерь, хотя и значительно уменьшает риск.

Таблица 9.5. Стоимость портфеля, состоящего из облигации и из к фьючерсных контрактов на другую облигацию, при различных значениях процентной ставки (г + и); Л = — 1,14605949\r\nПроцентная Стоимость Поступление на Стоимость портфеля\r\nставка облигации маржевый счет Р(и)+\r\n(г + и) Р(и) /»№) - г(0)) +Л№) - Р(0))\r\n0,050 143,9956 -35,0650 108,9306\r\n0,055 138,3280 -29,9797 108,3483\r\n0,060 132,9398 -25,1140 107,8258\r\n0,065 127,8161 -20,4579 107,3582\r\n0,070 122,9428 -16,0016 106,9412\r\n0,075 118,3067 -11,7362 106,5705\r\n0,080 113,8952 -7,6530 106,2422\r\n0,085 109,6964 -3,7435 105,9529\r\n0,090 105,6992 0,0000 105,6992\r\n0,095 101,8929 3,5851 105,4780\r\n0,100 98,2675 7,0190 105,2866\r\n0,105 94,8136 10,3086 105,1222\r\n0,110 91,5222 13,4603 104,9825\r\n0,115 88,3849 16,4803 104,8652\r\n0,120 85,3935 19,3747 104,7683\r\n0,125 82,5407 22,1491 104,6898\r\n0,130 79,8191 24,8089 104,6280\r\n

Продолжим рассмотрение примера, но теперь стратегию хеджирования облигации с погашением через 12 лет будем строить с использованием метода Хита — Джерроу — Мортона. Облигацию с погашением через 12 лет назовем облигацией X, а облигацию с погашением через 10 лет — облигацией У. Цену Р будем обозначать Рх, а цену Р будем обозначать Ру.

Вместо хеджирования облигации X фьючерсным контрактом по облигации Y можно произвести хеджирование облигации X, заняв короткую позицию по облигациям Y (мы, собственно, это уже сделали, предположив, что фьючерсная цена совпадает с ценой облигации У).

Как и в разделе 8, рассмотрим торговую стратегию (?0,6), обладающую тем свойством, что портфель, составленный в момент времени 0 из ?о единиц счета денежного рынка и облигаций Y при любом состоянии экономики, возможном в момент времени т (а таких состояний в методе Хита — Джерроу — Мортона может быть два, и и d), стоит столько же, сколько облигация X. Это означает, что должны выполняться следующие условия:

(9.2)

^R(0)+bPy(r]d) = Px(T-,d).

Каждая из облигаций Хи К может рассматриваться как портфель, состоящий из бескупонных облигаций. Цена облигации X или облигации Y равна сумме цен бескупонных облигаций, входящих в соответствующий портфель. А цена любой бескупонной облигации в рамках метода Хита — Джерроу — Мортона может быть определена по формулам (8.18). Например, при т = 0,1, оу = 0,01

РЛ-(г; и) = 109,109110, Рх{т; d) = 104,200460,

PY{r; и) = 95,071976, Ру (т; d) = 91,052368.

Из уравнений (9.2)

= Px{r-u)-Px{r-,d)

Py{T-u)-Py{T-dY

В табл. 9.6 приведены рассчитанные значения для нескольких т и ?7/.

Таблица 9.6. Количество облигаций У, используемых для хеджирования одной облигации X, рассчитанное по методу Хита — Джерроу — Мортона при различных волатилъностях форвардной ставки оу и различных временных шагах т\r\nт 6\r\n0,1 0,01 1,22117602\r\n0,025 0,01 1,22043614\r\n0,005 0,01 1,22024188\r\n0,001 0,01 1,22020317\r\n0,001 од 1,22010130\r\n0,001 0,001 1,22020419\r\n

Напомним, что в стратегии хеджирования, основанной на расчете дюраций, было получено значение

(-Н) = 1,22019351.

Значения достаточно хорошо совпадают с этим числом и, как показывают приведенные результаты расчетов, слабо зависят от шага по времени т и от волатильности форвардной ставки О}. \r\n19.