7. Оценка деривативов с использованием стохастической модели для краткосрочных ставок (метод Халла — Уайта)

Пусть математическая модель для мгновенных краткосрочных ставок — это случайный процесс г(?), являющийся решением стохастического дифференциального уравнения

с1г = — а г) сИ + а йги

которое является частным случаем уравнения (6.4), когда а и а являются константами, а /3 = 0. Считаем а > 0 и а > 0.

Для перехода от непрерывного случайного процесса г(?) к дискретному случайному процессу в рассмотрение вводятся три параметра т, И и 7. Временной шаг г > 0 может быть выбран произвольно с единственным ограничением, что рассматриваемые в задаче промежутки времени, например от текущего момента времени 0 до даты истечения опциона, должны быть кратны т. В выборе Н также имеется некоторый произвол, но, на самом деле, значительно меньший, чем произвол в выборе т. Следуя оригинальной работе Халла и Уайта, будем считать

Н = а ч/З^. (7.1)

В качестве 3 берется минимальное целое число, не меньшее (0,1836/ат). О причинах такого выбора чисел К и 3 будет сказано ниже. При целом п ^ 0 положим Зп = тіп(я,3). Считается, что в момент времени пт экономика может находиться в одном из (2Зп + 1) состояний, которые мы будем помечать индексом j, принимающим значения -Л,.. • , -1,0,1,... ,Зп (см. рис. 7.1).

Из любого состояния ^ в момент времени пт экономика к моменту времени (п + 1)т может перейти в одно из трех состояний.

Будем считать, что в момент времени пт при состоянии экономики і непрерывно начисляемая ставка для заимствований на срок г есть

ап + і /г,

где п > 0; і — —./„,... , —1,0,1,... , 7„. Это означает, что в каждый момент времени данные ставки образуют арифметическую прогрессию. Числа ао.а^аг, • • • подлежат определению. Для расчета этих чисел необходимо знать вероятности Рл,Рт,Ри для всех ].

Рис. 7.1.

Для расчета вероятностей рассматривается

вспомогательный случайный процесс г*(Ь), являющийся решением стохастического дифференциального уравнения

с1г* = —аг*йЬ + о йг.

Если пренебречь членами более высокого порядка малости, чем т, то математическое ожидание случайной величи \r\nны (г*(< + т) — при фиксированном ? равно —а г, а дисперсия этой случайной величины равна а2т.

Считаем, что в любой момент времени пт при состоянии экономики ] "ставка" г* = ЗИ,. Здесь 3 = — ... , —1, 0,1,... п>0.

(7.2)

(7.3)

Зафиксировав з, выберем вероятности р^Рт,Ри так, чтобы математическое ожидание и дисперсия случайной величины (г*(пт + т) — г*(пт)) были равны соответственно —а]Ит и а2т. При —3 < з < 3 это приводит нас к системе уравнений

ри Н — ра Н = —суТгт,

Ри Л2 + Р<1 Ь2 = а2 т + а2з2к2т2,

Ри+Рт + Р<1 = 1;

при з = —3 — к системе уравнений

ри 2Н + рт к = — суТгт,

ри 4/г2 +рт/12 = а2г + а2]2к2т2,

Ри + Рт + Р* = 1;

при з = 3 — к системе уравнений

(7.4)

—ра 2Н — рт к = —азкт,

рл АН2 + рт И2 = а2 т + а2з2к2т2,

Ри + Рт+Р<1 = 1.

Определение Н по формуле (7.1) и определение 3 как минимального целого числа, не меньшего (0,1836/аг), позволяют, как это сейчас будет показано, добиться того, чтобы все вероятности, найденные из этих систем уравнений, были положительны. Введем обозначение х = 0,3т.

Тогда из системы уравнений (7.2) следует, что при -3 < з < 3

1 1 , 2 ч Ри = - + - (Я - Я),

2

Рт — з I

1 1 , 2 л РЛ= 6+2( ^ Вероятности Ри и Ра положительны при любом х. Вероятность рт положительна при х2 < 2/3 или, приближенно, при и < 0,8164.

Из системы уравнений (7.3) следует, что при з = —3

1 1 / 2 ч Ри= - + -{хг + х),

1 2 „ Рт= —д — х — 2х,

7 1/2 л ч Р<,= б + 2(

Вероятности ри и ра положительны при любом х, а условие Рт > 0 приводит к ограничению

-1,8164 ^ х ^ -0,1836.

При выборе J мы и добивались, чтобы выполнялось последнее из неравенств: если J ^ (0,1836/ог), то х = —аJT ^ -0,1836.

Из системы уравнений (7.4) следует, что при j = J

7 1

Ри = g + 2 (я2 ~ За;)> Рт= — х2 + 2х,

1 1 / 2 ч Pd= ? 2

Вероятности ри и PD положительны при любом х, а условие Рт> 0 приводит к ограничению

0,1836 ^ х ^ 1,8164,

которое выполняется за счет выбора J.

Итак, вероятности Pd,Pm,Pu определены для всех j. Для определения чисел ао,а\\,а2, ¦.. кроме вероятностей pd,pm,pu, рассчитанных для всех j, используются еще цены бескупонных облигаций Р(0, Т) при Т — т, 2т, 3г,... В частности, из формулы

Р( 0, г) = е~аоТ

сразу определяется «о.

Как и в подходе Блэка — Дермана — Тоя, в подходе Халла — Уайта применяется индукция вперед. Напомним, что G(j, Т) — это цена в момент времени 0 актива, по которому в момент времени Т выплачивается 1 руб., но только если в момент времени Т экономика находится в состоянии Будем исходить из соотношений С(0,0) = 1 и при п ^ 1

С(з,пт) = ?где д(к^) — вероятность перехода из состояния (к, (п —1)г) в состояние (з,пт). Суммирование производится по всем к, для которых эта вероятность ненулевая.

В частности, по этой формуле могут быть найдены

Еще по теме 7. Оценка деривативов с использованием стохастической модели для краткосрочных ставок (метод Халла — Уайта):