7. Оценка деривативов с использованием стохастической модели для краткосрочных ставок (метод Халла — Уайта)

Пусть математическая модель для мгновенных краткосрочных ставок — это случайный процесс г(?), являющийся решением стохастического дифференциального уравнения

с1г = — а г) сИ + а йги

которое является частным случаем уравнения (6.4), когда а и а являются константами, а /3 = 0. Считаем а > 0 и а > 0.

Для перехода от непрерывного случайного процесса г(?) к дискретному случайному процессу в рассмотрение вводятся три параметра т, И и 7. Временной шаг г > 0 может быть выбран произвольно с единственным ограничением, что рассматриваемые в задаче промежутки времени, например от текущего момента времени 0 до даты истечения опциона, должны быть кратны т. В выборе Н также имеется некоторый произвол, но, на самом деле, значительно меньший, чем произвол в выборе т. Следуя оригинальной работе Халла и Уайта, будем считать

Н = а ч/З^. (7.1)

В качестве 3 берется минимальное целое число, не меньшее (0,1836/ат). О причинах такого выбора чисел К и 3 будет сказано ниже. При целом п ^ 0 положим Зп = тіп(я,3). Считается, что в момент времени пт экономика может находиться в одном из (2Зп + 1) состояний, которые мы будем помечать индексом j, принимающим значения -Л,.. • , -1,0,1,... ,Зп (см. рис. 7.1).

Из любого состояния ^ в момент времени пт экономика к моменту времени (п + 1)т может перейти в одно из трех состояний.

Будем считать, что в момент времени пт при состоянии экономики і непрерывно начисляемая ставка для заимствований на срок г есть

ап + і /г,

где п > 0; і — —./„,... , —1,0,1,... , 7„. Это означает, что в каждый момент времени данные ставки образуют арифметическую прогрессию. Числа ао.а^аг, • • • подлежат определению. Для расчета этих чисел необходимо знать вероятности Рл,Рт,Ри для всех ].

Рис. 7.1.

Для расчета вероятностей рассматривается

вспомогательный случайный процесс г*(Ь), являющийся решением стохастического дифференциального уравнения

с1г* = —аг*йЬ + о йг.

Если пренебречь членами более высокого порядка малости, чем т, то математическое ожидание случайной величи \r\nны (г*(< + т) — при фиксированном ? равно —а г, а дисперсия этой случайной величины равна а2т.

Считаем, что в любой момент времени пт при состоянии экономики ] "ставка" г* = ЗИ,. Здесь 3 = — ... , —1, 0,1,... п>0.

(7.2)

(7.3)

Зафиксировав з, выберем вероятности р^Рт,Ри так, чтобы математическое ожидание и дисперсия случайной величины (г*(пт + т) — г*(пт)) были равны соответственно —а]Ит и а2т. При —3 < з < 3 это приводит нас к системе уравнений

ри Н — ра Н = —суТгт,

Ри Л2 + Р<1 Ь2 = а2 т + а2з2к2т2,

Ри+Рт + Р<1 = 1;

при з = —3 — к системе уравнений

ри 2Н + рт к = — суТгт,

ри 4/г2 +рт/12 = а2г + а2]2к2т2,

Ри + Рт + Р* = 1;

при з = 3 — к системе уравнений

(7.4)

—ра 2Н — рт к = —азкт,

рл АН2 + рт И2 = а2 т + а2з2к2т2,

Ри + Рт+Р<1 = 1.

Определение Н по формуле (7.1) и определение 3 как минимального целого числа, не меньшего (0,1836/аг), позволяют, как это сейчас будет показано, добиться того, чтобы все вероятности, найденные из этих систем уравнений, были положительны. Введем обозначение х = 0,3т.

Тогда из системы уравнений (7.2) следует, что при -3 < з < 3

1 1 , 2 ч Ри = - + - (Я - Я),

2

Рт — з I

1 1 , 2 л РЛ= 6+2( ^ Вероятности Ри и Ра положительны при любом х. Вероятность рт положительна при х2 < 2/3 или, приближенно, при и < 0,8164.

Из системы уравнений (7.3) следует, что при з = —3

1 1 / 2 ч Ри= - + -{хг + х),

1 2 „ Рт= —д — х — 2х,

7 1/2 л ч Р<,= б + 2(

Вероятности ри и ра положительны при любом х, а условие Рт > 0 приводит к ограничению

-1,8164 ^ х ^ -0,1836.

При выборе J мы и добивались, чтобы выполнялось последнее из неравенств: если J ^ (0,1836/ог), то х = —аJT ^ -0,1836.

Из системы уравнений (7.4) следует, что при j = J

7 1

Ри = g + 2 (я2 ~ За;)> Рт= — х2 + 2х,

1 1 / 2 ч Pd= ? 2

Вероятности ри и PD положительны при любом х, а условие Рт> 0 приводит к ограничению

0,1836 ^ х ^ 1,8164,

которое выполняется за счет выбора J.

Итак, вероятности Pd,Pm,Pu определены для всех j. Для определения чисел ао,а\\,а2, ¦.. кроме вероятностей pd,pm,pu, рассчитанных для всех j, используются еще цены бескупонных облигаций Р(0, Т) при Т — т, 2т, 3г,... В частности, из формулы

Р( 0, г) = е~аоТ

сразу определяется «о.

Как и в подходе Блэка — Дермана — Тоя, в подходе Халла — Уайта применяется индукция вперед. Напомним, что G(j, Т) — это цена в момент времени 0 актива, по которому в момент времени Т выплачивается 1 руб., но только если в момент времени Т экономика находится в состоянии Будем исходить из соотношений С(0,0) = 1 и при п ^ 1

С(з,пт) = ?где д(к^) — вероятность перехода из состояния (к, (п —1)г) в состояние (з,пт). Суммирование производится по всем к, для которых эта вероятность ненулевая.

В частности, по этой формуле могут быть найдены

Еще по теме 7. Оценка деривативов с использованием стохастической модели для краткосрочных ставок (метод Халла — Уайта):

1. 4. Оценка деривативов с использованием стохастической модели для краткосрочных ставок (метод Блэка — Дермана — Тоя)
2. 8. Оценка деривативов с использованием стохастической модели для форвардных ставок (метод Хита — Джерроу — Мортона)
3. 6. Уравнение, связывающее цену дериватива с рыночной ценой риска. Стохастические модели с непрерывным временем для краткосрочных ставок и расчеты цен облигаций
4. Основы методологии оценки краткосрочной динамики внешней стоимости валюты Описание базовой модели
5. 13.2. Краткосрочное банковское кредитование как традиционный метод краткосрочного финансирования
6. Детерминированные и стохастические модели.
7. 9.3. Использование деривативов на российском валютном рынке.
8. 9.9.4 Оценка степени риска инвестиционных проектов с использованием ценовой модели рынка капитала
9. Использование доходного подхода для оценки клиентской базы при объединении компаний
10. Использование сравнительного подхода для оценки клиентской базы при объединении компаний
11. Использование затратного подхода для оценки клиентской базы при объединении компаний
12. Основные средства, методы их оценки и показатели эффективности использования.
13. Модели и методы для прогнозирования фондовых индексов
14. II. Стохастическая модель
15. 2.3.3. Использование АВС-метода для гибкого планирования
16. 5. Отсроченные соглашения о форвардных ставках и их оценка с использованием метода Блэка — Дермана — Тоя
17. 5.4. Оценка компании: обзор различных методов 5.4.1. Методы оценки по дисконтированному потоку денежных средств
18. 2.2 Исследование существующих методов оценки конкурентоспособности предприятий и разработка комплексной методики повышения и оценки конкурентоспособности для торговых предприятий
19. Обоснование расчета оставшегося срока полезного использования клиентской базы при ее оценке в рамках метода МЕЕМ
20. § 5.2. Исходные данные для производства ССТЭ; их оценка, значение и пределы использования при проведении исследований