6. Уравнение, связывающее цену дериватива с рыночной ценой риска. Стохастические модели с непрерывным временем для краткосрочных ставок и расчеты цен облигаций

dr] = m(r1, t) 77 dt + s(r], t) 77 dzt,

где zt — стандартное броуновское движение.

Пусть fi(r],t) и /2(77, t) — цены двух деривативов, свя-занных с величиной 77. По формуле Ито случайные процессы fx и /2 являются решениями стохастических дифференциальных уравнений

dfi = mi?], t) fi dt + Oi{r), t) fi dzt при i = 1,2. (6.1)

Точный вид коэффициентов fa и (Tj может быть выписан, мы это сделаем немного позже.

Зафиксируем некоторый момент времени to и составим в этот момент времени портфель, состоящий из Ci единиц первого дериватива и Сг единиц второго дериватива. Сто-имость этого портфеля обозначим через 11(77,4). Если Сг и ?2 остаются постоянными, то стоимость этого портфеля для всех последующих моментов времени определяется по формуле

П(7?,<) = <1/1(7?,*)+ С2/2Ы),

и процесс П является решением стохастического дифференциального уравнения

сШ = «1 (Ц Л -I- С2 М2 /2)^ + «1 01 Л + Сэ 02 /2)^.

Если взять = ст2/2 и <2 = —01/1, то коэффициент при для момента времени зануляется, и портфель в этот момент времени является безрисковым. Тогда должно выполняться соотношение

сШ = гШг,

где г — мгновенная краткосрочная ставка. Поэтому

Сг VI /1 + Сг М2 /2 = г (С 1 Л + <2 /г)- Подставляя выражения для <1 и Сг, получаем

СГ2 - СГI Ц2 = Г а2 - (71 г. Отсюда следует, что

/л - г _ № - г 01 02 \'

и это означает, что данное отношение является одним и тем же для любого дериватива. \r\n

Опуская индекс, перепишем полученный результат так:

(6-2)

где Л, вообще говоря, зависит от г) и Ь.

Это означает, что для любого дериватива, цена которого однозначно определяется величиной т] и моментом времени 4, должно выполняться соотношение (6.2), где величина Л(г7, Ь) является одной и той же для всех деривативов и называется рыночной ценой риска для г). Уравнение (6.2) можно переписать в виде

ц — г — А о.

Если назвать о риском, то последнее уравнение показывает, насколько ожидаемая доходность дериватива ц, связанного с величиной 77, должна превышать безрисковую ставку г в зависимости от величины риска. Этим и объясняется то, что Л называют рыночной ценой риска.

Теперь приведем точную формулу для величин /л и о из (6.1). По формуле Ито имеем

1 [д! д/ 1 2 2д2!\\ 1 д/ Подставляя эти выражения в (6.2), получаем

Уравнение (6.3) и есть уравнение, связывающее цену дериватива с рыночной ценой риска.

а

Данное уравнение для цены дериватива приведено в работе [65], где рассматривается случай, когда величиной ц \r\nявляется мгновенная краткосрочная ставка г, а деривати- вом — бескупонная облигация. Уравнение (6.3) названо в [65] уравнением срочной структуры. Мы также переходим к рассмотрению случая, когда величиной г/ является мгновенная краткосрочная ставка г.

Халл и Уайт в работе [39] предложили использовать для моделирования мгновенной краткосрочной ставки случайный процесс r(t), который является решением стохастического дифференциального уравнения

dr = (0(i) - a(t) г) dt + a(t) гЫги (6.4)

где j3 — 0 или 1/2. При этом делается предположение, что рыночная цена риска является функцией A(t), ограниченной на любом интервале конечной длины (О,Т). Модель Халла и Уайта содержит в качестве частных случаев три использовавшиеся ранее модели для мгновенной краткосрочной ставки.

Во-первых, модель Васичека [65]:

dr = (в — а г) dt + о dzt.

Во-вторых, модель Кокса — Ингерсолла — Росса [23]:

dr = (0 - а г) dt + a r1/2 dzt.

В обеих этих моделях в, а и сг — константы. В-третьих, модель Хо — Ли [38]:

dr = 0(t) dt + a dzt.

Здесь а также является константой.

Процесс, являющийся решением стохастического дифференциального уравнения (6.4), обладает важным свойством, которое называется возвращением к среднему. Пусть 9(t) и a(t) положительны. Тогда при малых г коэффициент перед dt положителен, и мгновенная краткосрочная ставка г имеет тенденцию к возрастанию. При больших г коэффициент перед dt отрицателен и г имеет тенденцию к уменьшению. Это в известной мере передает поведение реальной процентной ставки.

Дальнейшее изложение в этом разделе основано на работах [65], [39], [41].

Мы ограничимся рассмотрением случая /5 = 0. Тогда стохастическое дифференциальное уравнение (6.4) может быть записано в виде

dr=0Ja-a(tirrdt+a(ar

Г г

В этом случае уравнение с частными производными (6.3) принимает вид

д_1 M /9(t) — a(t) т \\(t)a{t)\\ 1 аЩ 2Э2/ dt дг \\ г г ) 2 г2 Г дг2 }\'

До сих пор не был конкретизирован вид функции 9(t) в уравнении (6.4). Мы будем считать, что эта функция связана с рыночной ценой риска \\(t) соотношением

6{t) = tp{t) + Л(t) o{t), (6-5)

где функция (p(t) строится по дисконтной функции Р(0,?), а(?) и a{t) описанным ниже способом. (Нами приведено построение функции tp(t) для случая, когда a(t) и a(t) являются константами. Рассмотрение более общего случая можно найти, например, в книге [58].)

Тогда последнее уравнение с частными производными принимает вид

Отметим, что в коэффициенты данного уравнения входит функция Полученное уравнение с частными производными верно для цены f(r,t) любого финансового инструмента, связанного с краткосрочной ставкой г. Если сделать предположение, что цена бескупонной облигации с погашением в некоторый произвольный, но фиксированный момент времени Т определяется краткосрочной ставкой г, то это же уравнение бу-дет верно и для цены бескупонной облигации P(r,t,T) :

ЯР f)P 1 сРР

^ + W)-a{t)r)d- + -o*(t)d-? = rP (6.6)

Здесь t ^ Т. Граничным условием для функции P(r,t,T) будет

P(r,T,T) = 1 (6.7)

для любого г.

Решение уравнения (6.6) будем искать в виде

P(r,t,T) = A(t,T)e~BWr. (6.8) \r\nЗаметим, что для функции вида (6.8)

дР _дА _Вг дВ _Вг_

Ж ~Лт~дГе ~

= Р(1дА.гдЛ\\.

\\А дЬ дь)\'

дР

= -А В е~Вг = -В Р\\

дг д2Р

= В2 Р.

дг2

Подставим выражения для производных из (6.9) в (6.6):

-гЩ + га(г)В+1дЛ-^)В + \\аМ)В> = г.

Это уравнение обратится в верное тождество, если, как функции от Л и .В являются решениями следующих обыкновенных дифференциальных уравнений

дВ

— ~а(г)В +1=0, (6.10) 8 А 1

~ - ф) АВ + ± а2{Ь) АВ2 = 0. (6.11)

Выполнение граничного условия (6.7) гарантируют условия

А(Т,Т) = 1, В(Т,Т)= 0. (6.12)

(6.9)

Таким образом, если мы сможем решить сначала уравнение (6.10), а потом, при найденной функции В, — уравнение (6.11), то соответствующая функция Р(г, !Г), определенная по формуле (6.8), будет решением уравнения (6.6). \r\nИзвестно, что для линейного дифференциального уравнения первого порядка

z\' + f(t)z = g(t)

интегральная кривая, проходящая через точку (т, ?), определяется уравнением

z(t) = e~FU ^C + f д{и) eF(u) duj , (6.13)

где

t

du.

Начиная с этого места, будем считать функцию а(?) константой а. Тогда в соответствии с (6.13) решение уравнения (6.10), удовлетворяющее граничному условию (6.12), имеет вид

1 - е-а(т_4) в&т) = . (6.14)

Ниже мы покажем, что если функция ст^) равна посто-янной сг, то функция Т) удовлетворяет следующему со-отношению:

F(t) = J /(«)

(6.15)

~ (е-аТ-е~а1)2 (е2а1-1). 4а3

Цены бескупонных облигаций Р(0, Т) (т.е. цены в момент времени 0) известны для всех Т ^ 0. Величины 5(0, Т) \r\nизвестны из (6.14). Мгновенная краткосрочная ставка г в момент времени 0 известна. Из формулы

Р(0,Г) = Л(0,Г) е-в(0-т>г,

являющейся частным случаем формулы (6.8) при t = 0, оказываются известными величины А(0,Т) для всех Т. Поэтому формула (6.15) однозначно определяет функцию A(t,T) по срочной структуре процентной ставки в момент времени 0.

Введем обозначение h(T) = 1пА(0, Т).

Заметим, что (6.11) — это не одно уравнение. Это семейство обыкновенных дифференциальных уравнений, поскольку А = A(t,T), В = B(t,T). Каждому значению пара-метра Т отвечает свое уравнение. Независимой переменной в каждом из уравнений является t.

Зафиксируем какое-нибудь Т > 0 и рассмотрим соответствующее уравнение (6.11). Его решение, A(t,T), как функция от t, должно удовлетворять двум граничным усло-виям:

A(0,T) = exp(h(T)), А(Т, Т) = 1.

Но решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка однозначно определяется одним граничным условием подобного вида. А нам нужно, чтобы выполнялись сразу два граничных условия, да еще и при всех Т. Оказывается, этого можно добиться, но для этого функция Применение формулы (6.13) к уравнению (6.11) в сочетании с граничным условием А(Т, Т) = 1 дает

т

1п А(*, Т) = - У [<р(и) В(и, Т) - 0,5 а2 В2(и, Т)} йи. (6.16) ь

Функцию <р(?) мы определим из уравнения т т

Н(Т) = - ! <р{и) В(и, Т) йи + I 0,5 а2(и) В2{и,Т)йи. о о

Введем обозначение

т

J{T) = Л(Г) ~ У 0.5 о2{и) В2(и, Т) йи. о

Если функция а(и) известна, то функция 1(Т) также известна, поскольку известна функция Н(Т). Имеем

і

J{T) — — У <р(и) В(и,Т) йи.

С учетом условия В(Т, Т) = 0, получаем дJ(T) } /N9B(u,T)J

аг аг

о

Из (6.14) получаем

(6.17) \r\n

г

= Ф) в" йи. о

Отсюда

и

Поэтому

+ «МО

Преобразуем это уравнение. Имеем с учетом (6.17)

т \r\n

\r\nд^Т) дН{Т)

ЭТ дТ

о

дКТ) т

дТ

о

ЭУ(Т) = дЧ{Т) дТ2 ~ дТ2

- I 0,5 а2{и)~(В2{щТ)) йи

J а2(и) В(и,Т) еаи йи\\

+ а е~аТ У а2 (и) еаи В (и, Т) йи-

т \r\n

\r\n[ о2(и) е°»В(и,Т) Ли.

—е

О

С учетом (6.14) имеем

г \r\n

\r\nЛ») )) Ли. \r\nС учетом (6.14) и (6.17) имеем

д2Л(Г) _ дЧ(Т) ЭТ2 ~ дТ2

о т

- J О2(и) е-<Т-и)е-а(Т-и) Аи О

Начиная с этого места будем считать функцию а(и) константой ст. Из (6.18) имеем

,п(т\\ дЦТ) РЫТ) 2 1 -

Подставим найденное выражение для <р(Т) в формулу (6.16).

г

+ / 1 ~2а ^ + \\а2 Т)) В{и>Т) *и =

г

= А + А,

т

+1 а2(и)е~<т-^ (1-е-°(г-">) йи-

где через А обозначен первый интеграл, а через /2 — второй. Используя (6.14), получаем \r\n

<

г

= Л(Т) - h(t) - е-аГ J Щ eaw rfu +

t

т

t

_Ie-W

a J du \\ou ) t

= h{T)-h{t)-d±{t)B{t,T). Далее с учетом (6.14) г

J2 = _|i J (i-e-^-l + e^г"в>) ("l - e-e) rfu = t

(e-T _ e-«t)2 _ 1).

4a3

Формула (6.15) выведена.

Обратимся к вопросу оценки европейских опционов колл и пут на бескупонные облигации. Если поведение мгновенной краткосрочной ставки г(?) описывается уравнением

в.г = (0(г) — а г) + о

являющимся частным случаем уравнения (6.4), в котором а и сг — константы, а (3 — 0, то существуют аналитические формулы для цен этих опционов. С использованием формулы Ито из последнего уравнения получаем, что случайный процесс Р(г, ?, Т) является решением стохастического дифференциального уравнения

дР дг

Из (6.9)

дг ^ ^

Поэтому

йР = нРсИ-оВРйг^ (6.19)

Право продать в момент времени Т за X бескупонную облигацию с погашением в момент времени Г*, где Т < Т*, — это право обменять данную облигацию на X бескупонных облигаций с погашением в момент времени Т при условии, что обмен производится в тот же самый момент времени Т (речь идет о бескупонных облигациях с номиналом 1 руб.) А цена такого права обменять один актив на другой, если цены обоих активов моделируются случайными процессами, являющимися решениями стохастических дифференциальных уравнений вида (6.19), была рассчитана ранее, в разделе 2.

Эта цена может быть найдена по формуле (2.6). В данном случае

vx{t) = -a B(t,T), u2(t) = -a B(t,T•).

Поэтому цена рассматриваемого европейского опциона пут в момент времени О

р0 = X Р(О, Т) N(d) - Р(О, Г) N{d - р), (6.20)

где

1 ад . Р d-pln~p(o.+ 2\' т

р2 = J {-a B{t,T) + a B(t,T*))2 dt.

о

С учетом (6.14)

где т = Т* -Т.

Аналогично может быть найдена цена в момент времени 0 европейского опциона колл

с0 = Р(0, Т*) N(—d + р)-Х Р{0, Т) N(—d). (6.21) \r\n