<<

↑

>>

ПРИЛОЖЕНИЕ!. Форвардная и фьючерсная цены для случая, когда ставка без риска постоянна и одинакова для любых периодов времени

Докажем положение о том, что форвардная и фьючерсная цены должны быть одинаковыми, если ставка без риска постоянна и оди­накова для любых периодов времени[22]. Для краткости доказательства рассмотрим временной отрезок длиной Т, состоящий из трех пе­риодов: (/, - о), (іr2 - ), (т -12) В случае более длительного про­межутка времени рассуждения будут аналогичными.

Для любого отрезка времени непрерывно начисляемая ставка без риска равна

г. Сделаем допущение о том, что фьючерсный контракт можно дро­бить. Клиринг по контракту происходит в конце каждого периода. Инвестор заключает форвардный контракт на покупку акции, ис­

и размещает на

депозите сумму

текающий в момент Т, по форвардной цеж

В конце периода Т она вырастает до сум­

мы Ff, и уплачивается по контракту в обмен на акцию. Таким обра­зом, по завершении периода Т инвестор располагает акцией, цена спот которой равна S{.

Получим аналогичный финансовый результат с помощью фью­черсного контракта, В конце нулевого дня котировка фьючерса, исте­

кающего в момент Т, равна

hspace=0 vspace=0 align=left> вочной цене в количестве

Инвестор покупает его по котиро­

В качестве начальной маожи он

, т.е.

Т. В конце данного периода по депозиту он получит сумму:

В момент /, фьючерсная котировка равна F/ . В результате

клиринга по счету инвестора происходит перечисление вариацион­ной маржи в размере:

В зависимости от конъюнктуры данная величина может быть отрица­тельной или положительной. Если она отрицательная, инвестор фи­нансирует ее, заняв средства под ставку г на период Т -tA, если

положительная, размещает эти средства под данный процент на этот период. Соответственно по окончании действия контракта в первом случае инвестор выплатит, а во втором получит сумму:

По котировочной цене в момент t{ он докупает фьючерсный кон­

В момент (2 по контракту перечисляется вариационная маржа в размеое:

Если она отрицательная, инвестор финансирует ее, заняв средства на период T-t2, положительная - размещает под данный процент

на этот период. Соответственно по окончании действия контракта в первом случае он выплатит, а во втором получит сумму:

По котировочной цене в момент t2 инвестор докупает фьючерс до

одного целого контракта.

По истечении контракта по нему перечисляется вариационная маржа в размере S, - F.? , поскольку котировочная фьючерсная

цена равна спотовой. Если она отрицательная, эта сумма списыва­ется, если положительная, начисляется на счет инвестора. В этот момент он погашает заимствованные средства и получает деньги по размещенным депозитам. Финансовый итог операции равен:

Таким образом, стоимость позиции инвестора в конце периода Т по фьючерсному контракту равна позиции по форвардному. Сле­довательно они должны быть одинаковыми и в начале периода:

(Напомним, именно эти средства были инвестированы в начале периода по каждой операции). Поскольку процентная ставка и пери­од времени одинаковые, то в равенстве (П.3.1) Ff = Fl, т.е. фор­вардная цена равна фьючерсной. Если для разных периодов време­ни процентные ставки не одинаковые, но известны заранее, то ра­венство цен также сохранится.