3. Примеры хеджирования европейских опционов

Поскольку обычно используется годовая процентная ставка, за единицу измерения времени удобно принять год, что в дальнейшем и сделано; при этом время до истечения опциона т — 0, 25. Предположим, что цена облигации Р в момент времени 0 (когда был продан опцион) равна 0,4901 руб., волатильность цены облигации и = 0,15. Цена исполнения X, как уже было сказано, равна 0,5 руб. Предположим также, что непрерывно начисляемая процентная ставка г одинакова для всех сроков заимствования до 3-х месяцев включительно и равна 0,08; больше того, предположим, что ставка г для таких сроков заимствования остается неизменной в течение этих 3-х месяцев. В разделе 2 было показано, что при таких допущениях, когда время до истечения опциона мало по сравнению с временем до погашения облигаций, и краткосрочные ставки могут считаться постоянными, цена европейского опциона колл может быть рассчитана по формуле (2.9). Подчеркнем, что в соответствии с принятыми допущениями, постоянными считаются краткосрочные ставки, а долгосрочные ставки меняются случайным образом. Поэтому и цена облигации со сроком погашения через 5 лет меняется в эти 3 месяца случайным образом.

Рассчитанная по формуле (2.9) цена такого опциона на 1 млн. облигаций примерно равна 14,7 тыс.

Мы рассмотрим вопрос, какую стратегию хеджирования может выбрать финансовая компания, чтобы оградить свою прибыль от риска, связанного с колебаниями цены об-лигации.

Однако сначала рассмотрим две стратегии, при которых этот риск присутствует.

Первая стратегия состоит в том, чтобы не делать ничего. То есть весь портфель финансовой компании по данному проекту состоит из одного короткого (проданного) опциона колл. В этом случае говорят, что финансовая компания имеет непокрытую позицию. Если по прошествии 3-х месяцев с момента продажи опциона цена облигации будет меньше 0,5 руб., то опцион останется неисполненным, и 20 тыс. руб., полученные при продаже опциона, составят прибыль финансовой компании. В этом случае непокрытая позиция оказывается самой хорошей. Но предположим, что цена облигации через 3 месяца составит, например, 0,62 руб. В этом случае финансовая компания выплатит владельцу опциона 120 тыс. руб. Убытки финансовой компании — около 100 тыс. руб. \r\nВторая стратегия состоит в том, чтобы одновременно с продажей опциона колл купить 1 млн. облигаций. В этом случае говорят, что финансовая компания имеет покрытую позицию. Одновременно с продажей опциона колл финансовая компания потратила примерно 490 тыс. руб. на покупку облигаций. Если по прошествии 3-х месяцев цена облигации будет выше 0,5 руб., то такая стратегия себя оправдает. Компания продаст облигации владельцу опциона по 0,5 руб. и будет иметь в итоге прибыль около 30 тыс. руб. Но если по прошествии 3-х месяцев цена облигации будет, например, 0,4 руб., то убытки финансовой компании составят около 70 тыс. руб.

Широкое распространение получила стратегия, называемая дельта хеджированием. Чтобы пояснить суть этой стратегии, обратимся к рассмотренному в разделе 2 опциону, дающему право в некоторый момент времени обменять один актив на другой. При рассмотрении этого опциона было показано, что

дги дм) и) - -^-9 = 0.

ар ад

Здесь ги — цена опциона, р — цена актива 1, д — цена актива 2. То есть портфель, состоящий из одного купленного опцией;

она, из выпущенных —— единиц актива 1 и из выпущенных

др

дги

-— единиц актива 2, имеет нулевую стоимость. дя

В том примере, который мы сейчас рассматриваем, актив 1 — это банковский счет с постоянной процентной ставкой, начисляемой непрерывно. Другими словами, актив 1 — это заемные средства, используемые для покупки облигаций или, наоборот, средства, полученные от выпуска облигаций

и положенные на банковский счет. Активом 2 является облигация. Опасность неблагоприятного изменения цены опциона связана только с изменением цены этой облигации. Величина -7— называется дельтой опциона и показывает, какое dq

число облигаций должно входить в портфель, содержащий один опцион, чтобы эту опасность исключить.

Напомним, что согласно формуле (2.9) цена европейского опциона колл

с = Р N(di) - е~ГТХ N(d2),

где

, In (Р/е~гтХ) 1 г- ,

di = т= 1- г VsJt\\ d2 = d1- uy/т.

VsJT 2

Цена европейского опциона пут

р = е~гт X N(-d2) - PN(-dx).

Выведем формулу для дельты европейского опциона

дс „

колл, т.е. для величины —. Используя формулы

ddx _ 1 dN(dx) _ n(dx)

ЭР ~ VsfrP\' дР ~ vs/TP\'

где п(х) — —= е~х2/\'2, для европейского опциона колл получая-

е~гт X n(rf0 Б— n(rf2)

\\т / 1 \\ 1

_„w(чаем

Используя обозначение а = и^/т, выражение в квадратных скобках приводим к виду

(с^х) -е-1п(р/е~ггх)п(<*і - о).

Пусть А — 1п(Р/е~~тт X). Тогда выражение в квадратных

скобках с точностью до коэффициента .— равно

V 27Г

-ехр(-Л)ехр(-і((| + §)-а) ) =

= еХР(-І(М)2)-еХр(-і(М)г)=0.

Поэтому дельта европейского опциона колл Л = ^ =

Аналогично может быть получено, что дельта европейского опциона пут

д = Л = *(*)-1.

п

Напомним, что мы рассматриваем пример, когда фи-нансовая компания в момент времени 0 продала за 20 тыс. руб. европейский опцион колл на право покупки 1 млн. облигаций в момент времени 0,25 по 0,5 руб.

Чтобы получить эту прибыль при любом возможном изменении цены облигации финансовая компания решила использовать стратегию дельта хеджирования. Кроме опциона, финансовая компания создает портфель из двух активов, рз облигаций и из банковского счета с постоянной процентной ставкой, начисляемой непрерывно. В нулевой момент времени стоимость этого портфеля равна 0. Компания стре-мится к тому, чтобы в каждый момент времени в этом портфеле было А • 1000000 облигаций. Величина А зависит от Текущей цены облигации. Мы считаем, что компания корректирует портфель через интервалы времени At = 0,01.

В табл. 3.1 и 3.2 приведены параметры портфеля для двух различных сценариев изменения цены облигации в пе-риод времени 0 ^ Ь ^ 0,25. Каждая строка табл. 3.1 и 3.2 отвечает одному моменту времени В столбцах табл. 3.1 — 3.6 приведены следующие величины.

Цена облигации Р^,Ть) в каждый момент времени * = /гД*, А; = 0,1,... ,25; Ть = 5.

Дельта опциона А в каждый момент времени I.

Общее число облигаций в портфеле А • 1000000 в момент времени Ь.

Число облигаций N, купленных в момент времени I.

Стоимость купленных облигаций N Р(Ь,Ть).

Проценты г на взятый ранее заем, начисленные за период времени (Ь — А?, ?).

Размер займа в момент времени ? : размер займа в момент времени ? — увеличенный на N Р(Ь,Ть) + г.

Табл. 3.1 отвечает случаю, когда к моменту истечения опцион колл оказался в деньгах.

Таблица 3.1. Дельта хеджирование европейского опциона колл на бескупонную облигацию; в момент истечения опциона цена облигации больше цены исполнения\r\n(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)\r\n0,4901 0,5150 514956 514956 252379,6 0,0 252379,6\r\n0,4906 0,5163 516309 1353 663,8 202,0 253245,4\r\n0,4946 0,5558 555782 39473 19522,6 202,7 272970,7\r\n0,4827 0,4149 414941 -140841 -67985,4 218,5 205203,8\r\n0,4856 0,4420 441983 27042 13132,0 164,2 218500,0\r\n0,4885 0,4704 470447 28464 13905,3 174,9 232580,1\r\n0,4884 0,4624 462442 -8005 -3909,5 186,1 228856,7\r\n0,4909 0,4874 487449 25007 12275,2 183,2 241315,1\r\n0,4983 0,5776 577575 90126 44909,6 193,1 286417,8\r\n0,5070 0,6825 682508 104933 53200,0 229,2 339847,1\r\n0,5265 0,8695 869530 187022 98464,9 272,0 438584,0\r\n0,5277 0,8825 882462 12932 6823,9 351,0 445758,8\r\n0,5252 0,8705 870469 -11993 -6298,8 356,7 439816,8\r\n0,5065 0,6767 676733 -193736 -98123,6 352,0 342045,2\r\n0,5108 0,7361 736119 59386 30334,5 273,7 372653,5\r\n0,5112 0,7446 744596 8477 4333,1 298,2 377284,8\r\n0,5030 0,6231 623079 -121517 -61117,9 301,9 316468,8\r\n0,5129 0,7799 779857 156778 80408,9 253,3 397131,0\r\n0,5195 0,8696 869579 89722 46609,5 317,8 444058,3\r\n0,5222 0,9081 908148 38569 20139,3 355,4 464553,0\r\n0,5175 0,8767 876732 -31416 -16256,2 371,8 448668,6\r\n0,5120 0,8185 818523 -58209 -29800,8 359,1 419226,8\r\n0,5170 0,9178 917775 99252 51310,6 335,5 470873,0\r\n0,5196 0,9710 970954 53179 27629,7 376,8 498879,5\r\n0,5133 0,9653 965295 -5659 -2905,0 399,3 496373,8\r\n0,5175 1,0000 1000000 34705 17958,9 397,3 514729,9\r\n

Табл.

Таблица 3.2. Дельта хеджирование европейского опциона колл на бескупонную облигацию; в момент истечения опциона цена облигации меньше цены исполнения\r\n(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)\r\n0,4901 0,5150 514956 514956 252379,6 0,0 252379,6\r\n0,4964 0,5794 579409 64453 31996,1 202,0 284577,7\r\n0,4869 0,4689 468897 -110512 -53805,5 227,8 231000,0\r\n0,4891 0,4883 488334 19437 9505,8 184,9 240690,6\r\n0,4883 0,4744 474371 -13963 -6818,8 192,6 234064,4\r\n0,4784 0,3492 349246 -125125 -59855,4 187,3 174396,4\r\n0,4591 0,1489 148943 -200303 -91953,6 139,6 82582,4\r\n0,4635 0,1756 175641 26698 12375,2 66,1 95023,7\r\n0,4641 0,1700 169986 -5655 -2624,4 76,0 92475,3\r\n0,4632 0,1513 151325 -18661 -8643,8 74,0 83905,5\r\n0,4611 0,1234 123359 -27966 -12895,3 67,2 71077,4\r\n0,4576 0,0881 88132 -35227 -16118,9 56,9 55015,4\r\n0,4561 0,0696 69626 -18506 -8441,2 44,0 46618,3\r\n0,4530 0,0456 45598 -24028 -10884,6 37,3 35771,0\r\n0,4628 0,0880 87986 42388 19616,2 28,6 55415,8\r\n0,4484 0,0177 17718 -70268 -31509,0 44,4 23951,1\r\n0,4475 0,0113 11294 -6424 -2875,0 19,2 21095,2\r\n0,4493 0,0095 9459 -1835 -824,5 16,9 20287,6\r\n0,4355 0,0004 447 -9012 -3924,4 16,2 16379,5\r\n0,4452 0,0013 1297 850 378,4 13,1 16771,0\r\n0,4489 0,0010 1035 -262 -117,6 13,4 16666,8\r\n0,4545 0,0011 1098 63 28,6 13,3 16708,8\r\n0,4508 0,0001 51 -1047 -472,0 13,4 16250,1\r\n0,4465 0,0000 0 -51 -22,8 13,0 16240,4\r\n0,4462 0,0000 0 0 0,0 13,0 16253,4\r\n0,4338 0,0000 0 0 0,0 13,0 16266,4\r\n \r\nВ обоих случаях цена облигации в разные моменты времени определялась при помощи датчика случайных чисел по формуле

1пР(* + Дг, Ть) = 1пР(*, Гь) -I- (г - г/2/2) Д* + ие у/Ы, (3.1)

где е — значение нормальной случайной величины с математическим ожиданием 0 и с дисперсией 1. Для разных моментов времени 2 = 0; 0,01;... ; 0,24 используются значения независимых случайных величин е.

При сценарии, представленном в табл. 3.1, в момент времени 0,25 компания имеет 1 млн.

При сценарии, представленном в табл. 3.2, затраты компании составили около 16,3 тыс. руб. С учетом полученных в момент времени 0 за опцион 20 тыс. руб. прибыль компании составила около 4 тыс. руб.

Несколько изменим рассматриваемый пример. Пусть опцион, который в момент времени 0 продала финансовая компания, — это не европейский опцион колл, а европейский опцион пут. Все остальные величины не меняются: продан опцион за 20 тыс. руб., время до истечения опциона т = = 0,25, цена исполнения X — 0,5 руб. Рассчитанная по формуле (2.10) цена европейского опциона пут на 1 млн. облигаций примерно равна 14,7 тыс. руб. (в данном случае эта цена совпадает с ценой европейского опциона колл).

Табл. 3.3 отвечает случаю, когда к моменту истечения опцион пут оказался вне денег.

Таблица 3.3. Дельта хеджирование европейского опциона пут на бескупонную облигацию; в момент истечения опциона цена облигации больше цены исполнения\r\n(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)\r\n0,4901 -0,4850 -485043 -485043 -237719,3 0,0 -237719,3\r\n0,4906 -0,4837 -483690 1353 663,8 -190,3 -237245,7\r\n0,4946 -0,4442 -444217 39473 19522,6 -189,9 -217912,9\r\n0,4827 -0,5851 -585058 -140841 -67985,4 -174,4 -286072,7\r\n0,4856 -0,5580 -558016 27042 13132,0 -228,9 -273169,7\r\n0,4885 -0,5296 -529552 28464 13905,3 -218,6 -259483,1\r\n0,4884 -0,5376 -537557 -8005 -3909,5 -207,7 -263600,3\r\n0,4909 -0,5126 -512550 25007 12275,2 -211,0 -251536,0\r\n0,4983 -0,4224 -422424 90126 44909,6 -201,3 -206827,7\r\n0,5070 -0,3175 -317491 104933 53200,0 -165,5 -153793,2\r\n0,5265 -0,1305 -130469 187022 98464,9 -123,1 -55451,4\r\n0,5277 -0,1175 -117537 12932 6823,9 -44,4 -48671,9\r\n0,5252 -0,1295 -129530 -11993 -6298,8 -39,0 -55009,6\r\n0,5065 -0,3233 -323266 -193736 -98123,6 -44,0 -153177,3\r\n0,5108 -0,2639 -263880 59386 30334,5 -122,6 -122965,3\r\n0,5112 -0,2554 -255403 8477 4333,1 -98,4 -118730,7\r\n0,5030 -0,3769 -376920 -121517 -61117,9 -95,0 -179943,6\r\n0,5129 -0,2201 -220142 156778 80408,9 -144,0 -99678,8\r\n0,5195 -0,1304 -130420 89722 46609,5 -79,8 -53149,0\r\n0,5222 -0,0919 -91851 38569 20139,3 -42,5 -33052,3\r\n0,5175 -0,1233 -123267 -31416 -16256,2 -26,5 -49334,9\r\n0,5120 -0,1815 -181476 -58209 -29800,8 -39,5 -79175,2\r\n0,5170 -0,0822 -82224 99252 51310,6 -63,4 -27928,0\r\n0,5196 -0,0290 -29045 53179 27629,7 -22,4 -320,6\r\n0,5133 -0,0347 -34704 -5659 -2905,0 -0,3 -3225,9\r\n0,5175 0,0000 0 34704 17958,3 -2,6 14729,9\r\n

Табл. 3.4 отвечает случаю, когда к моменту истечения опцион пут оказался в деньгах.

Таблица 3.4. Дельта хеджирование европейского опциона пут на бескупонную облигацию; в момент истечения опциона цена облигации меньше цены исполнения\r\n(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)\r\n0,4901 -0,4850 -485043 -485043 -237719,3 0,0 -237719,3\r\n0,4964 -0,4206 -420590 64453 31996,1 -190,3 -205913,4\r\n0,4869 -0,5311 -531102 -110512 -53805,5 -164,8 -259883,7\r\n0,4891 -0,5117 -511665 19437 9505,8 -208,0 -250585,9\r\n0,4883 -0,5256 -525628 -13963 -6818,8 -200,5 -257605,2\r\n0,4784 -0,6508 -650753 -125125 -59855,4 -206,2 -317666,8\r\n0,4591 -0,8511 -851056 -200303 -91953,6 -254,2 -409874,6\r\n0,4635 -0,8244 -824358 26698 12375,2 -328,0 -397827,4\r\n0,4641 -0,8300 -830013 -5655 -2624,4 -318,4 -400770,2\r\n0,4632 -0,8487 -848674 -18661 -8643,8 -320,7 -409734,8\r\n0,4611 -0,8766 -876640 -27966 -12895,3 -327,9 -422958,0\r\n0,4576 -0,9119 -911867 -35227 -16118,9 -338,5 -439415,3\r\n0,4561 -0,9304 -930373 -18506 -8441,2 -351,7 -448208,2\r\n0,4530 -0,9544 -954401 -24028 -10884,6 -358,7 -459451,5\r\n0,4628 -0,9120 -912013 42388 19616,2 -367,7 -440203,0\r\n0,4484 -0,9823 -982281 -70268 -31509,0 -352,3 -472064,4\r\n0,4475 -0,9887 -988705 -6424 -2875,0 -377,8 -475317,2\r\n0,4493 -0,9905 -990540 -1835 -824,5 -380,4 -476522,1\r\n0,4355 -0,9996 -999552 -9012 -3924,4 -381,4 -480827,9\r\n0,4452 -0,9987 -998702 850 378,4 -384,8 -480834,3\r\n0,4489 -0,9990 -998964 -262 -117,6 -384,8 -481336,7\r\n0,4545 -0,9989 -998901 63 28,6 -385,2 -481693,3\r\n0,4508 -0,9999 -999948 -1047 -472,0 -385,5 -482550,8\r\n0,4465 -1,0000 -999999 -51 -22,8 -386,2 -482959,8\r\n0,4462 -1,0000 -1000000 -1 -0,4 -386,5 -483346,7\r\n0,4338 -1,0000 -1000000 0 0,0 -386,8 -483733,6\r\n

Вновь используется стратегия дельта хеджирования. Создается портфель из облигаций и из банковского счета, в котором в каждый момент времени, в который производится пересмотр портфеля, находится Д-1000000 облигаций.

В табл. 3.3 и 3.4 приведены параметры портфелей для тех же цен облигаций, что и в табл. 3.1 и 3.2 соответственно.

При сценарии, представленном в табл. 3.3, затраты компании на создание и поддержание портфеля составили около 14,7 тыс. руб. С учетом полученных в момент времени 0 за опцион 20 тыс. руб. прибыль компании составила около 5 тыс. руб.

При сценарии, представленном в табл. 3.4, в момент времени 0,25 финансовая компания имеет на банковском счете около 483,7 тыс. руб., обязательство по опциону купить за 500 тыс. руб. 1 млн. облигаций и обязательство поставить 1 млн. облигаций, закрывая короткую позицию. После выполнения обоих обязательств затраты компании составят около 16,3 тыс. руб. С учетом полученных в момент времени 0 за опцион 20 тыс. руб. прибыль финансовой компании составляет около 4 тыс. руб.

Теперь предположим, что финансовая компания ошиблась при определении волатильности цены облигации. "Настоящая" волатильность, то есть та волатильность и, которая используется в формуле (3.1), равна 0,3. А финансовая компания при расчете цены опциона в момент времени 0 и при расчетах дельт в течение трех месяцев исходила из волатильности цены облигации 0,15. "Справедливая" цена европейского опциона колл была определена финансовой компанией примерно в 14,7 тыс. руб., и данный опцион был продан за 20 тыс. руб. \r\nТабл. 3.5 отвечает случаю, когда к моменту истечения опцион колл оказался в деньгах.

Таблица 3.5. Дельта хеджирование европейского опциона колл на бескупонную облигацию при неверно определенной вола- тильности цены облигации; в момент истечения опциона цена облигации больше цены исполнения\r\n(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)\r\n0,4901 0,5150 514956 514956 252379,6 0,0 252379,6\r\n0,4889 0,4972 497176 -17780 -8692,9 202,0 243888,7\r\n0,4762 0,3502 350162 -147014 -70014,7 195,2 174069,1\r\n0,5107 0,7216 721565 371403 189691,6 139,3 363900,1\r\n0,5055 0,6697 669704 -51861 -26217,8 291,2 337973,5\r\n0,4936 0,5313 531346 -138358 -68287,3 270,5 269956,7\r\n0,4949 0,5432 543245 11899 5888,9 216,1 276061,6\r\n0,5041 0,6509 650942 107697 54295,1 220,9 330577,6\r\n0,5031 0,6372 637150 -13792 -6938,8 264,6 323903,4\r\n0,5169 0,7878 787804 150654 77879,9 259,2 402042,5\r\n0,5106 0,7252 725161 -62643 -31988,4 321,8 370375,9\r\n0,5013 0,6074 607431 -117730 -59013,9 296,4 311658,5\r\n0,4854 0,3711 371080 -236351 -114722,4 249,4 197185,5\r\n0,4903 0,4347 434729 63649 31210,3 157,8 228553,6\r\n0,5076 0,6938 693774 259045 131501,6 182,9 360238,1\r\n0,5011 0,5939 593908 -99866 -50040,3 288,3 310486,1\r\n0,4857 0,3218 321793 -272115 -132164,1 248,5 178570,5\r\n0,4812 0,2316 231628 -90165 -43383,3 142,9 135330,1\r\n0,4865 0,2991 299102 67474 32828,4 108,3 168266,8\r\n0,4888 0,3199 319945 20843 10188,0 134,7 178589,5\r\n0,4918 0,3604 360357 40412 19874,3 142,9 198606,7\r\n0,5004 0,5584 558437 198080 99115,3 158,9 297880,9\r\n0,5260 0,9801 980056 421619 221762,3 238,4 519881,6\r\n0,5526 1,0000 999999 19943 11019,8 416,1 531317,4\r\n0,5722 1,0000 1000000 1 0,6 425,2 531743,2\r\n0,5781 1,0000 1000000 0 0,0 425,6 532168,8\r\n

Табл. 3.6 отвечает случаю, когда к моменту истечения опцион колл оказался вне денег.

Таблица 3.6. Дельта хеджирование европейского опциона колл на бескупонную облигацию при неверно определенной вола- тилъности цены облигации; в момент истечения опциона цена облигации меньше цены исполнения\r\n(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)\r\n0,4901 0,5150 514956 514956 252379,6 0,0 252379,6\r\n0,5018 0,6361 636075 121119 60782,3 202,0 313363,9\r\n0,4933 0,5415 541534 -94541 -46637,4 250,8 266977,3\r\n0,4834 0,4231 423067 -118467 -57269,0 213,7 209921,9\r\n0,4823 0,4028 402795 -20272 -9776,8 168,0 200313,1\r\n0,4554 0,1315 131501 -271294 -123559,1 160,3 76914,4\r\n0,4580 0,1405 140490 8989 4116,6 61,6 81092,5\r\n0,4467 0,0649 64916 -75574 -33755,4 64,9 47402,0\r\n0,4307 0,0154 15399 -49517 -21329,4 37,9 26110,5\r\n0,4213 0,0045 4516 -10883 -4585,1 20,9 21546,3\r\n0,4156 0,0016 1601 -2915 -1211,4 17,2 20352,1\r\n0,4329 0,0097 9693 8092 3503,4 16,3 23871,8\r\n0,4332 0,0075 7497 -2196 -951,3 19,1 22939,6\r\n0,4211 0,0010 991 -6506 -2739,9 18,4 20218,1\r\n0,4179 0,0003 334 -657 -274,6 16,2 19959,7\r\n0,4129 0,0001 60 -274 -113,1 16,0 19862,5\r\n0,4250 0,0003 303 243 103,3 15,9 19981,7\r\n0,4619 0,0447 44711 44408 20510,0 16,0 40507,7\r\n0,4399 0,0011 1081 -43630 -19192,1 32,4 21348,0\r\n0,4269 0,0000 16 -1065 -454,7 17,1 20910,4\r\n0,4262 0,0000 1 -15 -6,4 16,7 20920,7\r\n0,4251 0,0000 0 -1 -0,4 16,7 20937,0\r\n0,4141 -0,0000 0 0 0,0 16,8 20953,8\r\n0,4441 0,0000 0 0 0,0 16,8 20970,6\r\n0,4396 -0,0000 0 0 0,0 16,8 20987,3\r\n0,4292 0,0000 0 0 0,0 16,8 21004,1\r\n

При сценарии, представленном в табл. 3.5, затраты компании на создание и поддержание портфеля составили около 32 тыс. руб. Поскольку в момент времени 0 финансовая компания получила 20 тыс. руб., ее убытки от всего проекта составляют около 12 тыс. руб.

При сценарии, представленном в табл. 3.6, затраты компании на создание и поддержание портфеля составили 21 тыс. руб. Поскольку в момент времени 0 финансовая компания получила 20 тыс. руб., ее убытки от всего проекта составляют около 1 тыс. руб.

Если в расчете цены опциона колл по форммуле (2.9) принять волатильность цены облигации и = 0,3, то окажется, что цена рассматриваемого опциона примерно равна 29,3 тыс. руб.

Дельта хеджирование — это метод защиты от рыночных рисков, имеющий большое практическое значение. Существуют многочисленные усовершенствования этого метода. Например, при определении стратегии хеджирования де- риватива, цена которого описывается функцией ?), где 5 — цена основного актива, ? — время, может использовать-

. дно _ д2ги

ся не только величина А = —, но и величина Г =

Для цен очень многих деривативов не существует столь простых аналитических формул, как формулы (2.9) и (2.10) для цен европейских опционов колл и пут на бескупонные облигации. Поэтому для определения стратегий хеджирования используются цены и дельты деривативов, рассчитанные численными методами.

В оставшейся части книги мы сосредоточимся, главным образом, на оценке деривативов. Задачи хеджирования мы коснемся еще раз только в конце книги в разделе 9. \r\n