Верхняя граница премии европейского опциона пут

К моменту истечения срока действия контракта европейский оп­цион пут должен стоить не больше цены исполнения.

- премия европейского опциона пут;

X - цена исполнения; г - ставка без риска;

Т - время до истечения срока действия контракта; база - финансовый год.

В противном случае арбитражер получит прибыль. Он продаст опци­он и инвестирует сумму премии под процент без риска на период действия контракта.

Рассмотрим два портфеля. В первый входит длинный европей­

ский опцион колл на фьючерсный контракі

приведенной стоимости цены исполнения

под ставку без риска г на период времени 74 Второй портфель состоит из одного длинного фьючерсного контракта, открытого по

Она инвестируется под ставку бе;

риска до момента истечения опциона

Если к моменту истечения срока действия опциона фьючерсная цена Ff выше цены исполнения, в первом портфеле исполняется

опцион колл.

Во втором портфеле по фьючерсному контракту получается ва­риационная маржа в размере:

ля равна:

Таким образом, стоимости портфелей равны.

Если к моменту истечения срока действия опциона

выросла до величины X, поэтому стоимость первого портфеля рав­на X.

Во втором портфеле по фьючерсному контракту получается ва­риационная маржа в размере:

? Вместо суммы денег в портфель можно включить безрисковую облигацию, номинал которой равен X, погашаемую в конце периода Т

Таким образом, премия европейского опциона на фьючерсный контракт не должна быть меньше дисконтированной стоимости раз­ности между текущей фьючерсной ценой и ценой исполнения.

Пример.

Фьючерсная цена 110 руб., цена исполнения трехмесячного опциона на фьючерсный контракт 100 руб., ставка без риска для трех месяцев 10% годовых. Определить нижнюю границу премии опциона.

Решение.

Предположим, что в примере фактическая цена опциона меньше нижней границы и равна 9 руб. Тогда можно совершить арбитражную

операцию. Алгоритм действий арбитражера определим на основе неравенства (8.2). В случае возможности совершения арбитражной операции оно принимает вид:

1 Левая часть неравенства это первый портфель, правая часть нера­венства второй портфель. Первый портфель дешевле второго, по­этому его следует купить, второй продать. Таким образом, арбитра­жер продает фьючерс по 110 руб., занимает 9 руб. и покупает опци­он. В конце периода он должен вернуть по кредиту сумму:

Если к моменту истечения срока действия контракта FT > X ,

арбитражер исполняет опцион и получает вариационную маржу в оазмеое:

У него также открывается длинная фьючерсная позиция. Она явля­ется офсетной относительно проданного им фьючерса. По короткой позиции он получает:

Общий результат равен:

Если к моменту истечения срока действия контракта

опцион не исполняется, арбитражер закрывает короткую фьючерс­ной позицию офсетной сделкой, отдает кредит и получает еще большую прибыль.

Мы рассмотрели вопрос определения нижней границы премии для опциона на фьючерсный контракт с одним допущением: не учитывали возможное перечисление вариационной маржи в ходе действия фьючерсного контракта, т.е. фактически рассматривали его как форвардный контракт. С учетом начисления процента на положительную маржу и финансирования под процент отрицатель­ной маржи финансовый результат на практике может несколько отличаться от полученного, т.е. арбитраж с использованием фью­черсных контрактов не является абсолютно безрисковым. В то же

время, как было показано в приложении 1 к главе 3, если процент­ная ставка постоянна и одинакова для всех периодов времени, то результаты по форвардному и фьючерсному контрактам будут аналогичными.

Американский опцион колл можно исполнить в любой момент действия контракта. Поэтому его цена не должна быть меньше внут­ренней стоимости опциона, т.е.:

В противном случае можно совершить арбитражную операцию.

Пример.

Фьючерсная цена 110 руб., цена исполнения трехмесячного оп­циона колл на фьючерсный контракт 100 руб. Опцион стоит 9,9 руб. Указанное выше условие нарушено. Арбитражер покупает опцион, продает фьючерс и исполняет контракт.

-9,9 +(l 10-100)= ОД/губ.

Согласно формулам (8.2) у\\ (8.5) нижняя граница премии амери­канского опциона колл больше премии европейского. Поэтому аме­риканский опцион должен стоить больше европейского.

В главе 6 мы отметили, что европейский опцион колл на фью­черсный контракт может иметь отрицательную временную стои­мость. Покажем это аналитически, используя условие для нижней границы опциона.

Допустим, премия опциона колл равна ее нижней границе, т. е.:

Стоимость второго портфеля доросла до величины X . Таким обра­зом, стоимость первого портфеля больше или равна стоимости вто­рого портфеля. Данное соотношение должно выдерживаться и в начале периода Т, иначе можно получить арбитражную прибыль. Поэтому:

В момент заключения фьючерсного контракта его стоимость равна

или

или

г <

или для простого процента

Таким образом, премия европейского опциона пут не должна быть меньше дисконтированной стоимости разности мехщу ценой исполнения и текущей фьючерсной ценой. В противном случае мож­но совершить арбитражную операцию.

Пример.

Фьючерсная цена 90 руб., цена исполнения трехмесячного оп­циона на фьючерсный контракт 100 руб., ставка без риска для трех месяцев 10% годовых. Определить нижнюю границу премии опциона.

Решение.

Предположим, что в примере фактическая цена опциона меньше нижней границы и равна 9 руб. Тогда можно совершить арбитражную операцию. Алгоритм действий арбитражера определим на основе неравенства (8.7). В случае возможности совершения арбитражной операции оно принимает вид:

Левая часть неравенства это первый портфель, правая часть нера­венства - второй портфель. Первый портфель дешевле второго, поэтому его следует купить, второй продать. Продажу второго портфеля запишем как:

Поэтому арбитражер покупает фьючерс по 90 руб., занимает 9 руб. и покупает опцион. В конце периода он должен вернуть по кредиту сумму:

У него открылась короткая фьючерсная позиция. Она является оф­сетной относительно купленного им фьючерса. По длинной позиции он получает вариационную маржу:

Общий результат равен:

Мы рассмотрели вопрос определения нижней границы премии для опциона на фьючерсный контракт с одним допущением: не учи­тывали возможное перечисление вариационной маржи в ходе дейст­вия фьючерсного контракта, т.е. фактически рассматривали его как форвардный контракт. С учетом начисления процента на положи­тельную маржу и финансирования под процент отрицательной мар­жи финансовый результат на практике может несколько отличаться от полученного, т.е. арбитраж с использованием фьючерсных кон­трактов не является абсолютно безрисковым. В то же время, как было показано в приложении 1 к главе 3, если процентная ставка постоянна и одинакова для всех периодов времени, то результаты по форвардному и фьючерсному контрактам будут аналогичными.

Американский опцион пут можно исполнить в любой момент дей­ствия контракта. Поэтому его цена не должна быть меньше внутрен­ней стоимости опциона, т.е.:

Пример.

Фьючерсная цена 90 руб., цена исполнения трехмесячного оп­циона пут на фьючерсный контракт 100 руб. Опцион стоит 9,9 руб. Указанное выше условие нарушено. Арбитражер покупает опцион, покупает фьючерс и исполняет контракт. Его прибыль равна:

-9,9+ (100-90) = 0,1 руб.

Согласно формулам (8.8) и (8.9) нижняя граница премии амери­канского опциона пут больше премии европейского. Поэтому амери­канский опцион должен стоить больше европейского.

В главе 6 мы отметили, что европейский опцион пут на фьючерс­ный контракт может иметь отрицательную временную стоимость. Покажем это аналитически, используя условие для нижней границы опциона.

Допустим, премия опциона пут равна ее нижней границе, т. е.:

Внутренняя стоимость составляет: