<<

↑

>>

Нижняя граница премии европейского и американского опционов пут

Получим формулу для нижней границы премии европейского оп­циона. Рассмотрим только случай, когда дивиденд выплачивается на акцию в последний день действия контракта, т.е. в момент 71.[47]

Рассмотрим два портфеля.

Первый состоит из одного европей-

ского опциона пут и одной акции (S), второй - включает суммы денег

(D - это приведенная стоимость дивиденда, который

выплачивается по акции. Она получена дисконтированием дивиден­да под непрерывно начисляемую ставку без риска г на время Т).

Суммы

и D инвестируются на время Т под ставку г.

К моменту истечения срока действия контракта стоимость второ­го портфеля при любой цене акции равна:

составляет:

Стоимость первого портфеля в этот момент при

поскольку опцион не исполняется.

Следовательно, стоимость перво- . го портфеля больше или равна стоимости второго.

hspace=0 vspace=0> Есл

, опцион исполняется, т.е. инвестор продает акцию

В этом случае стоимости портфелей равны. Таким образом, в конце периода Т стоимость первого портфеля равна или больше стоимо­сти второго портфеля. Данное соотношение должно выдерживаться и в начале периода Т, чтобы арбитраж был невозможен. Поэтому можно записать:

или

Таким образом, премия европейского опциона пут должна быть не меньше разности между суммой дисконтированных стоимостей цены исполнения и дивиденда, который планируется выплатить по акции, и ценой спот акции. Если условие (7.23) не выдерживается, можно получить арбитражную прибыль.

Чтобы определить действия арбитражера, запишем условие, до­пускающее арбитраж:

или

Левую часть неравенства (7.24) примем за первый портфель, правую

- за второй.

период Т под ставку г в размере

продажи второго портфеля. В момент Т на акцию выплачивается дивиденд.

Если по истечении контракта,

опцион, т.е. продает акцию по цене исполнения, возвращает кредит. Прибыль равна:

Прибыль возникает за счет того, что по кредиту арбитражер должен

денда он получит сумму (X + div). Величина [X + div) больше

Это следует из (7.24), если умножить обе части нера­

или

\\* t /

Если на момент истечения опциона ST > X, арбитражер не ис­полняет контракт, а продает акцию по спотовой сделке и получает еще большую прибыль.

Дивиденд может выплачиваться на акцию в ходе действия кон­тракта во время t. В этом случае действия арбитражера аналогичны представленным выше, но с поправкой на дивиденд. Для покупки

акции и опциона он занимает сумму

будет выплачен дивиденд, то занимаемые средства разбиваются на две части. Сумма равная D занимается на время t. Эта часть кре­дита погашается с помощью будущего дивиденда. Оставшаяся сум­

Американский опцион предоставляет инвестору больший диа­пазон возможностей по сравнению с европейским, поэтому форму­ла (7.23) верна и для него.

Американский опцион пут можно исполнить в любой момент времени в течение действия контракта. Поэтому для него также должно выдерживаться условие:

7.2.1.