Нижняя граница премии европейского опциона пут
Нижняя граница премии европейского опциона пут на акции, по которым не выплачиваются дивиденды, равна:
Для непрерывно начисляемого процента выражение (7.8) принимает вид: |
Докажем утверждение (7.9).
![]() |
, которая инвестируется под ставку без риска г на период |
Т. Если в конце периода Т курс акции ниже цены исполнения, то опцион пут исполняется: инвестор поставляет акцию и получает сумму денег равную X. Это стоимость первого портфеля в данный момент. Стоимость второго портфеля также равна X. Таким образом, стоимости портфелей равны. Если курс акции выше или равен цене исполнения, то опцион пут не исполняется, и стоимость первого портфеля равна ST (ST- цена акции в момент окончания контракта). Стоимость второго портфеля равна X. Поэтому в конце периода Т стоимость первого портфеля больше или равна стоимости второго портфеля. Данное соотноше- |
Рассмотрим два портфеля. В первый входит длинный европейский опцион пут (Jрt,) и акция (s), во второй - сумма денег равная
ние должно выдерживаться и в начале периода, иначе можно совершить арбитражную операцию. Отсюда:
![]() |
или
![]() |
Таким образом, премия европейского опциона пут не должна быть меньше разности между приведенной стоимостью цены исполнения и ценой спот акции.
Пример.
Цена спот акции 90 руб., цена исполнения 100 руб., ставка без риска для 180 дней 10% годовых. Определить нижнюю границу премии опциона, который заключается на 180 дней. База составляет 360 дней.
Решение.
![]() |
Предположим, что фактическая цена опциона в примере меньше нижней границы и равна 5 руб. Тогда можно совершить арбитражную операцию. Арбитражер занимает 95 руб. и покупает опцион и акцию. Через 180 дней он должен вернуть по кредиту:
![]() |
Если к окончанию контракта цена спот акции ниже цены исполнения, он исполнит опцион и поставит бумагу по 100 руб. Его прибыль равна:
100 - 99,75 = 0,25 руб.
Если курс акции превысит цену исполнения, он продаст ее на спотовом рынке по более высокой цене и получит еще большую прибыль.
Представим алгоритм рассуждений арбитражера в общей форме. Условие, не допускающее арбитраж, соответствует выражению (7.9). Следовательно, арбитраж возможен, если сложилась ситуация:
![]() Левая часть неравенства (7.10) - это первый портфель, правая часть - второй портфель. Первый портфель дешевле второго, поэтому его |
необходимо купить. Второй портфель дороже первого, и его следует продать. Продажу второго портфеля запишем как:
![]() |
или
![]() |
Выражение (7.11) говорит о том, что продажа второго портфеля означает заимствование денег и покупку акции.
В целом в рамках данной стратегии арбитражер занимает средства и покупает акцию и опцион пут.![]() |
Равенство (7.12) соответствует безарбитражной ситуации, Преобразуем его следующим образом: |
Чтобы лучше понять результат данного алгоритма, представим выражение (7.10) как равенство:
Равенство (7.13) говорит о том, что, если цена опциона пут и акции равна дисконтированной стоимости цены исполнения опциона, то инвестор может занять данную сумму под процент г на период Т и купить опцион и акцию. От исполнения опциона, т. е. поставки акции по цене X , он получит сумму, которая покроет его заем с процентами. В такой ситуации арбитраж невозможен. Однако, если:
![]() |
то заимствованная сумма окажется меньше дисконтированной стоимости цены исполнения. В таком случае арбитражер заработает прибыль на разнице между суммой X, полученной от исполнения опциона, и меньшей суммой, которую он вернет по кредиту.
В главе 6 мы отметили, что европейский опцион пут на акции с большим выигрышем может иметь отрицательную временную стоимость. Покажем это аналитически, используя условие для нижней границы премии опциона.
![]() |
Тогда внутренняя стоимость составляет: |
![]() |
а временная стоимость по определению равна: |
Допустим, премия опциона пут равна ее нижней границе, т. е.:
![]() Рис. 7.5. Гоафик премии европейского опциона пут |
7.1.6.