2. Оценка права обменять один актив на другой. Применение для оценки европейских опционов на облигации, кэпов и флоров

dP(t) = /ii(t) P(t) dt + ux(t) P(t) dzt,

(2.1)

dQ(t) = ц2(і) Q(t) dt + u2{t) Q(t) dzt,

где zt — стандартное броуновское движение, одно и то же для обоих уравнений.

Пусть w(P(t),Q(t),t) — стоимость в момент времени t опциона, дающего право в момент времени Т обменять второй актив на первый. Нашей ближайшей целью является нахождение функции w(p,q, t), дающей стоимость такого опциона в момент времени t < Т при P(t) = р, Q(t) — q. При этом изложение следует работам [53, 52, 41].

В момент истечения опциона Т должно выполняться условие

w(p,q,T) = max(p- q,0). (2.2)

Также при любом а > 0 должно выполняться условие

w(ap,aq,t) = a w(p,q,t),

т.к. право обменять а единиц актива 2 на а единиц актива 1 должно стоить в а раз больше, чем право обменять одну единицу на одну. По теореме Эйлера об однородных функциях выполняется соотношение

дги дги

Это означает, что стоимость портфеля, состоящего из куп-

дю

ленного опциона, выпущенных -г— единиц актива 1 и вы-

ор

пущенных — единиц актива 2, в любой момент времени ОЯ

равна 0. Соответственно, изменение стоимости такого портфеля должно быть равно 0:

Ли-^-М-^Щ-О. (2.3)

ар оч

Но при помощи многомерной формулы Ито получается,

что

ди) дт дю „ с1и) = —с1Р + —с1С}+

ар с?д сгс

(2.4)

1 /сРи) 2 „9 ^ (Рги д2ги ,,

+2 + ЬЩГ1*™ + л

Сравнивая уравнения (2.3) и (2.4), мы получаем, что функция ю(р, д, Ь) должна удовлетворять уравнению

дги 1 / д2у) о, г> д2и) (Рги , 2\\ ~ /«. -ч

Будем использовать обозначение

х

N(x) = J n(y)dy, где п(у) = ~= е-г/2/2. —00

Теорема. Решением уравнения (2.5), удовлетворяющим начальному условию (2.2), является функция

w(p,q,t) =pN(d) - qN(d- а), (2.6)

где

t

Доказательство этой теоремы является хотя и прямолинейным, но достаточно длинным.

Нетрудно заметить, что при р ^ q

lim w(p,q,t)=p-q

и при р < q

lim wip.q.t) — О,

t->T

т.е. рассматриваемая функция удовлетворяет начальному условию (2.2).

Проведем основные этапы проверки того, что функция w(p,q,t) является решением уравнения (2.5). Напомним формулу дифференцирования интеграла по параметру. Если

V>(*)

F(*) = J f(x,y)dy,

Ф(х)

и все функции, участвующие в определении правой части, достаточно гладкие, то

V>(®)

F\'(x) = /(х,ф(х))ф\'(х) - /(х,ф(х))ф\'(х) + I ^f(x,y)dy.

ф(х)

Имеем

dd_ J_ dd _

Op <7p \' Oc <7C \'

d/v(cQ _ n(rf) aiv(rf - g) n(rf - g)

dp op \' dp crp \'

ON(d) _ _n(d) aiV(rf - a) _ n(d-a) dq aq \' dq 0Q

Отсюда

op a crp

dw яг/, . p . 1 . , . — = -N(d -a)- — nid) + ~n(d- a), dq aq a

Имеем

dn(d) d .dn(d - a) d — a . .

—y—L = n(d), —i- = n(d - a),

ap crp ap crp

dn(d) d . dn(d — a) d — о . ,

dq <*q dq oq Отсюда

d2w d-a ... qd ,

w = n(d) + ^Vn(l 1 \r\nд2ы в,-о . (1

—— = —— п{(1) г п(<* ~

дрдд о2д огр

сРы <(1 — а)р , ,ч б, ., . 7ГТ = ~ о 2 п ^ + "Г п & ~ а •

Получаем

с?2ъи 9 9 „ д2ги д2ю 0 0

а2

(1/1 - г/2)2

(-р(с1 — а) п(й) + д(1 п{в, - а)).

Положим

т

У = 1 М*) - и2(з))Чз.

Тогда

=-МО - а* оу1\'2 1 ТЛ_1/2 ат/ 1 . ,2

т 2а V а2 2 у \' З(Л-ст) = /1п(р/д) 1

дь 2о \\ о2 2

дЩй) {и, - и2? .. , —= п{д) —2 {6 - а),

(2.7)

дЩё - а) - у2)2 \r\n

Отсюда

Ж = ^2(pn(d)(d-a)-qn(d-a)d). (2.8)

Сравнение выражений (2.7) и (2.8) показывает, что функция w(p,q,t) действительно является решением уравнения (2.5).

Теорема доказана.

Полученный результат можно использовать для оценки европейских опционов на облигации. Напомним, что P(t, Т) — это цена в момент времени t бескупонной облигации, по которой в момент времени Т гарантированно выплачивается 1 руб. Допустим, что нам надо оценить европейский опцион (колл или пут) с ценой исполнения X и с датой истечения Ті на бескупонную облигацию с погашением в Т2, Ті < Т2.

Пусть случайные процессы, служащие математическими моделями для цен бескупонных облигаций, являются решениями стохастических дифференциальных уравнений

dP(t, Ті) = /ц(г) P{t, Ті) dt + u(t, Ті) P{t, Ті) dzt,

где zt — стандартное броуновское движение, і = 1,2. Зависимость v от времени — это принципиальное обстоятельство.

u{t, t) = 0. ; \r\n(2.9)

Рассмотрим, например, европейский опцион колл, т.е. право купить за X в момент времени Ті облигацию с погашением в Т2. Это равносильно праву в момент времени Ті обменять X облигаций с погашением в Ті на облигацию с погашением в Т2. Согласно доказанной теореме цена такого права в момент времени ? равна \r\n

с = P{t, Г2) N(d) - X P{t, Ту) N(d - о),

где

В

P(t,Tl) = e~r\\

где г = 7\\ — Иногда в этой формуле вместо цены облигации Р(Ь,Т2) используется форвардная цена облигации

F(t,TuT2) = e"P(t,T2),

обозначаемая ниже через К Тогда формула для цены евро-пейского опциона колл на бескупонную облигацию принимает вид

c = e~rr(FN{dl)-XN(d2)),

где

= d\\ — vy/т.

Аналогично может быть получена формула для цены ев-ропейского опциона пут, т.е. для цены права продать в момент времени Т\\ за X облигацию с погашением в момент времени Т2 :

р = е-ггрГЛГ(-й2) - (2.10)

Формулы (2.9) и (2.10) — это варианты знаменитых формул для цен европейских опционов, которые первоначально были получены в работах [12, 53, 9].

Приведенные выше результаты используются также для оценки кэплетов и флорлетов.

Напомним условия кэплета. Рассматриваются моменты времени 0 < ? < Т. Пусть т = Т -Ь. Два участника рынка в момент времени 0 заключили между собой следующий договор. В момент времени Т участник А платит г тах(Я—А", 0) руб. участнику Б, где Я = г3(Ь,Т) — простая процентная ставка, которая будет существовать на рынке в момент времени ? для заимствований на срок т, а X — оговоренная в договоре фиксированная ставка.

При заключении этого договора в момент времени 0 участник Б должен заплатить участнику Л некоторую сумму, которая называется ценой кэплета.

Мы покажем, что цена кэплета ровно в (1+тЛ") раз больше цены европейского опциона пут на бескупонную облигацию с номиналом 1 руб. и с погашением в момент времени Т. Дата истечения опциона пут Ь, цена исполнения (1 +гХ)-1.

Стоимость кэплета в момент времени Т равна

г тах( Д — X, 0). \r\n

Текущая стоимость кэплета в момент времени ^ равна

г

шах(Д — X, 0).

1 + гЯ

шах

т.е.

тах

(і + тХ 1+гЯ\'°)

— это стоимость опциона пут в момент времени Но раз в момент времени Ь цена кэплета совпадает с ценой (1 + тХ) опционов пут, то и в момент времени 0 эти цены должны совпадать. А задача оценки европейских опционов колл и пут на бескупонные облигации нами разобрана выше.

Напомним также условия флорлета. Два участника рынка в момент времени 0 заключили между собой следующий договор.

В момент времени Т участник А платит т тах(Х—Я, 0) руб. участнику Б, где Я = гв(Ь,Т), а X — оговоренная в договоре фиксированная ставка. При заключении этого договора в момент времени 0 участник Б должен заплатить участнику А некоторую сумму, которая называется ценой флорлета.

Имеем

т / п -.г (тК ~ тХ п . тах(Я — X, 0) = тах I — — ,01 =

1+тЯ у \' \' V 1+гД

О - ТТ7І\'0) - [гЬ -

Осталось заметить, что \r\n

Текущая стоимость флорлета в момент времени Ь равна

тЬк тах(*-л\'0) -{1+тХ) тах (г^л " ТТ7Х\'1») \'

Поэтому цена флорлета совпадает с ценой (1 + тХ) европейских опционов колл на бескупонную облигацию с номиналом 1 руб. и с погашением в момент времени Т. Дата истечения опциона колл і, цена исполнения (1 + тХ)~1. \r\n