1. Процентные свопы и другие финансовые инструменты. Задача оценки и хеджирования

Просто начисляемая ставка спот г3(Ь,Т) определяется чгрез формулу

1 + (Т-і)г3(і,Т)= 1

р&ту

Иногда величину г3(Ь,Т) называют также простой процентной ставкой.

При f ^ Ті < Тг просто начисляемая форвардная ставка /,Тх,7^) определяется через формулу

1 + {т2-т1)и^тът2) = Щ^).

О других способах определения процентных ставок бу- |гт сказано в заключительной части данного раздела. Там

же будут приведены некоторые другие необходимые для Последующего сведения. А пока введенных помитий достаточно, чтобы перейти к рассмотрению одного и;і базовых инструментов финансового рынка — процентных снопов.

Рассмотрим моменты времени 0 < < < 7\'. Пусть г *= = Т — і Два участника рынка А и Б н момент нремени О заключили между собой следующий договор.

В момент времени Т участник А платит Хт руб. участнику Б, где X — оговоренная в догоноре фиксированная ставка.

В тот же момент времени Т участник Б платит Ят руб. участнику А, где Я = га(1,Т) просто начисляемая ставка спот, та ставка, которая будет существовать на рынке в момент времени Ь при заимствовании на срок (Т — і).

Такой договор называется соглашением о форвардной ставке. Момент времени ? называется датой измерения плавающей ставки. Момент времени Т называется датой выплаты.

Оценка соглашений о форвардных ставках, как и оценка других финансовых инструментов, производится из соображений отсутствия арбитражных возможностей. То есть ищется та цена финансового инструмента, при которой не-возможно построить арбитражный портфель с использованием данного финансового инструмента и каких-то других финансовых инструментов.

Арбитражный портфель — это такой портфель, стоимость которого равна нулю в начальный момент времени, и существует такой более поздний момент времени, для которого стоимость данного портфеля положительна с вероятностью р > 0 и равна нулю с вероятностью (1 - р). При этом состав портфеля может неоднократно псресматриватІ- \r\nОказывается, можно однозначно пирсдолить размер платежа, который должен быть произведен и момент времени О между участниками рынка А и Б, чтобы ни один из них

не мог использовать соглашение о форнпрдной ставке для составления арбитражного портфеля1\'. Этот размер платежа называется текущей стоимостью финансового инструмента или ценой финансового инструмента, в данном случае, соглашения о форвардной ставке3.

Теорема. Чтобы ни один из участников рынка А и Б не мог использовать соглашение о форвардной ставке для совершения арбитражной операции, при заключении этого соглашения в момент времени 0 участник А должен заплатить участнику Б

тР(0,Т)(М0,1,Т)-Х) руб.

2Делая это утверждение, мы подразумеваем выполнение условий идеального рынка, т.е. бесконечную делимость и абсолютную ликвидность всех активов, отсутствие налогов и трансакционных издержек, доступность всей информации о рынке для всех участников, выполнение всеми участниками рынка всех своих обязательств, неограниченные возможности заимствования по существующим процентным ставкам, одинаковым для всех участников. Условия идеального рынка считаются выполненными при рассмотрении всех последующих задач. Некоторые их этих условий, впрочем, могут быть ослаблены, рассчитанные цены финансовых инструментов при этом изменятся, но в данной книге такие "вязкие" задачи не рассматриваются.

3Отметим, что на практике при заключении соглашения о форвардной ставке никаких платежей не производится, и приводимая ниже теорема используется для определения фиксированной ставки X именно такой, чтобы размер платежа был нулевым, т.е. фиксированная ставка X должна быть равна форвардной ставке. Поэтому данный финансовый инструмент и называется соглашением о форвардной ставке.

Замечание. Если данная величина отрицательна, это <мЦ»чает, что участник А не производит, а принимает со-ответствующий платеж.

|Г Доказательство. Через 2 обозначим неизвестный платеж участника А участнику Б в момент времени 0. Предположим сначала, что

г <тР(о,т)(/а(о,і,т)-х).

Покажем, что в этом случае участник А, заключивший со-глашение о форвардной ставке, имеет возможность составить арбитражный портфель. Говоря ниже об облигациях, мы будем иметь в виду безрисковые бескупонные облигации, по которым в момент погашения выплачивается 1 руб.

1 Пусть в момент времени 0 участник А купил (1 + Хг) Облигаций с погашением в момент времени Т и выпустил од- ^у облигацию с погашением в момент времени В момент фемени і стоимость облигации с погашением в момент вре-мени Т есть

; 1 + Ят\'

где Я = г,(«,Т).

і Чтобы в момент времени Ї выполнить свои обязательства по проданной облигации, участник А должен получить

І

мму равную 1 руб. Для этого он в момент времени і вы- скает (то есть продает) (1 + Яг) облигаций с погашением ^момент времени Т.

| В табл. 1.1 показано то количество рублей, которое либо флучает, либо тратит участник А в каждый момент вре- ¦бни. Знак "+" отвечает получению, знак "—" — выплате Анег участником А.

Таблица 1.1. Платежи по соглашению о форвардной ставке и по хеджирующему портфелю облигаций в различные моменты времени\r\n Момент Момент Момент\r\n времени 0 времени < времени Т\r\n1. Выплата денег -Л\'г\r\nпо соглашению \r\nо форвардной ставке \r\n2. Получение денег Ят\r\nпо соглашению \r\nо форвардной ставке \r\n3. Платеж участнику Б -г \r\nпри заключении соглаше \r\nния о форвардной ставке \r\n4. Покупка (1+Хт) -(1 + Хт)- • 1 + Хт\r\nоблигаций с погашением ¦Р(0,Т) \r\nв момент времени Т \r\n5. Продажа одной РМ -1 \r\nоблигации с погашением \r\nв момент времени ? \r\n6.

Стоимость данного портфеля равна 0 в моменты вре-мени ? и Т. В момент времени 0 участником А получена сумма

-X т Р(0, Т) + Р{О, <) - Р(0, Т) - Я =

= гР(0- ху г

= тР(0,Т)(/.(О,«,Л - .V) 7. •» \r\nТаким образом, участник А получает положительную сумму в момент времени 0 и закрывает позиции в моменты времени ? и Т с нулевыми суммарными платежами. Это арбитражная возможность. Поэтому предположение

г <тР(о,т) (/до ,г,т)-Х)

должно быть отброшено. Аналогично отбрасывается предположение

г>тР(о,т)(Мо,г,т)-Х).

И этом случае арбитражный портфель может составить участник Б. Поэтому, предполагая, что у каждого финансо- ного инструмента должна существовать текущая стоимость, мы получаем, что единственный допустимый размер плате- жа

г = тР(о,т) (/долг)-*).

Теорема доказана.

Процентный своп — это набор соглашений о форвардных ставках. Рассмотрим моменты времени и Гь... ,Т„, где 0 < и < Т{ при любом г. Пусть ъ = Ц - и. Два участника рынка А и Б в момент времени 0 заключили между собой следующий договор.

В каждый момент времени г = 1,... , п, участник А платит Л^ Хо ъ руб. участнику Б \' Здесь Л^ — услов-ная основная сумма для &-го платежа. Хо — оговоренная в; договоре фиксированная ставка. \'-\'\'

В каждый момент времени Т, у^У,- ¦ • , п, участник, П платит ЩЯгП руб. участнику А ,1гже(

Для любого момента времени ^ДтаЦого, что 0 ^ ? ^ пап(<1,... , ?п), текущая стоимость Эсекпл&Еежей-участника^ .1 составляет 4

п

х° ^2NiTiP(t,Ti).

г=1

В силу доказанной теоремы текущая стоимость всех платежей участника Б составляет

п

^NifsfatuTjTiPfrTi). i=1

Поэтому текущая стоимость свопа в момент времени t для участника А, осуществляющего фиксированные платежи, составляет

п п

-1>Х„ Ti P(t, Ti) + f\'(t, ti, Ti) 1* P(t, Ti). i=1 i=l

Задача оценки процентного свопа решена.

Стратегия хеджирования процентного свопа портфеле^ из бескупонных облигаций ясна из доказательства приведенной теоремы.

Для полноты изложения приведем еще одно определение, хотя в дальнейшем оно и не будет нами использоваться. Равновесная ставка свопа Xt для момента времени t опре-деляется, как такая ставка, при которой текущая стоимость в момент времени t всех платежей участника А совпадает с текущей стоимостью в момент времени t всех платежей участника Б: \r\n^ Ni fa(t, U, Ti) Ti P(t, Ti)

Y^NinP^Ti) i=l

При этом текущая стоимость свопа в момент времени t для участника А может быть представлена в виде

п

(Xt-Xo)Y/NiriP(t,Ti). t=l

К сожалению или нет, но далеко не для всех существующих финансовых инструментов задача определения их текущей стоимости и стратегии хеджирования решается так Просто, как для процентного свопа. Часто для решения этих задач приходится применять значительно более сложный математический аппарат, чем описанный выше. Это не означает, что сами размеры и сроки выплат для этих финансовых инструментов определяются по каким-то очень СЛОЖНЫМ формулам.

Мы рассмотрим несколько примеров таких финансовых Инструментов, но сначала изобразим схематически платежи между участниками рынка А и Б по соглашению о форвардной ставке (см. рис. 1.1). Через N обозначена условная Основная сумма, через (FRA)0 — размер платежа по согла-шению о форвардной ставке в момент времени 0 участни- являющимся плательщиком фиксированной ставки в Цемент времени Т.

N{T - t)- •(X-r.(t,T))

(Arrears FRA) 0

Моменты времени

0

(FRA) о = = N{T-t)P{ 0,Г)-

Рис. 1.1. Платежи по соглашению о форвардной ставке в моменты времени 0 иТ

Моменты времени t

N(T-t)- ¦(X-rs(t,T))

Рис. 1.2. Платежи по отсроченному соглашению о форвардной ставке в моменты времени Out

(Caplet) о

Рассмотрим финансовый инструмент, называемый отсроченным соглашением о форвардной ставке.

Моменты времени 0 Т

N(T - ty •max((rs(t, ТУ

Рис. 1.3. Платежи по кэплету в моменты времени 0 иТ

Финансовый инструмент, называемый кэплет, отлича- гтся от соглашения о форвардной ставке тем, что размер платежа в момент времени Т составляет

N(T -1) max((rs(t, Т) - X), 0).

При принятых нами обозначениях удобнее считать, что этот платеж производит участник Б, являющийся плательщиком плавающей ставки. Схематически платежи показаны на рис. 1.3. Через (Сар1еЬ)о обозначен размер платежа по кэ- плету в момент времени 0.

В качестве еще одного примера рассмотрим флорлет, по которому платеж в момент времени Т составляет

щт-г) тах((Х-гД*,Т)),0).

(ПоогЫ) о

Схематически платежи по данному финансовому инструменту показаны на рис. 1.4. Через {ПоогШ)о обозначен размер платежа по флорлету в момент времени 0.

Моменты времени 0 Т

ЛГ(Г - *)• • шах((Х— -г,(*,Т)),0)

Рис. 1.4. Платежи по флорлету в моменты времени 0 и Т

Нетрудно увидеть, что должно выполняться соотношение

{СарЫ)о - (ПоогШ)о = (1.1)

Таблица 1.2. Платежи по соглашению о форвардной ставне и по хеджирующему портфелю, состоящему из выпущенного щяплета и купленного флорлета, в моменты времени 0 иТ\r\n Момент времени 0 Момент времени Т\r\n при X ^ Я при X < Я\r\n1. Выплата денег по соглашению

о форвардной ставке

Получение денег по соглашению

о форвардной ставке

Платеж при заклю-чении соглашения о форвардной ставке

Продажа кэплета ~(П1А)о (СарШ)0 -Хт Вт

0 -Хт Вт

-(Я -Х)т\r\n5. Покупка флорлета -(Поогіеі) о (Х- Я)т 0\r\nСумма 0 0\r\n

Нарушение соотношения (1.1) означает наличие арбитражной возможности. Действительно, рассмотрим портфель участника, являющегося плательщиком фиксированной ставки по соглашению о форвардной ставке, выпустившего кэплет и купившего флорлет. Пусть, как и раньше, О < * < Т, т = Т - Я = г3(г,Т), N = 1. В табл. 1.2 показано то количество рублей, которое либо получает, либо тратит участник в каждый момент времени. Знак "+" отвечает получению, знак "—" — выплате денег участником.

То есть при любом из возможных в момент времени Т состояний экономики, X ^ R или X < R, суммарные платежи по данному портфелю в момент времени Т равны 0. Поэтому должны быть равны 0 и суммарные платежи в момент времени 0. Таким образом, доказано, что между ценами данных финансовых инструментов должно выполняться приведенное выше соотношение.

Отсроченный своп — это набор отсроченных соглашений о форвардных ставках. Кэп — это набор кэплетов. Флор — это набор флорлетов. Цена отсроченного свопа равна сумме цен составляющих его финансовых инструментов, то есть отсроченных соглашений о форвардных ставках. Так же цена кэпа равна сумме цен составляющих его кэплетов, цена флора равна сумме цен составляющих его флорлетов. Упомянем еще об одном процентном инструменте. Коллар — это купленный кэп и проданный флор с одними и теми же датами измерения плавающей процентной ставки и датами выплаты, но с разными фиксированными процентными ставками.

Так же, как цена соглашения о форвардной ставке (FRA)0, из соображений отсутствия арбитражных возможностей могут быть рассчитаны цены (Arrears FRA)0, (Caplet)Q, (Floorlet)0. Но это значительно более трудная и тонкая работа. Трудности возникают, во многом, по следующей причине. Если зафиксировать какое-нибудь Т > 0 и рассмотреть цены облигаций P(t, T + t), отвечающие различным моментам времени t, то эти цены не будут одина-ковыми (и, следовательно, не будут одинаковыми процентные ставки rs(t,T + t)), и размах колебаний цен P(t,T + t) при изменении t существенно влияет на цены многих процентных деривативов, в том числе отсроченных соглашений

форвардных ставках, кэплетов и флорлетов (больше того, следует учитывать размахи колебаний при различных Т, но ми \'.1Том мы пока не останавливаемся). То, что цены соглашений о форвардных ставках (FRA)о не зависят от размахов .них колебаний, позволяет провести оценку данных соглашений, используя только методы элементарной математики. Дли оценки других процентных деривативов необходимо моделировать динамику цен бескупонных облигаций или тех или иных ставок, используя аппарат высшей математики.

Для моделирования динамики процентных ставок и цен облигаций используются случайные процессы, как с непрерывным, так и с дискретным временем. Такой случайный процесс называют стохастической моделью для процентной 1чавки или для цены. В достаточном для целей настоящей книги объеме теория случайных процессов изложена, например, в учебнике [69]4.

Из случайных процессов с непрерывным временем мы будем рассматривать только случайные процессы r)(t), являющиеся решениями стохастических дифференциальных уриннений

drj = т(т), t)dt + s(r/, t)dzt,

до zt — стандартное броуновское движение. Несколько раз

\'Это не следует рассматривать как позицию автора, что другие, Полое продвинутые результаты теории случайных процессов в финан- гпиых расчетах не нужны. Если бы в данной книге рассматривались иплютные инструменты, то, возможно, изложение не удалось бы noil роить без использования, например, теоремы Гирсанова о существо- шшии такой замены мер, после которой рассматриваемый случайный процесс становится мартингалом. \r\nбудет использована формула Ито, являющаяся стохастическим аналогом формулы дифференцирования сложной функции.

Приведем многомерную формулу Ито, но ограничимся рассмотрением случая двух стохастических дифференциальных уравнений

С?77х = ТПхвЛ, + 51 б?^,

С?772 = га2<& + з2с1г1

с одним и тем же стандартным броуновским движением Тогда при выполнении определенных условий для коэффициентов уравнений и числовой функции Р{у\\,у2,1) случайный процесс Г(т]1,т]2^) является решением стохастического дифференциального уравнения

<^(771, 772,*) =

(эр 1ЛЛ \\ ,

(см., например, [44, 69]).

При проведении расчетов требуется не только выбрать форму случайных процессов, используемых в качестве математических моделей для тех или иных экономических показателей, но и определить конкретные числовые значения для всех необходимых параметров данной стохастической модели. Для этого следует использовать соответствующие статистические данные. Методы, применяемые для решения \r\n

ачи, далеко не прямолинейны. Эти методы обсуж- МЮфя^например, в [58]. Нами в настоящей книге рассмат- >ТвЯ только задачи, возникающие после того, как все ЫЯЫе числовые значения для параметров случайных ПрОШССОВ определены.

«СЗЙОщя из выбранных стохастических моделей, строится Мв^оД оценки деривативов, например тот или иной вари- ¦ИТ Метода решеток. Если метод оценки предназначен для вОвТ§ЮЧНо широкого класса процентных деривативов, то ИИТфесный тест — попытаться оценить этим методом бес- иупя|№ук> облигацию с номиналом 1 руб. Желательно, чтобы ДДРЛВбого момента времени Т > О цена в момент времени О облигации с погашением в момент времени Т, рассчитанная МИНЫМ методом, совпадала с Р(0,Т). Это свойство в чем- Т# аналогично свойству консервативности, если сравнивать М0ГОДЫ оценки деривативов с алгоритмами вычислительной фВВИКи. Первые методы оценки процентных деривативов, в ТШ Мисле и такие, признаваемые сегодня классическими, ЯЯН метод Васичека [65] и метод Кокса — Ингерсолла — РОфСа [23], данным свойством не обладают. Метод оценки

не приводим отдельное описание метода Хо — Ли. Алгоритми- •тот метод совпадает с методом Хита — Джерроу — Мортона то из частных случаев последнего (постоянная волатильность ной ставки), хотя исходные посылки у метода Хо — Ли и ме- Хита — Джерроу — Мортона разные. Те же исходные посылки, В методе Хо — Ли, приняты, например, в методе Халла — Уайта, Мим добавлены серьезные усовершенствования.

а

1Вативов, обладающий данным свойством, был предло- \'•В работе Хо и Ли [38]. Затем возник еще ряд методов |И деривативов, обладающих данным свойством: метод 1В — Уайта [39 — 42], метод Блэка — Дермана — Тоя метод Хита — Джерроу — Мортона [35 — 37]5. \r\n

Выше были определены просто начисляемая ставка спот rs(t,T) и просто начисляемая форвардная ставка fe(t,TuT2). Оставшаяся часть этого раздела посвящена тому, чтобы ввести еще некоторые понятия и соотношения, используемые при работе с облигациями.

При любом At > 0 и t < Т доходность бескупонной облигации y(t, Т), называемая также ставкой спот, определяется через формулу

Т) = (1 + Діу(*,Т))<г-0/Ді- (L2)

Величина y(t, Т), конечно, зависит от At, хотя мы и не ввели эту зависимость явно в обозначение. Очевидно, что при At — T — t

y(t,T) = rs(t,T).

Непрерывно начисляемая ставка спот rc(t,T) определяется через формулу

P(t,T) = exP(-rc(t,T)(T-t)). (1.3)

Можно показать, что при любых фиксированных t и Т величина y(t,T), определенная по формуле (1.2), стремится к rc(t,T) при At 0.

При фиксированном t набор ставок y(t,T) при всех T > t (при некотором выбранном At ^ 0) называется срочной структурой процентной ставки в момент времени t.

При t ^ Т\\ < Т2 непрерывно начисляемая форвардная ставка fc(t,ТХ,Т2) определяется через формулу

ехр((Т2-Т1)Мі,Т1,Т2)) = ^Щ. \r\n

Отсюда

f (f т т \\ ЧР&Т^-ЩР&Тг))

jc{t, ь J 2J = тр—™ •

12 - -tl

(1.4)

Мгновенная форвардная ставка f(t,T) определяется как

f(t,T)= l\\mfc(t, Г, T + At).

Отсюда

/(t,T) = _ нш HP(t,T + At))-ln(P{t,T)) __ 4 Х \' \' ДМ-0 At

ды (P(t,T)) дТ

Покажем, что

т

P(t,T) = exр(- J f(t,s)ds). t

Действительно,

jj/(t, s)ds = -1 = In(P(t, t)) - In(P(t, T)).

P(t, t) = 1 и In(P(t,t)) = 0. Отсюда и получается требу- выражение для P(t,T). Мгновенная краткосрочная ставка r(t) определяется

r(t) = limrc(t,T). \r\n

Из формулы (1.3) следует, что

1п(Р(«,Г))

rc(t,T) =

T-t

Сравнивая это выражение с формулой (1.4), видим, что r{t) = f(t,t).

При t ^ Т\\ < определим также форвардную цену бес-

P(t Т)

купонной облигации F(t,Ti,T2) = ) \' 2 . При рассмотре-

нии опционов на облигации цены исполнения удобно сравнивать с форвардной ценой облигации.

До сих пор мы неявно предполагали, что рассматривается непрерывно работающая экономика, когда t может быть любым действительным числом, и цена бескупонной облигации P(t,T) определена при любом действительном Т ^ t.

Наряду с непрерывно работающей экономикой в качестве модели часто используется дискретно работающая экономика, когда выбрано некоторое число г > 0, и в дальнейшем рассматриваются только моменты времени кт, где к — целое число.

В дискретно работающей экономике краткосрочная ставка r(t,t + r) определяется как

r(t,t + r) = rs(t,t +Т).

Определенные выше мгновенная краткосрочная ставка и мгновенная форвардная ставка относятся, конечно, только к непрерывно работающей экономике.

В(0) = 1,

В дискретно работающей экономике счет денежного рынка определяется из соотношений

B(t + т) = B(t) (1 + т r(t, t + т)). \r\n

В МВрерывно работающей экономике счет финансового определяется как

с

В(і) = ехр( J г(в)(1з).

В дискретно работающей экономике величина В{ї) — размер в момент времени і вклада, равного 1 руб. в мо- т времени 0, на который через каждый промежуток вре- т начислялись проценты в соответствии с существо- ВЙ в тот момент краткосрочной ставкой, и полученные проценты каждый раз вновь вкладывались на тех же условиях. В непрерывно работающей экономике В{і) имеет тот же СМЫСЛ, но только проценты начисляются через бесконечно ММре промежутки времени. Активом, стоимость которого равтет, как счет денежного рынка, может быть банковский

* °Случайные процессы, служащие стохастическими моде- МЩи для процентных ставок или для цен облигаций, мы бу- щШ обозначать теми же буквами, что и сами ставки или

заключение этого раздела объясним использование в |МЙЮй книге терминов "актив", "финансовый инструмент", %(риватив". Не пытаясь установить точной границы меж- [|ВТИМИ понятиями, мы будем использовать термин "ак- В более широком значении, чем термин "финансовый румент", а последний — в более широком значении, чем Ын "дериватив". Примером актива, который не являет- >ивативом, может служить облигация, примером дери- 1Ва — опцион на облигацию. \r\n