7.6. Корреляция опционов call и put в комбинации «straddle»
Как установлено в предыдущих разделах этой главы, текущиая доходность опциона call связана с тем же для подлежащего актива соотношением:
[ a, ST < xc - опцион не в деньгах,
RCT = In , с ^ , (7.73)
lpc + уcrT, ST > xc - опцион в деньгах
где
а = -Tве = So\'XT" Zc,Yc = ^ (7.74)
T z T z„
То же самое для опциона put:
f a, ST > xp - опцион не в деньгах,
RPT = L с! , (7.75)
lpp + уprT, ST < xp - опцион в деньгах
где
вp = Xp " SL" Zp,Yp ="^ (7.76)
Z T 1 z
pp
Корреляция двух опционов:
I RCT — RCT RPT — RPT (n nn\\
О c
P = M <—T x—T - V, (7.77)
a p \r\n
где RCT, RPT - средние значения доходностей call и put опционов соответственно.
Раскроем (7.77) в интегральной форме: \r\n
\r\n0
J(a-RCT)(?p + уpfT -RPT)^r(rT)drT + J(a-RPT)(?c + YЛ -RCx)^r(rT)drT
1/T ro
= TT"{(a-R^[(?p -RPT)K + Yp§]+ (a-RPT)[(?^ -RCT)(1-K) + Y-
r
1
Р =
о c о p
0 c 0 p
(7.78) \r\n
\r\nгде фг(гт) - плотность распределения доходности подлежащего актива,
= IcZ^o _ (7.79)
0 S0T v 7
пограничная доходность подлежащего актива, выше которой call опцион оказывается в деньгах,
ro
? = J г^тЖ, (7.80)
-1/T
а К - вероятность того, что опцион call окажется не в деньгах по истечении времени T. Пример 7.9
Рассмотрим комбинацию «стеллаж» из двух опционов (put и call) ценой по 10$ каждый и страйком xc= xp= 100$. При этом подлежащий актив имеет стартовую цену S0=100$ с ожидаемой доходностью rT = 0 и СКО ar = 40% годовых. Период инвестиций T =0.5 года. Определить корреляцию опционов в комбинации на момент T.
Решение
Согласно расчетам, K=0.5, a=pc=pp= -2, yc= -yp=10, RCT =RPT =-0.404, ас = ap = 2.335.
Окончательно, p=-0.467 - то есть доходность call и put опционов в стеллаже оказывается отрицательной. Этого и следовало ожидать, так как опцион call коррелирован с подлежащим активом положительно, а опцион put - отрицательно, как мы теперь знаем.Если доходность актива вырастает до rT = 30% годовых , а СКО при этом падает до 10%, то ясно, что корреляция опционов слабеет. Тогда K=0.002, RCT = 1.0, ас = 0.998, RPT =-2.0, ap = 0.014, и p=-0.077.
Пример 7.10
27 ноября 2000 года состояние рынка опционов на акции IBM представлено на сайте [7.8]. Оценим стохастическую связь опционов в стеллаже на конец апреля 2001 года (T=5/6) при среднеожидаемой доходности этого актива 20% годовых и СКО 30% годовых (по состоянию на апрель 2001 года) . Стартовая цена акции - 100$.
Решение
Данные по коэффициенту корреляции сведены в таблицу 7.6
Таблица 7.6\r\nxc xp zc ZP rcomb ^comb P\r\n80 25.125 3.125 0.015 1.042 -0.183\r\n85 22.375 4.125 -0.259 1.079 -0.254\r\n90 17.750 5.750 -0.446 1.146 -0.325\r\n95 14.750 7.000 -0.726 1.125 -0.388\r\n100 11.750 9.375 -1.024 1.009 -0.435\r\n105 9.875 12.125 -1.273 0.85 -0.461\r\n110 7.625 15.000 -1.332 0.806 -0.465\r\n115 6.5 18.000 -1.287 0.829 -0.446\r\n120 5.125 22.625 -1.186 0.845 -0.406\r\n
Из таблицы 7.6 видно, что с ростом страйка стеллажа падает доходность этой комбинации, одновременно с ростом модуля отрицательной корреляции между опционами. Это и понятно, так как, увеличивая страйк на ожидаемо растущем активе, мы снижаем эффективность вложений в call опцион. Мы бы точно также снижали доходность комбинации, если бы на ожидаемо падающем активе двигали страйк влево.
Но если при такой же доходности актива мы увеличиваем оценку СКО до 60% годовых, то в этом случае картина изменится. Она представлена таблицей 7.7.
Таблица 7.7\r\nxc xp zc ZP rcomb ^comb P\r\n80 25.125 3.125 0.279 1.767 -0.490\r\n85 22.375 4.125 0.140 1.770 -0.461\r\n90 17.750 5.750 0.161 1.860 -0.443\r\n95 14.750 7.000 0.106 1.868 -0.451\r\n100 11.750 9.375 -0.009 1.801 -0.459\r\n105 9.875 12.125 -0.204 1.658 -0.466\r\n110 7.625 15.000 -0.279 1.601 -0.472\r\n115 6.5 18.000 -0.377 1.526 -0.475\r\n120 5.125 22.625 -0.49 1.43 -0.491\r\n
В этом случае динамика корреляции носит волнообразный характер: рост, а затем падение. Также волнообразно изменяется и СКО комбинации. \r\n
То есть, рассчитывая на серьезный уровень волатильности актива, мы вправе покрывать его стеллажом, полагая, что рывок доходности актива в любую сторону вызовет доход от использования комбинации в связи с закрытием позиции по любому из опционов комбинации. Покрываясь «на две стороны», мы фактически используем эффект существенной отрицательной корреляции опционов стеллажа.
Разумеется, если мы ждем роста актива, то выбираем комбинацию с низкими страйками, а если падения актива - то с высокими страйками. Если же волатильность актива ожидается низкой, то применять стеллаж нецелесообразно: выигрывает здесь тот, кто уступает комбинацию («writer»).