7.1.3. Вероятностная модель опциона put

Надо сказать, что приобретение опциона put без покрытия подлежащим активом не является традиционной стратегий. Классический инвестор все же психологически ориентируется на курсовой рост приобретаемых активов. С этой точки зрения стратегия классического инвестора - это стратегия «быка». А покупка put опциона без покрытия - эта «медвежья» игра.

Обычная логика использования опциона put - это логика отсечения убытков с фиксацией нижнего предела доходности, который не зависит от того, насколько глубоко провалился по цене подлежащий актив. Но для нас не имеет значения, какой стратегии придерживается инвестор. Мы понимаем, что опцион put является потенциальным средством извлечения доходов, и нам эту доходность хотелось бы вероятностно описать.

Проведем рассуждения по аналогии с предыдущим разделом работы. Случайная величина дохода по опциону связана со случайной величиной финальной цены подлежащего актива соотношением [7.2]

IT = max(xp-ST, 0) - z (7.22)

А текущая доходность по опциону put определяется формулой \r\n

\r\nI

T

RT —

ZP x T

(7.23) \r\n

\r\nИспользуем все соображения о получении плотностей распределения, выработанные в предыдущем разделе работы. В нашем случае, исходя из (22) \r\n

\r\nне определена, IT < -zp многозначна, IT — -zp

xp - IT - zp, -zp < IT < xp - V

(7.24)

St —

не определена, IT > xp - zp \r\n

\r\n(7.25)

dST/dIT| = 1, IT > -zp. \r\nИнтересно отметить, что в случае опциона call цена подлежащего актива и доход по опциону связаны возрастающей зависимостью, а в нашем случае - убывающей. То есть чем хуже чувствует себя актив, тем лучше держателю непокрытого опциона (если, конечно, инвестор заодно не владеет и самим подлежащим активом).

Множитель K при дельта-функции в точке IT = -zp есть

w

к =

jVs (v)dv - (7.26)

X

p

вероятность события ST > xp. Опцион оказывается не в деньгах, что есть условие отказа от исполнения put опциона и прямые убытки в форме затрат на приобретение этого опциона.

Итоговое выражение для плотности распределения ф1(у) случайной величины дохода по опциону put имеет вид \r\n

\r\n0 У < -zp к х 8 (-y - zp), y = -zp

(7.27)

9 і(у):

9s(xp -У-zp), -zp < У < xp -zp\' 0,У ^ xp -zp \r\n

\r\nПлотность вида (7.27) - это усеченный с двух сторон нормальный закон плюс дельта-функция на границе усечения. С этой точки зрения качественный вид зависимости (7.27) повторяет вид того же для опциона call в силу симметрии нормального распределения. При произвольном распределении финальной цены результаты были бы другими.

Теперь нетрудно перейти к распределению доходности 9R(v), пользуясь (7.22), (7.23) и (7.27): \r\n

\r\n0, v < -1/T K х 8(-v - T), v - -1/T

xp - zp

zpT

(7.28)

9r(v) ^

ZPT 9S(-v х zp х T + xp - zp), -1/T < v < \r\n

\r\n0, v > xP zP

zpT

Разумеется, отмечаем бимодальность (7.27) и (7.28).

Поэтому риск инвестиций в опцион put может быть определен по формуле ©Недосекин А. О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций \r\n4%-0.04 i

Qt = \\ MV)DV = K + Fr(0.04)-Fr(-t-), (7.29) J T

где

x

FR (x) = J ( R(v)dv, (7.30)

—w

а 9R(v) определяется по (7.28).

Среднеожидаемая доходность вложений в опцион и СКО определяются по (7.17) и (7.18) соответственно.

(7.31)

Рассмотрим асимптотические следствия по аналогии с call опционом. Для этого установим связь между доходностями put опциона и подлежащего актива, с учетом (7.22) и (7.23):

xp - ST 1 xp - S0(1 + rTT) - zp 1

RT - maxH—^,0) - T = max( p ^ p ,--) =

ZPT T zpT T

(7.32)

f a, ST > xp - опцион не в деньгах, 1 в + yrT, ST < xp - опцион в деньгах

где

a = -Р = Xp S° Zp , Y = ~S T ZpT Zp

Видим, что доходность опциона put и подлежащего актива связаны кусочно- линейным соотношением, причем на участке прямой пропорциональности это происходит с коэффициентом у, который собственно, и характеризует фактор финансового рычага (левериджа).Участок прямой пропорциональности соответствует той ситуации, когда опцион оказывается в деньгах. Поэтому, с приближением вероятности K вида (7.26) к нулю, выполняются следующие соотношения

limK^0RT = Р + YrT, (7 33)

limK^0 ^R = Y^ R

То есть между соответствующими параметрами подлежащего актива на участке, когда опцион оказывается в деньгах, возникает линейная связь посредством левериджа. С ростом средней доходности актива средняя доходность put опциона падает, а с ростом волатильности актива волатильность опциона также растет.