7.2.1. Вероятностная модель сборки «опцион put + подлежащий актив»

Назовем сборкой портфельную комбинацию из подлежащего актива и put опциона на этот актив. Как мы уже указывали, докупка put опциона по справедливой цене деформирует исходное ценовое распределение подлежащего актива, устанавливая нижнюю границу доходности сборки, по обыкновению, в области отрицательных значений.

Специфика момента состоит в том, что инвестор, докупая put опцион к подлежащему активу, тем самым снижает доходность своих вложений в случае достижения положительных значений доходности подлежащего актива, но при этом отсекает убытки. В результате использование put опционов позволяет снизить волатильность вложений. А снижение волатильности дает сборке возможность поучаствовать в формировании эффективной границы портфельного облака.

Однако эффект от внедрения опционов может быть самым различным, в том числе и противоположным ожидаемому. Поэтому надо исследовать вероятностную природу сборки и строить соответствующие аналитические формы.

Нетрудно заметить, что случайная величина дохода по сборке связана со случайной величиной финальной цены подлежащего актива соотношением

It = max(xpA)-zp -S0. (7.34)

В соотношении (7.34) вычитаемые - это прямые затраты на приобретение сборки, а то, откуда идет вычитание, - это предельная финальная цена сборки, которая в случае попадания опциона «в деньги» равна цене его исполнения.

Текущая доходность по сборке определяется обычным образом

RT Ь . (7.35)

T (Sc + zp) X T v \'

Найдем функцию, обратную к (34). Это \r\nне определена, IT < xp - S0 - zp многозначна, IT — xp - S0 - zp

(7.36)

St —

S0 + IT + zp, IT > xp -S0 - zp \r\n

\r\ndST/dIT| = 1, IT > xp - S0 -zp.

Множитель K при дельта-функции в точке IT = xp - S0 -zp есть

p

(7.38)

K = J 9 S(v)dv-

вероятность события Бт < хр, когда опцион оказывается в деньгах, и его применяют, чтобы отсечь убытки.

Итоговое выражение для плотности распределения ф1(у) случайной величины дохода по сборке имеет вид \r\n

\r\n0 У < xp-S0 - zp K X 5 (0), У — xp-S0 - zp .

(7.39)

9 :(У) —

9s(S0 + У + zp), У > xp -S0 - zp \r\n

\r\nРаспределение доходности 9R(v) \r\n

\r\n0, V < V0 K x 8 (0), V = V0 .
(7.40)
9R (V) =
(S0 + zP)T 9S(V (S0 + zP)T + S0 + zP), v > v0 \r\n

\r\nгде \r\n

\r\n(7.41)

v0 =

xp -S0 - zp (S0 + zp) x T \r\n

\r\nграничный нижний уровень доходности сборки «put + актив», который известен заранее при ее покупке.

(7.42)

Риск инвестиций в сборку может быть определен по формуле

4%-0.04

Qt = J Р R(V)DV = Fr(0.04) - FrK),

где

FR(x) = J p R(v)dv, (7.43)

—w

а 9R(v) определяется по (7.34) - (7.35).

Среднеожидаемая доходность вложений в опцион и СКО определяются по (7.17) и (7.18) соответственно.