7.3.5. Тип Buy Butterfly («бабочка»)

Чтобы построить комбинацию «бабочка», инвестор одновременно делает следующее:

приобретает опцион call со страйком xcl («левое крыло»);

выписывает (уступает) два call опциона со страйком xc2 > xc1 («тело»);

приобретает опцион call со страйком xc3 > xc2 > х^правое крыло»).

При этом выполняется хс2 = (хС1 + хс3)/2, т.е. «тело» находится строго посередине между двумя «крыльями».

Если инвестор угадал, и финальная цена подлежащего актива оказалась в районе второго страйка, то доход от инвестирования в «бабочку» будет максимальным и равным межстрайковой разнице за вычетом затрат на построение комбинации. Это подтверждается соотношением для дохода [7.2] \r\n

\r\n- ZЕ,0 < St < Хс1

zъ + St — Хс1,Хс1 < ST < Хс2

ZS + Хс3 — ST , Хс2 < ST < Хс3

(7.52)

It =

— ZS ,ST > Хс3 \r\n

\r\nгде = 7с1 + 7с3 - 2хс2, а 7с1 > 7с2 > 7с3 - покупные цены опционов.

Обозначим две вероятности: К1- того, что все три опциона не в деньгах, К2- того, что они в деньгах. Профиль функции, обратной к (52), подсказывает нам, по аналогии со всем предыдущим изложением, следующий вид плотности распределения дохода по комбинации: \r\n(7.53)

VI (У) = <

0, У < -Z2 (K + K2)S(0), У = -Z VS (У + ZL + xc1) + VS (-У - ZL + xc3).

-ZL < У ^ xc2 - xc1 - Z

0 У > xc2 - xc1 - Z \r\n

\r\nЗаметим, что все приведенные в данном разделе опционные комбинации имеют ключевое слово "buy". Это означает, что приобретая эти комбинации, инвестор занимает длинную позицию, а их продавец является райтером, и для него эти комбинации описываются ключевым словом "sell".

Мы подошли к оценке корреляции опциона put и подлежащего актива. По общему правилу [7.], она определяется так:

(7.54)

Запишем (7.54) в развернутом виде, имея ввиду (7.31) и (7.32):

(7.55)

Чтобы раскрыть (7.55), построим гипотетическую биномиальную схему испытаний, двумя возможными исходами которой будут:

попадание опциона мимо денег с вероятностью К = Рг{Бт>хр};

попадание опциона в деньги с вероятностью (1-К).

Пусть pi - значение доходности подлежащего актива, полученное в ходе 1-го испытания в серии из N испытаний. При большом числе N число испытаний с первым исходом составляет М « КК, а со вторым - №М « (1-К)К \r\n

Тогда оценка (7.55) по биномиальной схеме с N испытаниями составляет:

р « а ~ RT у Р. - ГТ +1 У Р. - х ? + rpi - RT (7 56)

величины. Также M{(rT-rT )2 }= ar2 - по определению, дисперсия случайной величины rT.

G R N M G r N ,.=1 G r G R

Заметим, что М((гт-гт)/аг }= 0 как матожидание нормированной случайной ины. Также М{(гт-гт )2 }= аг2 - по определе! С переводе на язык оценок из (7.55) это означает

»m N~ N Z ^ = 0.

- - (7.57)

\'im n_ N Z * ) = 1 - K

N 1=1 G r G r

Ng r g r i=1

Производя предельный переход при N ^ да в (7.56) с учетом (7.57), имеем

1 N -M

Р = \'imN^ N Z (Рi - rT )(УrT + ? - RT + У(Рi - rT )) =

G G 2 (7.58)

N -M

= \'im N ^rn N-— Z (p i - rT) = (1 - K)y

Ng R G r i=1 G R

Видим, что, поскольку у<0, то корреляция опциона put и подлежащего актива является отрицательной. Это означает, что с введением опциона put в дополнение к подлежащему активу снижается доходность этой сборки одновременно со снижением ее риска.

Замечание. Идея применения биномиальной схемы испытаний принадлежит к.ф.- м.н.

Рассмотрим два важных предельных частных случая.

1. Когда опцион put в сборке со стопроцентной вероятностью попадает в деньги. Тогда К=0, р = -1, а также достигается предел (7.33). Обозначим среднеожидаемую доходность сборки за AT, а СКО сборки за аА. Тогда по общим правилам портфельного инвестирования выполняется:

AT = x1rT + X2RT, (7.59)

G A2 = Х12 G r2 + X 2 2 G R2 + 2xiG r x 2 G R P, (7.60)

где \r\nSO =

1

Z

(7.61)

p

x1 =

x 2 =

So + Zp 1+ | Y |

SO + Zp 1+ | Y Ґ \r\n

\r\nвеса компонент в портфеле.

Применение (7.59)-(7.61) в нашем случае дает: \r\n

\r\nzp q_ xp " so " zp

T — e — — v0

(7.62)

-P —¦

T Zp + s/ (Zp + SO)T 0 \r\n

\r\nпредельно низкая доходность сборки, известная инвестору заранее, \r\n

\r\nJlL G r 1 | Y | G r)2 = 0,

G A2 = (x1Cr - x 2GR )2 = 0

(7.63)

1+ I Y I r 1+ | Y | r \r\n

\r\nто есть при попадании опциона в деньги доходность сборки перестает быть случайной величиной, а становится фиксированной и заведомо известной.

2. Когда опцион put в сборке со стопроцентной вероятностью не попадает в деньги. Тогда К=1, р = 0, и, согласно (4)-(8) выполняется RT=-1/T, GR=0. И, соответственно, применяя (7.59)-(7.60), имеем \r\n

\r\n(7.64)
< RT
"RT = "
(Zp + SO)T
-— ZP ,-l so — st so ZP — AT - (—) + -
T
ZP + SO T ZP + S, \r\n

\r\ns

0

G r < О r

G A =

s0 + Zp

(7.65) \r\n

\r\nТо есть подтверждается вывод о том, что введение опциона put в сборку снижает ее доходность по сравнению с доходностью подлежащего актива, но одновременно и снижает волатильность. Такая операция дает сборке дополнительные шансы на то, чтобы поучаствовать в формировании эффективной границы портфельного облака.

Выражение для корреляции этих двух инструментов, с учетом (7.19) и (7.20):

т ГТ ^ R т

ST < хс \r\nG

(7.66)

R

р = M

G

G

Гт - ГТ х Р + Wt - RT S > х

G \r\nчто очень похоже на (7.55). Повторение всех перечисленных выше математических рассуждений дает выражение для коэффициента корреляции

Р = (1 - K )у -0-, (.67)

О R

где K = Pr{Sx < xc}.

Опцион call и подлежащий актив, естественно, обладают положительно коррелированными доходностями. Это означает, что с введением опциона в сборку повышается доходность этой сборки - одновременно с повышением ее риска.

Рассмотрим два важных предельных частных случая.

1. Когда опцион call в сборке с подлежащим активом со стопроцентной вероятностью попадает в деньги. Тогда К=0, р = 1, а также достигается предел (7.21). Обозначим среднеожидаемую доходность сборки за AT, а СКО сборки за аА. Тогда по общим правилам портфельного инвестирования выполняется (7.59)-(7.60), где \r\n

\r\nSo У zp

+ гс 1 + у Бо + гс 1 + у

веса компонент в сборке.

1

(7.68)

Применение (7.59)-(7.60) и (7.68) в нашем случае дает: \r\n

\r\n- = > - , (7.69)

1 + у

О A 2 - -^-c r > о r. (7.70)

1 + у

2. Когда опцион call в сборке со стопроцентной вероятностью не попадает в деньги. Тогда К=1, р = 0, и выполняется RT =-1/Т, GR=0. И, соответственно,

AT=—+—^г;=ST ~S° ~Zc < гт, (7.71)

Zc + S0 T Zc + S0 (zc + S0)T \r\nS

o

-ог < Ог

О A =

So + Zc

(7.72) \r\n

\r\nТо есть если сочетание подлежащего актива с опционом put влечет снижение волатильности (с одновременным снижением доходности), то сборка подлежащего актива с опционом call дает эффект увеличения доходности (с одновременным ростом риска). Что лучше, каждый инвестор решает для себя сам, в зависимости от того, как он оценивает характер рынка.