§ 2d. Фрактальный гауссовский шум как процесс с сильным последействием

0„=Вп-Вп_і, п^ 1, (1)

то получаемая последовательность j3 = (Pn)npi будет гауссовской после-довательностью независимых одинаково распределенных случайных величин с Е?}П = 0, Е/?2 =1.

В соответствии с § 2а, гл.

В этом смысле обращение к фрактальному броуновскому движению Вщ оказывается полезным для получения как стационарных гауссовских последовательностей со свойствами сильного последействия ("long memory" "persistent system"), так и последовательностей с быстрой перемежаемостью ("relaxationprocesses", "intermittency" "antipersistence"). Положим, по аналогии с (1),

Рп = Вш(п) — Вш(п — 1), (2)

и будем называть последовательность Р — (Рп)п^1 фрактальным (гауссовским) шумом с параметром Харста Н, 0 < Н < 1.

Из формулы (5) из § 2с для ковариационной функции (стандартного) процесса Вщ. следует, что ковариационная функция рв(п) = Cov(/3jt,/?&+„) имеет следующий вид:

рш(п) = \\{\\п + 1|2И - 2|п|2Ш + |п - 1|2Н}. (3)

Отсюда видно, что при п —»¦ оо

рш{п) ~ Н(2Н — 1)|п|2Н_2. (4)

Тем самым, в случае Н = 1/2 ковариадия рщ (п) = Одляп ф 0, и (/Зп)п^х образует (как уже отмечалось выше) гауссовскую последовательность независимых случайных величин. Если же Н ф 1/2, то из (4) мы видим, что ковариадия убывает с ростом п достаточно медленно (как ]тг| 2Н)), что обычно интерпретируется как наличие "долгой памяти" или "сильного последействия"

Полезно отметить принципиальную разницу в случаях 0<Н<1/2и 1/2 <Н< 1.

Если 0 < Н < 1/2, то ковариадия отрицательна (рш(п) < 0, п > 0),

оо

при ЭТОМ 22 |ри(п)| < п=0

Еслиже1/2 < Н < 1, токовариапияположительна (рн(«) > 0,n ^ 0),

оо

при ЭТОМ 22 рш{п) = оо.

Положительность ковариации означает, что вслед за положительными (отрицательными) значениями/Зп следует ожидать также положительные (отрицательные) значения. Тем самым, фрактальныйгауссовскийшум cl/2 <Н< 1 может служить подходящей моделью при описании эффектов "кластерности" (гл. IV, § Зе), реально наблюдаемых при эмпирическом

анализе величин возврата hn = In " для многих финансовых индексов

Sn—і

S = (Sn).

Отрицательность же ковариации означает, что вслед за положительными (отрицательными) значениями следуют ожидать отрицательные (положительные) значения. Такая ситуация сильной перемежаемости ("вверх-вниз-вверх- ...") действительно наблюдается при анализе по-ведения волатильности (см., подробнее, разделы 3 и 4 в гл. IV).

2. Последовательность 0 = (/?„) является гауссовской стационарной последовательностью с корреляционной функцией рн (п), задаваемой формулой (3).

Непосредственно можно убедиться в том, что в спектральном представлении

Рш(п)= Г eiXnfn(X)d\\ (5)

спектральная плотность /ш(А) может быть представлена в виде

f°° (cos хХ) (sin2 |)х-ш~Чх

MX) =Jo \\ . (6)

I (sin2f>-2-^

Произведя соответствующие вычисления интегралов, можно найти (см., подробнее, [418]), что

оо -

—оо

-1

MX) = ЛГ(Н)|ец - Ц2 |Л + 2пЩШ+1, |А| ^ тг, (7) где константа АГ(Н) =

,НГ(2Н) sin(Ebr)

СлучайН = 1/2.

Имея в виду применение фрактального броуновского движения к описа-нию динамики финансовых индексов, выберем некоторую единицу измерения времени п = 0, ±1, ±2,... и положим

Нп - Вш{п), hn = Нп — Нп-1-

Ясно, что Ehn = 0 и DЛ2 = 1.

Соответствующую этому случаю последовательность Л = (hn), яв-ляющуюся гауссовской последовательностью независимых одинаково рас-пределенных величин, называют, как указывалось выше, белым (гауссовским) шумом.

Случай 1/2 < Н< 1.

Соответствующий шум h = (hn) часто называют черным. Для этого шума характерно сильное последействие, сильная память.

Подобного рода эффекты наблюдаются, например, в поведении уровней рек, характере солнечной активности, последовательной толщине колец деревьев и, наконец, что для нас наиболее интересно, - в значениях величин

hn = In " , п ^ 1, для пен акций, обменных курсов и других финансо-

Sn-1

вых показателей (см. далее гл. IV).

Если Ы " 1/2, то стандартное отклонение y/D(h\\ + •••-)- hn) растет с ростом п как у/п. В случае же Н > 1/2 этот рост более быстрый - порядка пн. Иначе говоря, результирующее значение Нп = /її Н 1- hn имеет

больший разброс, нежели для случая белого шума (Н = 1/2).

Полезно заметить, что в случае Н = 1 фрактальное броуновское движение B^(t) = і??н(1) (Р-п.н.). И, следовательно, в этом случае последовательность h = (hn) приращений hn = Вш{п) — Вш{п — 1), n ^ 1, носит тривиальный характер: все величины Л„ = Вн(1), п ^ 1, что можно было бы назвать случаем "идеальной настойчивости"

5. Случай 0 < Н < 1/2.

Типичными примерами систем, в которых наблюдаются такие значения параметра Харста Н, является турбулентность. Знаменитый закон двух третей Колмогорова ([276], 1941 г.) устанавливает, что в несжимаемой вязкой жидкости при очень больших числах Рейнольдса средний квадрат разности скоростей в двух точках, находящихся на не слишком малом и не слишком большом расстоянии г, пропорционален г2Я, где Ы = 1/3.

Фрактальный шум h = (hn) с 0 < Н < 1/2 (розовый шум) имеет отри-цательную ковариацию, что, как уже отмечалось, соответствует быстрой перемежаемости в значениях Ап. Именно таким свойством и характеризуются турбулентные явления, что (вместе со свойствами самоподобия) говорит о том, что фрактальное броуновское движение сО<Ы<1/2 может служить хорошей моделью для описания турбулентных явлений.

Примером финансовой турбулентности, где параметр Харста

^ (jn

О < Ы < 1/2, является последовательность г = (гп) с rn = In —

On-1

и

1 п - S* = ~М2

fc=i

- эмпирическая дисперсия (волатильность) последовательности логариф-

?

мических возвратов h = (hn), hn — In — , для цен акций, индексов Dow,

Sn-1

S&P500 и др. (см. § За, гл. IV).

Многие авторы (см., например, [180], [385], [386]) усматривают большую аналогию между свойствами гидродинамической турбулентности и поведением цен на финансовых рынках. Эта аналогия приводит, например, авторов статьи [180] к заключению, что "есть основания надеяться, что качественная картина турбулентности, развитая в последние семьдесят лет, поможет лучшему пониманию, казалось бы, столь отдаленной области, как финансовые рынки".