§ 2с. Статистическая автомодельность.Фрактальное броуновское движение

Law(Xot,i>0)=Law(6Xt,i^0). (1)

С наглядной точки зрения это означает, что изменение временной шкалы (t —> at) приводит к тому же самому результату, что и изменение фазовой шкалы (х —> Ьх).

В § 1с мы видели, что для (ненулевых) строго устойчивых процессов существует константа Н такая, что Ь = а®.

И=~. (2)

а

В случае (обших) устойчивых процессов вместо (1) мы имели (см. (2) в § 1с) свойство

Law(Xat, t > 0) = Law(aHXt + tDa, t > 0), (3)

которое означает, что для этих процессов изменение временной шкалы приводит к тому же самому результату, что и изменение фазовой шкалы в со-четании с трансляцией, определяемой cdeuzoMtDa,t її 0. При этом для а-устойчивых процессов Н = 1/а.

Из сказанного следует, что целесообразно и естественно следующее

Определение 2. Если в определении (1) для любого a > 0 параметр b — а®, то случайный процесс X = (Xt)t^o будет называться автомодельным процессом с показателем Харста Н, или процессом, удовле-творяющим свойству статистической автомодельности с показателем Харста Н. Величина D = g называется статистической фрактальной размерностью случайного процессах.

Классическим примером автомодельного процесса является броуновское движение X = (Xt)t^o- Напомним, что для этого (гауссовского) процесса ЕXt = 0, EXsXt = min(s, t). Поэтому

EXaaXat = min {as,at) = amin(s,f) = E{a1/2Xs)(a1/2Xt),

и, значит, двумерные распределения Law(Xa, обладают следуюпшм свойством автомодельности:

= Law (a^X^a^Xt).

В силу гауссовости отсюда вытекает, что броуновское движение удовле-творяет свойству статистической автомодельности с показателем Харста Н = 1/2.

Другим примером является строго а-устоичивое движение Леви X = (Xt)t^o, для которого

Х*-Х.~5а((*-а)1/2>°>°), а Є (0,2].

Xat — Xas = al/a(Xt — Xs),

и, значит, показатель Харста Н = 1/аиЮ = а. При а = 2 мы получаем броуновское движение.

Подчеркнем, что рассмотренные в этих примерах процессы являются процессами с независимыми приращениями.

Следующий пример относится к случаю процессов с зависимыми приращениями.

3. Фрактальное броуновское движение. Рассмотрим функцию

ЛМ) = И2Ш + |*|2Н-|«-5!2Ш, 5,te К. (4)

Эта функция при 0 < Н ^ 1 является неотрицательно определенной, и, следовательно, на некотором вероятностном пространстве (скажем, на пространстве действительных функций OJ = (a/t)teift) существует (см., напри-мер, [439; гл. II, § 9]) гауссовскии процесс с нулевым средними автоковариационной функцией

Cov(Xs,Xt) = ±A(s,t),

то есть, с

EXsXt = ±{\\s\\m + |i|2H - |t - s\\m}. (5)

Отсюда видим, что

EXaeXat = amEXaXt = E(anXs)(a®Xt),

и, значит,

Law(Xae,Xat) = Law(aHXs,aHXt).

Так же, как и в случае броуновского движения, распределение которого полностью определяется двумерными распределениями, заключаем, что рассматриваемый сейчас процесс X является автомодельным с показателем Харста Н. Из (5)

E|Xt-Xs|2 = |t-S|2H. (6)

Напомним, что критерии Колмогорова (см., например, [470]) утверждает, что у случайного процесса X = (Xt)t^о существует непрерывная модификация, если найдутся такие константы а > 0, /3 > 0 и с > 0, что для всех s,t ^ 0

E\\Xt-Xs\\a ^c\\t-s\\1+l3 . (7)

Поэтому, если Н > 1/2, то из (6) сразу следует (при А = 2, /3 = 2Ш — 1), что у рассматриваемого процесса X = (Xt)t^o существует непрерывная модификация. Если же 0 < Ы ^ 1/2, то в силу гауссовости для всякого 0 < к < Ы имеет место оценка

E\\Xt — Xs\\xtk ^ c|t— s|H/fc

с некоторой константой с > 0. Тем самым, снова возможно применение критерия Колмогорова (с a = 1/к, 0 = Ш/к — 1).

Таким образом, у рассматриваемого гауссовского процесса^ = (Xt)t^o при всех 0 < Н 1 существует непрерывная модификация.

Определение 3.

Из данного определения следует, что (стандартное) фрактальное бро-уновское движение X = {Xt)t^o удовлетворяет следующим свойствам,

которые можно было бы также принять в качестве определения этого про-цесса:

Х0 = 0, ЕXt = 0 для всех t ^ 0;

X имеет стационарные приращения:

Law(X<+s - Xs) = Law(Xt), s,t > 0;

X является гауссовским процессом,

ЕХ = Щ2Ш, t > 0,

где 0 < Н < 1;

X имеет непрерывные траектории.

Из этих свойств снова следует, что фрактальное броуновское движение обладает свойством автомодельности.

В этой связи интересно отметить, что, в определенном смысле, верно и обратное ([418; с. 318-319]): если невырожденный процесс X = (Xt)t^о> Хо = 0, имеет конечную дисперсию, является автомодельным процессом с показателем Харста Н и имеет стационарные приращения, то 0 < Н ^ 1, и его автоковариационная функция Cov(Xs,Xt) = EX2.A(s,?), где A(s,t), задается формулой (4). Более того, в случае 0 < Н < 1 математическое ожидание ЕXt = 0, а в случае Н = 1 имеем Xt = tXi (Р-п.н.).

Отметим также, что помимо гауссовских процессов с указанными свойствами существуют и негауссовские (см. [418; с. 320]).

4. Если Ы = 1/2, то (стандартное) фрактальное броуновское движение есть не что иное, как (стандартное) броуновское движение, или винеровс- кий процесс.

Введенные процессы Вш впервые рассматривались А. Н. Колмогоровым в 1940 г. в его статье [278], где они назывались спиралями Винера. Термин фрактальное2) броуновское движение был введен в 1968 г. в статье Мандельброта (В. Mandelbrot) и Ван Несса (J. van Ness) [328]. В отличие от Колмогорова, который при построении процесса Вщ исходил из вида автоковариационной функции (4), Мандельброт и Ван Несс использовали

"явное" представление посредством стохастических интегралов по (некоторому) винеровскому процессу W = с И^о = 0: для 0 < Н < 1

Bn(t) = сш [(? - 5)®-1/2 - dWa

+ f {t-з)*-1\'2 dW,}, (8)

где (нормирующая) константа

2НГ(§ — Н)

выбрана так, что Еі?щ(1) = 1.

Замечание 1.

At-s)®-1/2 dWs, (10)

Jo

гдеНможетбыть любым положительным числом (см. также работу Г. Вей- ля [475]).

Замечание 2. Почти наверное траектории фрактального броуновского движения Вщ удовлетворяют условию Гёльдера с показателем 0 < Ы. Они также нигде не дифференцируемы и

= оо (Р-п.н.)

Вя(і) - Вш(і0)

t-t о

lim

t-t-to

в любой точке to 2s 0.

Замечание 3. Если в представлении (8) вместо Н взять гёльдеровскую функцию Ht, (|Ht - Hs| < c\\t - s|a, a > 0) со значениями в (0,1), то получаем случайный процесс, носящий название мультифрактального бро-уновского движения. Этот процесс был введен и детально изучен в работе [381].

Замечание 4. В теории случайных процессов хорошо известна роль семимартингалов как того класса, для которого развита теория стохастического исчисления (см. далее раздел 5 и, подробнее, например, [250], [304]). В этой связи полезно отметить, что фрактальное броуновское движение Вщ с 0 < Н < 1 не является (за исключением Н = 1/2, т. е. случая броуновского движения и Н = 1) семимартингалом. Доказательство этого факта для 1/2 < И < 1 см. в монографии [304; гл. 4, § 9, пример 2].

Замечание 5. В связи с 1Z/S-анализом Харста (т. е. анализом, основанным на исследовании свойств размаха, эмпирического стандартного отклоненения и их отношения; см. далее гл. IV, раздел 4) полезно, следуя [328], заметить, что если X = (Xt)t^о является непрерывным автомо-дельным процессом с параметром Харста Ы, Хо = 0 и 7Zt = sup Xs —

O^e^t

inf Xs, то Law(72.t) = Law(?H7ti), t > 0. В случае броуновского дви- жения X = В і В. Феллер ([157]) нашел точное распределение для 1Z\\.

оо

(Плотность этого распределения имеет вид 8 (—1) к2<р(кх), х > 0,

fc=і

гдеір(х) = (2тг)-1/2 ехр(—z2/2).)

Существуют разнообразные обобщения свойства автомодельности (1).

Xt(a) = Г ев<*—) dWs, t > 0, (11)

Jo

где W = (Wa)s^Q - стандартное броуновское движение; см. § За. (Заметим, что Х(а) = (Xt(a))t^o есть решение линейного стохастического дифференциального уравнения dXt (а) = aXt{a) dt + dWt, Хо (а) =0.) Из (11) нетрудно вывести, что для каждого а Є К

Law(Xot(a), t Є К) = Law(a1/2Xt(aa), teK),

что можно рассматривать как своеобразную форму автомодельности для семейства процессов (Х(а), а Є К}.

Остановимся на одном принципиально важном методе "статистических выводов", основанном на свойствах автомодельности.

Представим себе,

что X — {Xt) t — автомодельный процесс с показателем автомодельности Н. Пусть Д > 0. Тогда

Law(XA) = Law(AHXi) (12)

. . . dP(XA ^ х) и, значит, если /д (х) = плотность распределения вероятностей Хд, то

Д(х) = Аи/д(хАи). (13)

В обычном статистическом анализе часто, из общих соображений, можно считать процесс X автомодельным с некоторым, вообще говоря, неизвестным значением параметра Н. Пусть мы сумели каким-то образом по-лучить для Н некоторую "правдоподобную" оценку Н. Тогда для проверки гипотезы о том, что X действительно является автомодельным с параметром Н, можно поступить так.

Предположим, что по результатам независимых наблюдений над Х\\ и Хд мы получили эмпирические плотности Д (х) и /д (х) для достаточно многих значений Д. Тогда, если

Д(х)«Да/д(хДн) (14)

для широкого диапазона значений а; и А, то можно считать, что мы имеем достаточно весомое подтверждение справедливости гипотезы об автомодельности процесса X с показателем Н.

Разумеется, что если теоретическая плотность Д (х), зависящая, конечно, от Н, известна, то вместо проверки соотношения (14) следовало бы убедиться в справедливости приближенного "наложения" графиков функций Ан/д (хДн) на график функции Д (х) с подстановкой в эту плотность в качестве показателя Харста значения Н или истинного значения этого параметра, если оно a priori известно.

7. Для а-устойчивых процессов Леви показатель Харста Н = 1/а, и, следовательно, для таких процессов оценивание Н сводится к оцениванию параметра а. Для фрактального броуновского движения Вш = (Bm{t))t^о оценивание параметра Ы по дискретным наблюдениям может быть осуществлено, например, следующим образом.

Рассмотрим временной интервал [0,1]. Разобьем его на п равных частей, и пусть А = 1 /п - длина интервала разбиения.

Положим

т ал S*=i \\Bn(kA)-Bu((k-l)A)\\ г/і(і%;Д) =

= у/11

(ср. с (19) в §3а, гл. IV). Поскольку

E\\Bn{t + s) - Bn{t)\\

п

то

Е»1(ВЛ;А) = ^АЛ.

Отсюда естественным образом напрашивается следующий вывод: в качестве опенки для Н надо взять статистику

= ъл •

(В работе [380] показано, что Нп ->Нс вероятностью единица.)