§ ЗЬ. Периодичность и фрактальная структура волатильности в обменных курсах

внутрисуточной неоднородности

и

суточной цикличности (периодичности).

g

Если представить пропесс Н = (Ht)t^oi Ht = In —, в виде (ср.

= (і)

то можно сказать, что рис. 29 и 30 описывают лишь только то, что опре-деляется "временными" компонентами процесса Я, т.е. моментами появления тиков (rfe), не давая представления о поведении "фазовой" компоненты - последовательности (hTk) или (hk), hk = h^^ (см. обозначения в § 2b).

Введенное выше понятие А-волатильности, основанное на обращении к Д-вариалии Var(a f)] (Я; А), позволяет получить наглядное представление об "активности" изменений процессов Я, Я и по временной и по фазовой переменным.

С этой целью рассмотрим Д-волатильность bj (Я; Д). Сразу отметим, что если а = (к — 1)Д, Ь — к А, то

^((Ь-1)Д,ЬД](Я;Л) = \\НкА - я(ь_1)д| = (2)

(см. обозначения в §2Ь).

В качестве исследуемого объекта выберем обменный курс DEM/USD,

так что St = (DEM/USD)t, Ht = In ф-.

So

Будем полагать А = 1 час и брать

t = 1,2, ...,24 (в часах)

тогда, когда производится "суточный" анализ (отсчитывая время, начиная с 0:00 по Гринвичу понедельника) и

t = 1,2,..., 168 (в часах),

когда производится "недельный" анализ.

Заметим, что 168 = 24 х 7; тем самым, значение t = 168 отвечает концу недели.

Солидная база данных "Olsen & Associates" дает возможность получить для величин ^((ь_і)д,ьд](.йГ; А) = вполне надежные опенки

%*-1)д,кЛ]№ А) = |/ife| по каждому дню недели.

С этой целью будем вести отсчет времени с 0:00 по Гринвичу того первого понедельника, который есть в базе данных. Если А = 1 час, то, полагая к = 1,2,..., 24, получаем интервалы (0,1], (1,2],..., (23,24], которые со-ответствуют временным интервалам (по Гринвичу)

(0:00,1:00], (1:00,2:00], ..., (23:00,24:00].

В качестве (Н] А) берется среднеарифметическое значение

величин І-Н^д — Н$_1)А\\по всем понедельникам, занумерованным индексом j.

Следующие графики (рис. 36 и 37) из [427] наглядно иллюстрируют внутрисуточную неоднородность и суточную периодичность (цикличность) в течение недели в поведении А-Волатильности V((k-l)A,kA](H\\ А) = |/ifc | на часовых интервалах ((& — 1) А, АД], к = 1,2,... .

0.0020

0.0015 пП П

0.0010 ПП П

0.0005 П

0 6 12 18 24

Рис. 36. График внутрисуточной Д-волатильности обменного курса DEM/USD (Д = 1 час) по данным агенства Рейтер (05.10.1992-26.09.1993)

0.0020

0.0015

0.0010

0.0005

Рис. 37. График Д-волатильности обменного курса DEM/USD (Д = 1 час) в течение недели. Интервалы (0,1],..., (167,168] соответствуют временным интервалам (0:00,1:00],..., (23:00,24:00] по Гринвичу. Данные агенства Рейтер (05.10.1992-26.09.1993)

Отмеченные эффекты суточной периодичности (цикличности) в поведении Д-волатильности наблюдаются и при р ас смотрении ее корреляционных свойств. Следующий параграф будет посвящен именно этому вопросу, а также обсуждению тех практических рекомендаций, которые следуют из статистического анализа Д-волатильности.

2. Обратимся к свойствам Д-волатильности vt (Д) = u(o,t] (Я; Д) как функции от Д при фиксированном t обозначая щ (Д) ее оценку i?(o,t] (Н; Д).

Возьмем достаточно большое і, скажем, t — Т, где Г = один год, и найдем Рт(Д) для разных значений Д. Сравнительно недавно (см., например, [204], [362], [386], [427]) было обнаружено весьма замечательное свойство, присущее FX-рывку, а также и другим рынкам, состоящее в том, что Д-во- латильность ведет себя весьма регулярно в том смысле, что

РТ(Д) и СтДН (3)

с константой Ст, зависящей от рассматриваемого обменного курса, и Н и 0.585 для основных валют.

Чтобы придать соотношению (3) более определенный смысл, рассмотрим статистические данные относительно 1пг7т.(Д) как функции от 1пД для широкого интервала значений Д, от 10 мин.

Рис. 38. Иллюстрация фрактальной структуры Д-волатильнос- ти г?т( Д). По вертикальной оси отложены значения In г\'т(Д) как функции от In Д

Прямая на рис. 38, проведенная по методу наименьших квадратов, показывает, что эмпирические данные очень хорошо группируются вдоль прямой с угловым коэффициентом Ы = 0.585. Тем самым, из (3) можно-за-ключить, что при больших t волатильность ^(Д) как функция Д имеет фрактальную структуру с показателем Харста Н = 0.585.

Как мы видели выше в §3а, для броуновского движения Е|?Гд| = 1/2/7ГД1/2, для фрактального броуновского движения с показателем Н Е|Яд| = а для строго а-устойчивого процесса Леви с а > 1

Е|ЯД| = Е|ЯХ|ДН, гдеН = 1 /а < 1.

Таким образом, найденное экспериментальным путем значение Н = 0.585 >1/2 говорит в пользу гипотезы о том, что процесс Н = (Ht) вполне удовлетворительно может описываться или фрактальным броуновским

движением, или же о;-устойчивым процессом Леви с параметром а = — я

—— а 1.7. 0.585

Замечание. По поводу оценки параметра И для фрактального броуновского движения см. гл. III, § 2с, п. 6.

3. Вернемся к рис. 36. На этом рисунке весьма четко видны положения минимума и максимума активности. Время 4:00 по Гринвичу (минимум активности) соответствует времени ленча в Токио, Сиднее, Сингапуре, Гонконге, когда "жизнь" на FX-рынке замирает. (В это время в Европе и Америке ночь.) Выше уже также отмечалось, что максимум активное- ти 15:00) соответствует раннему послецолудню в Европе и началу бизнес-дня в Америке.

В течение пяти рабочих дней недели (понедельник-пятница) активности (по дням) довольно схожи. Эта активность существенно снижается во время уикэнда - в субботу и большую часть воскресенья активность практически можно считать нулевой. К концу воскресного дня, когда Восточ- но-Азиатский рынок начинает свой бизнес-день, активность начинает возрастать.