§ Зс. Корреляционные свойства
Описанные выше эффекты периодичности (цикличности) в появлении тиков и в Д-волатильности четко прослеживаются также и при корреля-ционном анализе абсолютных изменений | АН \\.
Соответствующие результаты приведены ниже в п. 3. Начнем же изложение с корреляционного анализа самих величин АН.g
Пусть St = (DEM/USD)t и Ht = In —. Данные, полученные ли-
So _
нейной интерполяцией, мы обозначаем (в соответствии с § 2Ь) через St и
Ht= lnf-. bo
Выберем некоторый временной интервал Д и обозначим
hk = Htk -
ctk = kA. (В § 2b эта величина обозначалась также ^; согласно § ЗЬ модуль \\hk\\ = V(tk_lftk\\{H-, А).)
Положим А = 1 мин. и А; = 1,2,..., 60. Тогда последовательность при-ращений hi, h2, • • •, heo соответствует последовательным приращениям величины Я (за минуту) в течение одного часа. В этом (часовом) интервале можно считать последовательность hi, h2, ¦. ¦, heo стационарной (однородной).
Традиционной мерой корреляционной зависимости стационарных последовательностей h — (hi, h2, ¦ ¦ ¦) является их корреляционная функция
Ehnhn+k — Ehn ¦ Е/іп+ь . .
P{k) = , _ „ ^^, (1)
VDhn • Dhn+k
обычно называемая в теории случайных процессов автокорреляционной функцией.
Соответствующий статистический анализ, проведенный "Olsen & Associates" (см. [204]), дает следующий график (эмпирической) автокорреляционной функции р(к), найденной по (весьма репрезентативной) базе данных за период 05.01.1987-05.01.1993.
Рис. 39. Эмпирическая автокорреляционная функция р(к) последовательности приращений hn — Htn —Htn_1, tn = пД, Д = 1 мин., в обменном курсе DEM/USD
На рис.
39 четко видна отрицательная коррелированность на интервале порядка 4 мин. (р(1) < 0, р{ 2) < 0, р(3) < 0, р( 4) < 0). При этом большинство значений р (к) при 4 < к < 60 мало отличимы от нуля.В этом смысле можно считать, что значения hn и hm, |n — m| > 4 мин., являются практически некоррелированными.
Отметим, что эффект отрицательной коррелированности на малых промежутках (|n—m| 4мин.) был анонсировал в [189], [191] и отмечается по многим финансовым показателям (см., например, [145] и [192]).
В литературе можно найти разные объяснения эффекту отрицательной коррелированности в приращениях АН на малых временных промежутках. Приводимые, например, в [204] объяснения этого эффекта сводятся к тому, что трейдеры на FX-рынке далеко не однородны, их интересы могут "идти в разных направлениях" они могут по-разному интерпретировать поступающую информацию. Трейдеры часто прибегают к изменению спрэ- да в каком-то одном "направлении" когда они имеют указание на то, чтобы произвести "разбалансирование" К тому же многие банки систематически публикуют цены покупки и продажи с завышенным спрэдом; в этой связи см. работу [192].
Возможное "математическое" объяснение эффекта отрицательности Cov(hn,hn+k) = Ehnhn+k ~ Е/ІПЕ/І„+Ь для небольших значений к может состоять, например, в следующем (ср. с [481]).
Пусть Нп = hi + ¦ ¦ ¦ + hn, где hn — цп + апєп с 1 -измеримыми ап и последовательностью (єп) независимых нормально распределенных случайных величин. Величины цп также можно считать _ і -измеримыми. По многим статистическим данным средние значительно меньше ап (см., например, табл. в § 2Ь, п. 2) и практически могут считаться равными нулю.
~ S
Величины Нп, являющиеся In —на самом деле точно известны
So
не всегда; более реалистично предполагать, что становятся известными
яеНп,аНп = Нп + Sn, где (<5n) ~ некоторый белый шум, характеризующий шумовую компоненту, определяемую не истинным состоянием пен, а неточностью получения этих значений.
Будем предполагать, что (<5„) - последовательность независимых случайных величин с EJ„ = О, ES2 ~ С > 0.
Тогда для последовательности h ~ (hn) со значениями hn = АНп = hfi + (6п — Sn-i) находим, что
Ehn = 0, Е/? = Ест2+2С
и
Е hn hn+i = E( Таким образом, ковариационная функция Co\\/(hn,hn+k) = Ehnhn+к — Ehn ¦ Ehn+k Cm(hn,hn+k) - \' Ео\\ +2С, к = О, -С, к = 1, О, к > 1. (в предположении, что Ео\\ — Ео\\, п ^ 1) задается формулой 3. Зафиксируем интервал А = 20 минут. Пусть to = 0 соответствует 0:00 по Гринвичу понедельника, fx = А = 20 мин., t2 = 2А = 40 мин., із = ЗА = 1 час, ..., ?504 = 504 А = 1 неделя, ..., f2016 = 2016 А = 4 недели (= 1 месяц). 0.4 ¦ 0 504 1008 1512 2016 Рис. 40. Эмпирическая автокорреляционная функция R(k) последовательности |/in | = \\Htn ~Htn_x\\для обменного курса DEM/USD (по данным агенства Рейтер, 5.10.1992-26.9.1993; [90], [204]). Значение А; = 504 соответствует 1 неделе, к — 2016 - четырем неделям Обозначим hn = Htn — Htn_1 и пусть R(k) = E\\^\\\\hn+k\\-E\\hn\\-E\\hn+k\\ (2) - автокорреляционная функция последовательности |/і| = (|Лх |, \\h2 j, ¦ ¦ ¦ )• График соответствующей ей эмпирической автокорреляционной функции R(k) для к = 0,1,..., 2016, т. е. в течение четырех недель, представлен на рис. 40. Этот рисунок четко показывает наличие периодической составляющей в автокорреляционной функции Д-волатильности |Л| = (I I) „ > х с |Л„| = \\Htn - Я4п_!І, A = tn- tn-1- Известно, что сила корреляционных методов в полной мере проявляется тогда, когда рассматриваемая последовательность является стационарной. Однако, как мы видим, Д-волатильность этим свойством не обладает, и возникает естественная мысль как-то "выровнять" ее, т. е. превратить в стационарную однородную последовательность. Процедура "выравнивания" волатильности носит название деволати- лизации. В следующем параграфе мы рассматриваем этот вопрос, основываясь на понятии замены времени, хорошо известном в теории случайных процессов, и идее операционного "0-времени" систематически используемого "Olsen & Associates" (см. [90], [204], [362]) при анализе данных FX-рынка.