§ 3d. "Деволатилизация" Операционное время

ности.

/¦t

Пусть Ht = / о(и) dBu, где В = (Bt)t^o ~ стандартное броуновское

J о

движение и сг = (cr(i))t>o - некоторая детерминированная функция, ха- 1 рактеризующая "интенсивность" "активность" вклада dBu, и ^ t, в фор

мирование значения Ht.

[п d hn = Нп — Яп_х = / о{и) dBu = ст„є„, (1)

Уп-1

і

где єп ~ J/ (0,1), сг2 = / ст2(и) dun = означает совпадение величин по

Jn — 1

распределению.

Таким образом, при возможности регистрации значений процесса Я = (Ht)t^o только в дискретные моменты времени п = 1,2,... наблюдаемая последовательность значений hn = Нп — Нп _ х имеет совсем простую структуру гауссовской последовательности (стп?п)п^1 независимых случайных величин с нулевым средним и, вообще говоря, "неоднородными" (волатильностями) дисперсиями сг2.

Следующие рассмотрения дают метод преобразования данных, выравнивающий эти "неоднородные" значения <т2, n ^ 1.

Обозначим ^

T(t)= f a2(u)du (2)

Jo

и

т*(в) = infjf: у a2(u)du=eJ (= inf{f: r{t) = 0}), (3)

где 0^0.

Будем предполагать, что a(t) > 0 при каждом t > 0, f а2(и) du < оо

О

(в этом предположении определен стохастический интеграл / о (и) dBu

j о

по броуновскому движению В = {Ви)и^о; СМ. §3с в гл. III) и пусть J^ ст2(и) du f ОО, t оо.

Наряду с физическим временем t ^ 0 мы будем рассматривать также новое операционное "0-время" определяемое (по t) формулой

e = r(t). (4)

Возвращение же от операционного "0-времени" к физическому будет опре-деляться обратным преобразованием

t = T*(0). (5)

Заметим, что из (3)

/ o2{u)du = e, (6)

Jo

т.е. т(т*(в)) = (9и, значит, т*(в) = -г~1(6\'), r*(r(t)) = t.

Рассмотрим функцию в = r(t), осуществляющую преобразование физического времени в операционное.

в2-вг= Г o2(u)du, (7)

Jti

то видим, что там, где активность о2 (и) мала, физическое время при его преобразовании в операционное как бы укорачивается, сжимается (как нарис. 41).

Но если активность а2 (и) велика, то происходит обратное - коротким интервалам (fx, ?2) физического времени (см. рис. 42) отвечает больший интервал (0х,02) в операционном времени, происходит как бы "увеличение" времени.

3. Статистика волатильности, корреляционной зависимости

Рис. 41. Иллюстрация "сжатия" (длинного) периода [ti, <2] "малой" активности в (короткий) интервал [#i, #2] в б-времени

ч

9 = r(t)

9 = r(t)

Рис. 42. Иллюстрация "увеличения" (короткого) периода [ti,t2] "большой" активности в (длинный) интервал [в\\, 02] в ^-времени

Образуем теперь новый процесс

(8)

Щ — Нт\'(в),

действующий в новом, операционном времени. Понятно при этом, что возврат от нового процесса Н* к старому осуществляется по формуле

(9)

Ht - #r(t)>

поскольку T*(r(t)) = t.

Заметим, что для 0\\ < в2

гт*(в2)

Щ-2 ~ ~ НТ\'(92) ~ Нт\'івг) = / dBu

jt\'(9її

-Г

jo

Г*(®а)

/т*(в!)

>

1{т*{ві) Отсюда видно, что Н* является процессом с независимыми приращениями, Щ — 0, ЕНд = 0, и к тому же, по свойствам стохастических интегралов (см. § Зс в гл. III),

г со

Е| н;2 - Яв*12 = / 1{т*(ву) т*(02)) o2(u)du

Jo /•r*(e2)

= / Jr*(91)

(последнее равенство следует из (6)).

Поскольку процесс Н* является также и гауссовским, то - как процесс с независимыми приращениями, нулевым средним, свойством (10) и непрерывными траекториями - это есть (см. § За, гл. III) не что иное, как стандартное броуновское движение, и, значит,

Н*в= Ґ o*(u)dH*u, (11)

Jo

тле о* {и) - 1.

ft

Сравнение с представлением Ht= o{u)dBu, где, вообще говоря, сг (и) ф. 1, показывает, что переход к операционному времени "выровнял" характеристику активности о = о (и), сделав ее в новом "0-времени" однородной (о*(и) = 1).

Выше мы предполагали, что о (и) неслучайно.

определяемой формулой (3) с о(и) — о (и; си), лишь бы только с вероятностью единица J о2(и;ш) du < оо и J o2(u;w) du f оо при t —> оо. Однако есть принципиальная разница между случаями детерминированной функции сг = о {и) и случайной а = о(и;и>): в первом случае производимую замену времени t в — r(t) можно рассчитать заранее, в том числе и для "будущих" моментов времени, во втором же случае этого

уже сделать нельзя, поскольку случайная замена времени разная для различных реализаций а = а(щш), и ^ 0.

2. Обратимся к некоторой последовательности/г = {hn)n^i, hn = апєп, с неоднородными активностями <т„, п Js 1. При этом будем рассматривать п как физическое ("старое") время.

Определим последовательность моментов

40)

= minimis 1: ^ ст| ^ 0 L

^ k=i J

где в принимает значения 1,2,... и будет рассматриваться как операционное ("новое") время.

Пусть также для 0 = 1,2,...

К= ?

где т* (0) =0.

Заметим, что E/ij$ = 0 и дисперсии

DfcJ =D

? = ?

R*(e-L)r*(0-l)поскольку обычно величины сг| являются достаточно малыми (см. таблицу в §2Ь, ц. 2).

Тем самым, можно сказать, что переход к новому "0-времени" превратил неоднородную последовательность h = (hn)n^i в (почти) однородную последовательность h* = (fyjb^i-

В том случае, когда ап являются случайными, ап = оп(и>), и преследуется цель априорного расчета замены времени для всех (в том числе и для будущих) моментов времени, то предшествующие идеи "деволатили- запии" можно использовать, заменив сг2 (о>) его средним значением Ест2 (о>) или, в конкретной статистической практике, оценкой этого среднего значения.

Из представления hn = ипєп видим, что в предположении _ і -измеримости ап математическое ожидание E/i2 = Ест2, и, значит, в качестве оценочного значения для Ест2, где момент п соответствует, скажем, интервалу времени ({ті—1) А, пД] цо Гринвичу понедельника, можно брать арифметическое среднее значений /г2, подсчитываемых по статистическим дан-ным, отвечающим этому временному интервалу по всем понедельникам, находящимся в базе данных.

В проведенной замене времени (2) были использованы квадраты величин о(и), что, конечно, не является единственным способом получения замены времени t в = r(t). Можно, например, вместо а2 (и) использовать значения |сг(и)|.

Именно такая замена времени используется в работах "Olsen & Associates" [90], [360]-[362], где утверждается, что этот способ "деволати- лизагош" позволяет лучше "ухватывать" свойства периодичности и дает более "гладкую" картину поведения автокорреляционной функции "де- волатилизованных" значений последовательности | h* | для обменного курса DEM/USD.

Отсылая за деталями к статье [90], мы приведем сейчас лишь результат их статистического исследования относительно свойств автокорреляцион-ной функции значений последовательности \\h* |.

Какивп.

На рис. 40 в § Зс дан график поведения эмпирической опенки R(k) автокорреляционной функции

т=ЦК\\\\Ь n+k\\-E\\hn\\.E\\hn+k\\ (i2)

Л/D^J ¦ D\\hn+k\\

из которого четко видна периодическая структура этой функции.

В работе [90], после процедуры деволатилизашш и перехода к новому операционному "0-времени" был получен весьма интересный для анализа график (см. рис. 43) эмпирической корреляционной функцииR* (в), 0^0, последовательности \\h*\\ = (\\hgТам же был дан и график функции т*(в): в t, осуществляющий переход от операционного времени 0 к фактическому t (в рассматриваемом случае обменного курса DEM/USD; см. рис. 44; новое время при этом пронормированно так, чтобы недельному интервалу физического времени соответствовал недельный интервал операционного времени).

Из рис. 44 видно, что в течение пяти бизнес-дней недели зависимость t = т* (в) является примерно линейной. В конце же недели, когда операционная активность FX-рынка замирает, большим интервалам (уикэндно- го) физического времени соответствуют малые интервалы операционного времени, которые, собственно говоря, и представляют интерес для бизнес-трейдинга.

Следует отметить, что использованный выше метод деволатилизашш для "уничтожения" периодической составляющей является далеко не

Рис. 43. Эмпирическая автокорреляционная функция R*(9) последовательности |/i*j = {\\hg\\)$^x деволатилизованных значений в операционном "0-времени" с интервалом А.9 = 20 мин. для обменного курса DEM/USD; [90]

Рис. 44. График преобразования t = т* (в) операционного времени в физическое. По горизонтальной оси отложено операционное #-время (в часах; 168 час. соответствует 1 неделе). По вертикальной оси отложено физическое время; [90]

единственным, применяемым в анализе FX-рынка. Укажем, например, на работы [7], [13], [306], в которых применяется самая разнообразная техника - линейный и нелинейный регрессионный анализ, методы, основанные на преобразовании Фурье, используются компьютерные программы (ней- росети; neural networking) для отыскания в прошлом сходных участков во временных рядах финансовых данных.

Рис. 45. Выделенная кривая является периодической составляющей "активности" в обменном курсе CHF/USD (168 час. соответствуют 1 неделе)

Из представленного рис. 45 четко видна "географическая" структура

5. Приведем в заключение график периодической составляющей "активности" (см. §ЗЬ) в обменном курсе CHF/USD, выделенной методом деволатилизадии (см. [90]; ср. также с рис. 37 в § ЗЬ).

периодической (по суткам, в течение недели) составляющей, характер которой определяется разными бизнес-временами активности трех различных FX-рынков - Восточно-Азиатского, Европейского и Американского. В [90] дало интересное разложение этой составляющей в сумму трех периодических компонент, соответствующих этим рынкам, позволяющее более корректно учитывать наличие факторов периодичности при прогнозе будущего движения обменных курсов.