§ Зе. Эффекты "кластерности" и последействия в пенах
g
S — (5t)t^o и их логарифмы Я = (Ht)t>o с Я4 = In — описывались
Ьо
случайными процессами с дискретным вмешательством случая:
St = So + Y SrJ(Tn ^ t) (1)
n>l
и
Ht = ? ^п/(т„ ^ t). (2)
n^l
Затем мы переходили к их непрерывным модификациям S = {St)t^o, Я = {Ht)t^o и, наконец, к значениям hn = Ht„ — Я«п_1; где tn - = А.
Именно для этих величин hn с интервалом А = 1 мин. и была обнаружена отрицательность автоковариалии р(к) — Ehnhn+k — Еhn Ehn+k для небольших значений к — 1,2,3,4 (мин.). Для больших значений к автоков ариация близка к нулю, и, следовательно, для таких к величины hn и hn+k могут считаться (практически) некоррелированными.Это, разумеется, далеко не означает их независимости, что подтвердилось в § Зс анализом эмпирической автокорреляционной функции R(k) (все рассмотрения проведены для обменного курса DEM/USD).
Следующий шаг (процедура деволатилизации) позволил выровнять "активности" с помощью перехода к новому операционному времени, образованному с учетом разных периодов "активности" изменений значений процесса Я = (#t)tj>o-
Как видно из статистического анализа последовательности (|Лп|)п^ъ рассматриваемой в новом, операционном "0-времени" автокорреляционная функция R* (в)
достаточно велика при малых значениях 9;
убывает достаточно медленно с ростом 9.
В статье [90] утверждается, что на временном интервале порядка месяца поведение R* (в) достаточно хорошо "ухватывается" степенной зависимостью:
R*{e)~ke~a, в —у оо, (3)
а не экспоненциальной:
(4)
оо,
R*(0) ~&ехр(-6
как это можно было бы ожидать и что имеет место для многих популярных в финансовой математике моделей (ARCH, GARCH, например; см. подробнее [193] и [202]).
Факт достаточно медленного убывания эмпирической автокорреляционной функции R* (в) имеет важные практические выводы. Он означает, что в ценах действительно есть сильное последствие или, как еще образно говорят, "цены помнят прошлое" Тем самым, имеется определенная надежда на возможность предсказания будущего движения цен, для чего, конечно, нужно уметь строить модели последовательностей h = (h„)n^i, для которых, по крайней мере, корреляционные свойства были бы похожи на те, которые наблюдаются на практике.
См. в этой связи [89], [360] и § ЗЬ, гл. II.2. То обстоятельство, что автокорреляция достаточно большая при малых значениях в, служит убедительным объяснением наблюдаемого эффекта кластерности (группирования) в поведении "активности" измеряемой волатильностью \\hn\\.
Суть этого эффекта, известного еще с работы Б. Мандельброта 1963 года, [322], состоит в том, что, как правило, вслед за большими значениями волатильности следует снова ожидать большие значения, а вслед за малыми - снова малые.
Иначе говоря, если изменение = |Htn — Щп_х | было большим, то (с достаточно большой вероятностью) следующее значение |Лп+і| также будет большим. Если же | hn \\ было малым, то (с достаточно большой вероятностью) следующее значение также будет малым. Наглядно эти свойства хорошо видны на рис. 46 и реально наблюдаются для многих финансовых индексов.
Отметим, что эффекты кластерности хорошо "ухватываются" также 7^/<5-анализом, рассматриваемом в следующем разделе.
0.005
-0.005
0.000
-0.010
0 504 1008 1512 2016
Рис. 46. Эффект кластерности в величинах hk = в обменном курсе DEM/USD (по данным агенства Рейтер, 5.10.1992-2.11.1992; [427]). Временной интервал Д = 20 мин.; значение 504 соответствует одной неделе; 2016 соответствует четырем неделям. Четко проявляются "сгустки" "малых" и "больших" значений величин |hfc|.