§ 4а. Истоки и методология 7 /5-анализа

Помимо основополагающей работы Г. Харста [236] в развитии теории Ті/^-анализа, его методологии и применений значительную роль сыграли работы Б. Мандельброта и его соавторов ([314], [316]—[319], [321]—[325], [327]-[329]), а также работы и две монографии [385], [386] Е. Питерса, содержащие большой (как правило, описательный) материал, относящийся к применениям 72.анализа к финансовым рынкам.

g

Пусть S — (5П)П^о ~ некоторый финансовый индекс, hn = In " , п ^ 1. ^ 5n-J

Суть 7?/<5-анализа применительно к исследованию свойств последовательности h = {hn)n>1 состоит в следующем.

Образуем величины Нп — h\\ + ¦ ¦ ¦ + hn,n 1, и положим (ср. с §2а, гл. III)

Пп = шах (Нк - -Нп) - min (Нк - -Нп). (1)

fc^n \\ П J fc^n \\ П J

Величина hn = —— есть эмпирическое среднее, построенное по п

k к - выборке (Лі,Лг,-• • )ЛП), и, следовательно, -Hfc Яп = —Лп)

П к

есть величина отклонения Нк от эмпирического среднего значения —Нп.

п

Сама же величина 1Z„ характеризует степень "размаха" этих отклонений к

Нк Нп, к < п.

п

Пусть также

(2)

fc=i ^ к=і \' к=і

эмпирическая дисперсия и

(3)

- нормализованный, или приведенный, размах накопленных сумм Нк, к ^ n (по терминологии из [157]; в английской версии - "the adjusted range of the cumulative sums Hk, к ^ n").

Из формул (l)-(3) мы видим, что величина Qn обладает важным свойством инвариантности относительно преобразований hk —У с (hk + m), к ^ 1, что является весьма пенным качеством этой статистики, делающим ее непараметрической (по крайней мере, с точки зрения независимости от значений первых двух моментов распределений величин hk,k ^ 1).

3.

Е?г„ ~ (= 1.2533... хп1/2) (4)

и

2

D7г„~(у-|)п (=0.07414... хп). (5)

Этот результат проще всего понять, если воспользоваться принципом инвариантности Донскера-Прохорова (см., например, [39], [250]), согласно

которому асимптотическое распределение 72.„/іJn совпадает с распределением размаха

R* = sup — inf В® (6)

броуновского моста В0 — , который можно определить как про

цесс

B°=Bt-tBu (7)

где В = (Bt)t^.о _ стандартное броуновское движение (см. §3а в гл. III). В самом деле, рассмотрим величину

(8)

тг

= max

у/П k^.n\r\nНк кКп — min

fc^n EJL- кНп\r\nу/п п у/п у/п п у/п\r\n

В соответствии с самой идеей инвариантности (иначе говоря, независимости от конкретного вида распределения величины hk) при отыскании предельного распределения Лп / у/п, п —у оо, можно предполагать, что hk имеют стандартное нормальное распределение JV{0, 1). Тогда, если В = (Bt)t^о есть стандартное броуновское движение, то распределения вероятностей наборов {Hk/y/п, к = 1,... ,п} и {Вк/п, к = 1,... ,п} совпадают, и, значит,

И

~ = max \\Bt - tBi ] - min ГBt - tB-Л ^ ^.i}

= max B? - min Bt°, (9)

{*=Hi ^.i} ^.i}

где "=" означает равенство случайных величин по распределению.

Отсюда становится понятным, что при п —У оо распределение вероят-ностей 7Zn/y/n сходится (слабо) к распределению статистики R*. (Отметим, что функция (max — min) (•) является непрерывной на пространстве функций, непрерывных справа и имеющих пределы слева. Об этом и о сла-бой сходимости мер на пространстве таких функций см., например, [39], [250; гл. VI], [304; гл. 6].)

Для функции распределения F*(x) = Р(R* ^ х) известен явный вид ее плотности/* (i) (СМ. (4.3) в [157]):

оо

Г = хе"(х) + ?{2&(& - 1)[е\'((* - 1)х) - е\'(кх)} к—2

+ (к- 1 )2хе"({к - 1)аг) + к2хе"{кх)}, (10)

где е(х) — е 2х .

Заметим, между прочим, что Esup|I?t| = л/тг/2; см. § ЗЬ в гл. III. Тем

і

самым, средние значения двух статистик R* и sup\\Bt \\ совпадают.

t^i

4. Если предположить независимость и одинаковую распределенность величин /її, /і2, - • - с E/ij = 0 и Dhi = 1, то, с вероятностью единила, —У 1, п —У оо (усиленный закон больших чисел). Поэтому предельное распределение Qn/\\/n, п —у оо, будет также совпадать с распределением Д*.

Распределение Q„ не зависит от среднего значения и дисперсии величин hk, к п. Это "непараметрическое" свойство приводит к следующему критерию, позволяющему (с той или иной степенью надежности) отвергать гипотезу (Жо) о том, что рассматриваемые пены подчиняются схеме случайного блуждания, лежащей в основе классической концепции эффек-тивно функционирующего рынка (см. § § 2а, 2ев гл. I).

В идейном плане суть этого критерия, основанного на 7^/<5-статистике, состоит в следующем (Г. Харст, [236]; [329], [386]).

Если гипотеза Жо верна, то при достаточно больших п значение 7Zn/Sn

должно быть "близко" к Ео ~ . / —гг, откуда находим, что

Sn у 2

(Конечно, этому выражению, как и приводимым ниже соотношениям (13) и (14), нужно и можно придать точный вероятностный смысл, воспользо-вавшись формулировками предельных теорем. Мы не будем здесь этим заниматься, оставаясь на позициях "разумного" понимания, часто принятого в статистической практике.) ^

Тем самым, в логарифмической шкале (по обеим осям) значения In

<->п

должны (в случае справедливости гипотезы Жо) "группироваться" вдоль прямой а + | In п, где а — In \\А"/2 (см. рис. 47).

In

Нп Sn

Рис. 47. К иллюстрации 7?/5-анализа (случай справедливости гипотезы Жо)

0.0

-н

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 Inn

2.0 1.5- 1.0 0.5

Это пояснение делает понятной методику 7^/<5-анализа: по имеющимся статистическим данным наносим (в логарифмических шкалах) точки

і і ПА

In п, In —— I и по методу наименьших квадратов проводим прямую Sn /

о.п + bn 1п п.

Принципиальное значение исследований Г. Харста состояло в том, что он обнаружил (методами 7?/5-анализа), что вместо естественно ожидаемого (для Нила и других рек) свойства

1/2

(13)

СП

Пп Sn

оказалось, что, на самом деле,

Яп

СП

(14)

где Н значимым образом больше 1 /2.

Если экспериментальное исследование приводит к выполнению (несколько неожиданного) свойства (14), то следует задаться вопросом о том, для каких моделей последовательностей h - {hn)n^i такое свойство может иметь место.

Соответствующее объяснение нужно дать и тому факту, что во многих случаях значение параметра Н > 1/2. (Ниже мы увидим, что одно из объяснений состоит в том, что h = (/in)n>і - это система с долгой памятью и положительной корреляцией.)

Приведем по этому поводу ряд наблюдений, основанных, в том числе, и на компьютерных расчетах, а также ряд результатов, относящихся к 7^/<5-анализу, следуя, в основном, работам [316], [319].

Как правило, для последовательностей h = (/in)n>i со "слабой зависимостью" (марковских, авторегрессионных, ...) параметр Харста Н оказывается близким к 1/2. В этом случае обычно говорят, что система h = {hn)n^i имеет "конечную 7?/5-память"

Если/і„ = Вц(п)-Би(п-1),п ^ 1,гдеВш = {Bm(t))t^0-фрактальное броуновское движение (§2Ь, гл. III), то оказывается, что асимптотически

Кп . ,

——=• имеет нетривиальное предельное (п —> оо) распределение, что, в не- о„п°

сколько вольной интерпретации, записывают в виде соотношения (14).

Напомним (см. §2с в гл. III), что для такого шума корреляция положительна, если Н > 1/2, и отрицательна, если Н < 1/2. Это обстоятельство объясняет, почему в первом случае говорят о наличии сохранения тенденции движения ("настойчивость" "persistence"; если в системе произошло возрастание, то велики шансы, что это возрастание будет продолжаться), "сильной памяти" "сильного последействия"

В работе [386] подчеркивается, что бытовавшее в литературе мнение, что в финансовых временных рядах наблюдается лишь случай Н > 1/2, не соответствует действительности. Случай Н < 1/2 также имеет место и он наблюдается в поведении величин возврата волатильности (см. п. 5 в § 2d, гл. III, и п. З в §4Ь), характеризуемом сильной перемежаемостью ("антинастойчивостью" "antipersistence") в значениях последовательности/^ (/г„)„> і-

Как уже отмечалось выше, при использовании 7^/<5-анализа для определения параметра Н в гипотетической зависимости (14) нужно, конечно, определить, насколько сделанные выводы о значении Н согласуются с моделью.

Иначе говоря, возникает обычный вопрос о надежности статистических выводов, в связи с чем и приходится обращаться к "критериям согласия" "критериям значимости" и т. п. из математической статистики.

Г, -

В этой связи следует отметить, что сложность статистики не

дает возможности найти удовлетворительные формулы ее вероятностных распределений при разных значениях п даже в предположении справедливости "нулевой" гипотезы Ж0. (Впрочем, в работе [8] рассматривается

с Кп с

вопрос о поведении среднего значения Ео——, где усреднение ho отвечает

<->п

предположению о справедливости гипотезы Жо.)

Отмеченная сложность объясняет широкое использование методов Монте-Карло (см., например, [317], [329], [385], [386]) в 7?/<5>-анализе, и, в частности, для определения того, насколько этот анализ дает удовлетворительное оценивание неизвестного значения EL

7.

7^/<5-анализ дает хорошие результаты в моделях, где последовательность h = (hn)n^i является последовательностью типа фрактального гауссовского шума (см. [317], [329], [385], [386]). При применении этого метода к иным моделям целесообразно, помимо рассмотрения статистик п -

(15)

простой визуальный анализ которых часто приводит к весьма содержательным статистическим выводам.

Основан этот анализ на той идее, что в случае белого шума (Н — 1/2) при больших п статистика V„ должна стабилизироваться (Vn —»• с, где с - некоторая константа, а сходимость понимается в том или ином подходящем вероятностном смысле).

Qn = -jr-, введение статистик

Если же h = (hn)n^i - фрактальныйгауссовскийшум с Н > 1/2, то значения V„ должны расти (с ростом п), и, наоборот, Vn должны убывать, еслиН < 1/2.

Имея это в виду, обратимся к простейшей модели - авторегрессионной модели первого порядка (ЛІ2(1))

hn — ао +a\\hn-\\ +en, n^l, (16)

поведение которой полностью определяется "шумовыми" величинами єп и начальным значением ho ¦

Если для этой модели образовать (по значениям h = (hn)n^.i) величины V = (Vn)„^i, то можно заметить, что они растут с ростом п. Но это вовсе не означает, что мы имеем модель типа фрактального гауссовского шума с Н > 1/2, по той простой причине, что этот рост может быть, в принципе, обусловлен не фрактальностью последовательности є = {єп)п^о, а наличием линейной зависимости в (16).

Поэтому, при выяснении "стохастической" природы последовательности є — (єп)п^і естественно оперировать не с величинами h {hn)n^i, а с линеаризованными величинами h° = (h„ )п^ьгде/і° = hn — (ao+aihn-i) и во и ai - некоторые оценки, вообще говоря, неизвестных параметров ао и ai.

Если, к примеру, промоделировать величины h = соглас

но (16), с белым гауссовским шумом є = (єп)п^і, то мы найдем, что новые величины V° = Vn(h°), построенные по h° = (Л° , ведут себя именно так, как это должно быть для фрактального гауссовского шума с Н = 1 /2. Следующий рисунок качественно иллюстрирует описанные явления:

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Inn Рис. 48. Статистики Vn(h), = Vn(h°) для модели ЛД(1). Математическое ожидание Ео ( ) подсчитывается при гипотезе Жо \\оПт/п j

Если рассматривать линейные модели МА(1), ARMA(1,1), тов качественном отношении сохраняется (см. [386; гл. 5]) картина, представленная на рис. 48.

В случае же нелинейных моделей ARCH, GARCH наблюдается иное

поведение реализаций V„ (h) и V„ (h°) по отношению к Ео ( 7;—I, п ^ 1

\\OnVn/

(см. рис. 49). Во-первых, Vn(h) и Vn(h°) ведут себя довольно-таки сход-ным образом, что можно интерпретировать как отсутствие линейной зависимости между величинами hn. Во-вторых, при не очень больших п гра

, п ^ 1, от

Sny/n

фики Vn(h) и Vn(h°) идут несколько выше кривой Ео

вечающей белому шуму, что можно трактовать как наличие "несильной настойчивости" в формировании величин (hn)n^i- В-третьих, с ростом п начинает проявляться эффект "антинастойчивости"

1.4--

1.2 - •

1.0--

0.8

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Inn Рис. 49. Статистики Vn{h) и V„ = Vn(h°) для модели ARCH( 1)

Замечание. Эта терминология ("настойчивость" "антинастойчивость" ...) правильно отражает суть дела в моделях типа фрактального гауссовского шума. Однако, ARCH, GARCH и родственные им нелинейные модели (§§ За, ЗЬ, гл. II) не являются ни фрактальными, ни автомодельными. Тем самым, требуется более тщательный анализ для объяснения обнаруживаемого эффекта типа "антинастойчивости" в этих моделях. Это тем более важно, что описанные и линейные, и нелинейные модели весьма популярны при анализе финансовых временных рядов и необходимо понимание того, какие локальные и глобальные временные свойства реальных данных могут "ухватываться" этими моделями.

8. В §2а, гл. I, говорилось, что исходной идеей М. Кендалла, [269], при

анализе цен акций и товаров было желание выявить в их поведении цикличность и наличие трендов.

Аналитики рынка, в особенности, представители "технического анализа" (§ 2е, гл. I), исходят прежде всего из того, что на рынке должна быть определенная цикличность, что на нем должны быть тренды, что динамика рынка носит ритмический характер.

Эти обстоятельства объясняют, почему при анализе финансовых рядов столь много внимания уделяется отысканию сходных, похожих участков в реализациях для того, чтобы использовать обнаруживаемую аналогию в их поведении для предсказания будущего движения пен.

Статистический S-анализ оказался весьма эффективным методом обнаружения не только описанных выше эффектов "последействия" "сильной памяти" "настойчивости" и "антинастойчивости" но и для обнаружения периодических и непериодических циклов. (См., например, [317], [319], [329], [385], [386].)

Классическим примером системы, где весьма четко видна непериодическая цикличность, является солнечная активность.

Как известно, удобным показателем этой активности являются числа Вольфа, составленные по числу "черных" пятен на поверхности Солнца. Соответствующие месячные данные имеются примерно за 150 лет, и простой визуальный анализ явным образом выявляет наличие 11-летнего цикла.

Результаты "R./S-анализа чисел Вольфа ([385; с. 78]) схематически пред-ставлены на рис. 50.

Оценка Н параметра Н приводит к величине 0.54, что свидетельствует о некоторой тенденции в сохранении активности ("настойчивости"). Из рис. 50 также четко видно, что в окрестности 11 лет картина поведения 1п( —] резко меняется - происходит стабилизация значений

\\ ) On

что можно объяснить наличием (одиннадпатилетнего) цикла солнечной активности. В самом деле, при наличии периодической или непериоди-ческой цикличности величина размаха на втором, третьем и т. д. циклах не может сильно возрасти по сравнению с той величиной, которая была получена на первом цикле. Точно так же и эмпирическая дисперсия, как правило, стационаризуется. Все это объясняет, почему 7^/<5-анализ пригоден для обнаружения циклических эффектов феноменов типа солнечной активности.

В заключение отметим, что при анализе статистических динамических систем обычно приходится иметь дело с двумя видами шумов: с "внутрен-

Рис. 50. H/S-анализ чисел Вольфа (п = 1 месяц, 2.12 = log10(12 • 11), hn = Хп — xn—i, хп - месячные числа Вольфа)

ним шумом" систем, собственно и определяющим их статистический характер (такова, например, стохастическая природа солнечной активности) , и "внешним шумом" являющимся, как правило, аддитивным шумом, возникающим в связи с ошибками измерений (например, при подсчете "черных пятен" кластеры из небольших пятен считаются за одно "пятно").

Имея в виду эти обстоятельства, следует подчеркнуть, что 7Z/«S-анализ является робастным по отношению к "внешнему шуму" что дополнительно делает его весьма эффективным методом исследования "внутренней" сто-хастической природы изучаемых статистических динамических систем.