§4Ь. анализ некоторых финансовых временных рядов

Мы уже не раз подчеркивали и еще раз отмечаем, что при анализе фи-нансовых данных крайне важно указывать тот временной интервал А, че- рез который инвесторы, трейдеры или другие агенты считывают данные.

временной интервал А и обозначать через hi величины hiд = In —— ,

*->(.-і)Д

где St - значение интересующего нас финансового показателя в момент t.

Замечание. Обширный материал относительно применений 1Z/iS-анализа к временным рядам, в том числе и финансовым, содержится в [317], [323], [325], [327], [329] и в более поздних публикациях [385], [386]. Приводимое далее сжатое изложение результатов соответствующего анализа следует, в основном, книгам [385] и [386].

2. Индекс Dow (D JIA; см. п. 6 в § lb, гл. I; статистические данные пуб-ликуются в "The Wall Street Journal" с 1888 г.). Будем предполагать А = 1 дн., 5 дн., 20 дн. Следующая таблица резюмирует результаты 72./Если рассматривать поведение статистики V„, то можно заметить, что ее значения сначала растут с ростом п, а затем (в случае А = 20 дн.) при п = 52 (т.е. через 1040 дн.) этот рост прекращается, что указывает на наличие цикличности в данных.

В случае анализа дневных данных (А = 1 дн.) статистика Vn растет примерно до п = 1250 дн., после чего ее поведение стационаризуется, что (ср. с рис. 49 в §4а) указывает на появление цикла (длительностью около четырех лет; это связывается обычно с четырехлетним периодом между президентскими выборами в США).

3.

Более тонкий 72./fit = 0.603, 0.590 и 0.653, (1)

что свидетельствует о тенденции "настойчивости" в движении индекса S&P500.

Sn ~

Интересно отметить, что переход от величин h„ = In — , S„ = Snд,

Sn-і

к линейно скомпенсированным значениям

h„ = hn — (ao + aihn-i)

показывает, что соответствуюпше значения оценок для Н уменьшаются (ср. с (1)):

Н = 0.551, 0.546 и 0.594,

что практически близко к тем средним значениям ЕоН(0.538,0.540,0.563), которые находятся по тому же самому числу наблюдений в предположении справедливости гипотезы Жо-

Все это говорит о том, что, видимо, на коротких временных интервалах традиционные линейные модели (даже такие простые, как ЛІ2(1)) могут хорошо описывать в первом приближении поведение индекса S&P500.

Это обстоятельство может служить объяснением довольно-таки рас-пространенного мнения об авторегрессионном характере высокочастотных внутридневных данных и того, что "внутридневные" трейдеры больше ре-агируют на результат последнего тика, нежели учитывают "долгую память" о предшествующих значениях для вынесения своих решений. Эта картина, однако, начинает меняться с увеличением временного интервала Д, определяющего "разрешающую" способность трейдеров. В частности, 7?/5-анализ, скажем, для Д = 1 мес., четко показывает наличие фрактальной структуры, проявляющейся в том, что значение Н, подсчитанное по 48 месяцам, довольно-таки велико: Н « 0.78 (по данным с января 1963 г. по декабрь 1989 г.; [385; гл. 8]).

Как уже объяснялось выше, большие значения параметра Харста свидетельствуют о наличии "настойчивости" которая может приводить к трендам и циклам.

В рассматриваемом случае даже простой визуальный анализ величин Vn четко показывает (ср.

Уместно будет сейчас также напомнить (см. § За), что для дневных данных индекса S&P500 величины гn = In J7" , где эмпирическая дисперсия

Сп-1

Эп определяется по формуле (8) из §3а, статистический 72./4. 7Z jS-анализ для акций позволяет не только определять их фрактальную структуру и выявлять наличие цикличности, но и производить для них сравнение с точки зрения их рискованности. Согласно данным, при-веденным в работе [385; гл. 8], параметр Харста Н = Н( -) и длительность цикла С = С( •) в месяцах для индекса S&P500 и ряда входящих в этот индекс компаний, имеют следующие значения:

H(S&P500) = 0.78, C(S&P500) = 46,

H(IBM) = 0.72, С(ІВМ) = 18,

Н(Apple Computer) = 0.75, C(Apple Computer) = 18,

Н(Consolidated Edison) = 0.68, ^Consolidated Edison) = 0.90.

Как мы видим, сам индекс S&P500 имеет параметр Харста, больший, нежели для составляющих его компаний. Видим также, что у Apple Computer параметр Н довольно высок (0.75) и заведомо больше, чем, скажем, у Consolidated Edison.

Отметим теперь, что при Н = 1 (стандартное) фрактальное броунов-ское движение В\\ (t) = где и ? - нормально распределенная случайная величина с нулевым средним и единичной дисперсией. У этого процесса В\\ = (Bi(t))t^0 вся "случайность" определяется величиной и ясно, что в классе всех фрактальных броуновских движений с параметром 0 < Н ^ 1 этот процесс является наименее "зашумленным" Тем самым, становится понятным, что при Н f 1 шумовая компонента у процессов Вщ становится "все меньше" а это находит свою "финансовую" интерпретацию в том, что модели, привлекающие для своего описания такие процессы, становятся (при Н 1) "менее рискованными" (Сформулированному утверждению об уменьшении шумовой компоненты можно придать строгий смысл в рамках слабой сходимости процессов Вщ к В^ при И f 1.

В работе [385] отмечается, что такая интерпретация (в терминах слабой сходимости) особенно привлекательна тогда, когда у рассматриваемых процессов большой параметр Харста Н, но дисперсия, лежащая в основе понятий риска, не определена.

Тот же факт, что у самого индекса S&P500 параметр Н большой, и, следовательно, оперирование с ценными бумагами, основанными на этом индексе, менее рискованно, нежели с акциями компаний, естественно объяс-няется диверсификацией (см. §2Ь, гл. I), уменьшающей шумовой фактор.

Замечание 1. Подчеркнем, что "меньший риск" здесь понимается как "меньший шум" "большая настойчивость" проявляющаяся в стремлении сохранить направление движения. Однако следует подчеркнуть и то, что в системах с большим Н присутствует возможность резкой смены направления движения. Так что вслед за серией длинных подъемов случаются и серии долгих спадов.

Замечание 2. Возвращаясь к данным значений Н и С для разных акций, следует отметить следующее наблюдение, сделанное в [385]: высокий уровень инноваций компаний, как правило, приводит к большим значениям Н и коротким циклам-, низкому же уровню инноваций отвечают малые значения Н и длинные циклы.

Облигации (bonds). 7^/<5-анализ месячных данных тридцатилетне-го T-Bond (Treasury Bond, США) за период с янтаря 1950 г. по декабрь 1989 г. (см. [385; гл. 8]) также дает довольно-таки высокий уровень пара-метра фрактальности Й я 0.68 с цикличностью примерно в пять лет.

Обменные курсы валют. Есть большие различия между обменными курсами валют и между такими финансовыми показателями, как индексы Dow, S&P500, цены акций, облигаций и др.

Дело в том, что, скажем, покупка или продажа акций напрямую связаны с инвестированием в ту область, к которой относятся эти ценные бумаги. Иное дело валюта - ее покупка или продажа направлена на создание возможностей для последующего расширения производства, потребления и т.

(таких как, скажем, интервенции, изменение процентных ставок и др.).

Эти факторы, конечно, накладывают свой отпечаток на статистические свойства обменных курсов, на их динамику.

Одной из важных характеристик, позволяющих судить о степени изменчивости обменных курсов, является Д-волатильность, определяемая по-

д

средством приращений |НкА ~ Н(к-1)л\\, где Ht = In — и St - значение

¦bo

обменного курса (см., например, формулу (5) в § 1с).

В этой связи следует подчеркнуть, что рассмотренные выше статистики

^ Кп

7с„ и —— также по своему смыслу являются характеристиками Изменяя

чивости, "размаха" процесса Н = (Ht)t^o,и поэтому не удивительно, что анализ также обнаруживает многие уже описанные в предшествующих разделах свойства обменных курсов.

В отличие от финансовых показателей типа индексов Dow, S&P500, в эволюции обменных курсов четко прослеживается фрактальная струк-тура (по крайней мере, для малых Д > 0) и тенденция ее сохранения со временем.

Обнаруживается это простым анализом поведения статистик In —^-

<->п

как функций от In п с применением метода наименьших квадратов, который

, Нп _ ,

показывает, что значения In п ^ 1, хорошо группируются вдоль пря-

Ьп

мой с+Й In п, где параметр Й для большинства валют имеет значение заве-домо большее, нежели 1 /2. Так, для обменного курса японской иены по отношению к доллару H(.JRY/USD) « 0.64. Аналогично, H(DEM/USD) ~ 0.64, H(GBP/USD) и 0.61.

Все это говорит о том, что эти обменные курсы обладают фрактальной структурой с довольно-таки большим значением параметра Харста. В этой связи полезно напомнить, что для фрактального броуновского дви-жения Ей"2 растет как |4|2И. Поэтому при Н > 1/2 разброс в значениях |Ht | больше, нежели для обычного броуновского движения, что, конечно, значительно увеличивает риск операций с валютами с ростом времени. Видимо, это объясняет, почему в случае валют предпочтение отдается не долгосрочным операциям, а активному краткосрочному трейдингу.