§ 3. Анализ стационарности временных рядо
Анализ стационарности проводится на основании расширенного теста Дики-Фуллера и теста Филлипса-Перрона. Мы отдаем предпочтение этим тестам, поскольку их нулевая гипотеза состоит в наличии у исследуемого ряда единичного корня.
Как следствие, отвержение нулевой гипотезы в пользу стационарности ряда будет существенным результатом. В то же время известно, что тест Дики-Фуллера, вообще говоря, обладает малой мощностью, т.е. часто может наблюдаться ситуация неотвержения нулевой гипотезы, когда она неверна. Тест Филлипса-Перрона на малых выборках еще менее надежен. Поэтому в случае получения неоднозначных и противоречащих здравому смыслу результатов мы будем использовать тест KPSS (Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin); его нулевая гипотеза, напротив, состоит в том, что исследуемый ряд является стационарным.Ряд LNM0 графически изображен на рис. 11. Визуально его поведение можно охарактеризовать, скорее, как поведение нестационарного ряда. Кроме того, в данных присутствует детерминированная сезонность. Анализ коррелограммы ряда LNM0 (см. приложение А, табл. А-1) свидетельствует о нестационарности ряда, поскольку не наблюдается экспоненциальное убывание выборочной корреляционной функции.
Результаты расширенного теста Дики-Фуллера и Филлипса- Перрона подтверждают наше предположение о нестационарности ряда логарифмов денежной массы М0. Гипотеза о наличии единичного корня в ряде LNM0 не противоречит данным, в то время как гипотеза о наличии единичного корня в ряде разностей LNM0 отвергается данными (см. табл. 6).
Таблица 6
Результаты проверки ряда LNM0 на стационарность
в разностях
Стационарность в разностях | Значение статистики | Критическое значение при уровне значимости 0.05[96] |
Расширенный тест Дики-Фуллера | -2.35 | -1.95 |
Тест Филлипса-Перрона | -7.05 | -1.95 |
В то же время есть основания полагать, что помимо единичного корня ряд LNM0 может содержать сезонные корни.
Об этом свидетельствуют результаты разложения ряда в авторегрессионную модель AR(4) (т.е. регрессия на четыре запаздывающих значения), представленные в табл. 7. Мы видим, что ряд имеет четыре корня, по модулю близкие к единице.Таблица 7
Результаты разложения ряда LNM0 в модель AR(4)
Оценки величин, обратных к корням авторегрессии | 1.01 | -0.00+1.01i | -0.00-1.01i | -1.01 |
| Оцененный процесс авторегрессии является нестационарным |
По своему поведению ряд LNM1 напоминает ряд LNM0 (см. рис. 11). Анализ графика позволяет предположить, что ряд LNM1 является нестационарным. При этом мы можем наблюдать детерминированную сезонность в данных. Коррелограмма ряда LNM1 (см. приложение А, табл. А-2) также указывает на нестационарность ряда.
Результаты проверки свойств ряда расширенным тестом Дики- Фуллера свидетельствуют о том, что гипотеза о наличии единичного корня в ряде разностей LNM1 отвергается (см. табл. 8) и не отвергается в самом ряде LNM1.
Таблица 8
Результаты проверки ряда LNMI на стационарность
в разностях
Стационарность в разностях | Значение статистики | Критическое значение при уровне значимости 0.05 | |
С константой | Расширенный тест Дики-Фуллера | -3.25 | -2.91 |
| Тест Филлипса-Перрона | -6.09 | -1.95 |
Аналогично результаты теста Филлипса-Перрона говорят о том, что ряд LNM1 нестационарен в уровнях и стационарен в разностях (см.
табл. 8). Представление ряда LNM1 авторегрессионной моделью AR(4) дает следующий результат (см. табл. 9).Таблица 9
Результаты разложения ряда LNMI в модель AR(4)
Оценки величин, обратных к корням авторегрессии | 1.01 | -0.00+1.01i | -0.00-1.01i | -1.01 |
| Оцененный процесс авторегрессии является нестационарным |
Этот результат, аналогично предыдущему случаю, может свидетельствовать о наличии сезонных единичных корней в ряде логарифмов денежной массы М1.
Ряд LNM2 графически изображен на рис. 11. Визуальный анализ позволяет сделать предположение о том, что ряд LNM2 является нестационарным. Аналогично другим денежным агрегатам исследуемый ряд обладает сезонностью. Вид коррелограммы ряда LNM2 (см. приложение А , табл. А-3) характерен для нестационарного ряда.
Результаты расширенного теста Дики-Фуллера и теста Филлипса- Перрона говорят о том, что ряд разностей LNM2 стационарен (см. табл. 10). Отметим, что значение статистики Дики-Фуллера находится на грани критического значения отвержения/неотвержения нулевой гипотезы.
Таблица 10
Результаты проверки ряда LNM2 на стационарность в разностях
Стационарность в разностях | Значение статистики | Критическое значение при уровне значимости 0.05 | |
С константой | Расширенный тест Дики-Фуллера | -1.9475 | -1.9465 |
| Тест Филлипса- Перрона | -4.99 | -1.95 |
Представление ряда LNM2 в виде авторегрессионной модели AR(4) указывает на то, что ряд может содержать в себе сезонные
единичные корни (см.
табл. 11).Таблица 11
Результат разложения ряда LNM2 в модель AR(4)
Оценки величин, обратных к корням авторегрессии | 1.01 | 0.00+1.01І | -0.00-1.01i | -1.01 |
| Оцененный процесс авторегрессии является нестационарным |
График ряда LNBROADM показан на рис. 11. Визуально его поведение говорит, скорее, о нестационарности ряда. При этом нет существенных оснований для предположения детерминированной сезонности в ряде. На основании анализа коррелограммы ряда LNBROADM (см. Приложение А, табл. А-4) мы предполагаем неста- ционарность ряда (ввиду отсутствия быстрого убывания выборочной корреляционной функции).
Результаты применяемых нами тестов говорят о том, что гипотеза о наличии единичного корня в ряде разностей LNBROADM отвергается (см. табл. 12), а в ряде уровней не отвергается.
Таблица 12
Результаты проверки ряда LNBROADM на стационарность
в разностях
Стационарность в разностях | Значение статистики | Критическое значение при уровне значимости 0.05 | |
с константой | Расширенный тест Дики-Фуллера | -3.02 | -2.92 |
| Тест Филлипса- Перрона | -4.14 | -1.95 |
Разложение ряда LNBROADM, используя модель AR(4), свидетельствует об отсутствии случайной сезонности в данных (см. табл. 13). Однако это не является доказательством отсутствия у ряда LNBROADM сезонных корней.
Таблица 13
Результат разложения ряда LNBROADM в модель AR(4)
Оценки величин, обратных к корням авторегрессии | 1.01 |
| Оцененный процесс авторегрессии является нестационарным |
Таким образом, вышеприведенный анализ позволяет прийти к выводу о том, что ряды логарифмов денежных агрегатов являются рядами типа I(1) и, возможно, содержат также сезонные единичные корни.
График ряда LNP изображен на рис. 12. Визуально его поведение свидетельствует о явной нестационарности ряда и позволяет предположить, что ряд LNP содержит в себе два единичных корня или стационарен в разностях около константы и тренда. Анализ коррело- граммы ряда LNP (см. приложение А, табл. А-5) однозначно свидетельствует о нестационарности ряда.
Результаты расширенного теста Дики-Фуллера и теста Филлипса- Перрона позволяют отвергнуть гипотезу о том, что ряд разностей LNP содержит в себе единичный корень (см. табл. 14), при этом гипотеза о наличии единичного корня в ряде в уровнях не отвергается.
Таблица 14
Результаты проверки ряда LNP на стационарность в разностях
Стационарность в разностях | Значение статистики | Критическое значение при уровне значимости 0.05 |
Расширенный тест Дики-Фуллера | -3.98 | -1.95 |
Тест Филлипса-Перрона | -3.93 | -1.95 |
При этом дополнительное разложение ряда LNP в модель AR(4) дает основания предполагать отсутствие в ряде сезонных единичных
корней (см. табл. 15).
Таблица 15
Результат разложения ряда LNP в модель AR(4)
Оценки величин, обратных к корням авторегрессии | 1.02 |
| Оцененный процесс авторегрессии является нестационарным |
То есть мы приходим к выводу о том, что ряд логарифмов ИПЦ, вероятно, является интегрированным первого порядка.
Ряд LNRGDP графически изображен на рис. 13. Визуально сложно сделать вывод о том, является ли ряд TS или DS, так как в данных присутствует явно выраженная детерминированная сезонность (основные пики приходятся на III квартал). Исходя из коррелограммы ряда LNRGDP (см. приложение А, табл. А-6), мы приходим к выводу о том, что ряд нестационарен.
Результаты расширенного теста Дики-Фуллера отвергают гипотезу о том, что ряд разностей LNRGDP содержит в себе единичный корень (см. табл. 16). При этом гипотеза о наличии единичного корня в этом ряде в уровнях не отвергается.
Таблица 16
Результаты проверки ряда LNRGDP на стационарность
в разностях
Стационарность в разностях | Значение статистики | Критическое значение при уровне значимости 0.05 |
Расширенный тест Дики-Фуллера | -2.81 | -1.95 |
В свою очередь, результаты теста Филлипса-Перрона говорят о том, что ряд LNRGDP стационарен в уровнях с константой и трендом (см. табл. 17).
Таблица 17
Результаты проверки ряда LNRGDP на стационарность в уровнях
Стационарность в уровнях с константой и трендом | Значение статистики | Критическое значение при уровне значимости 0.05 |
Тест Филлипса-Перрона | -4.89 | -3.48 |
Поэтому мы дополнительно применили тест KPSS. Было обнаружено, что результаты теста KPSS (см. табл. 18) отвергают гипотезу о стационарности ряда LNRGDP в уровнях (с константой, с константой и трендом) и не отвергают гипотезу о стационарности ряда LNRGDP в разностях (с константой).
Таким образом, мы склоняемся к выводу о том, что ряд логарифмов реального ВВП является рядом I(1). Дополнительное разложение ряда LNRGDP в модель AR(4) дает следующий результат (см. табл. 19).
Таблица 18
Результаты проверки ряда LNRGDP на стационарность в уровнях и в разностях тестом KPSS
KPSS | Значение статистики | Критическое значение при уровне значимости 0.05 |
Стационарность в уровнях с константой и трендом | 0.155 | 0.146 |
Стационарность в разностях с константой | 0.12 | 0.46 |
Таблица 19
Результат разложения ряда LNRGDP в модель AR(4)
Оценки величин, обратных к корням авторегрессии | 1.00 | 0.00+1.00i | -0.00-1.00i | -1.00 |
| Оцененный процесс авторегрессии является нестационарным |
Это свидетельствует о том, что ряд логарифмов реального ВВП может содержать в себе сезонные единичные корни.
График ряда MBC изображен на рис. 10. Такое поведение может свидетельствовать как о стационарности, так и нестационарности ряда. Вид коррелограммы ряда MBC (см. приложение А, табл. А-7) свидетельствует, скорее, о нестационарности ряда.
В то же время результаты расширенного теста Дики-Фуллера и Филлипса-Перрона говорят о том, что гипотеза о наличии в ряде MBC единичного корня отвергается (см. табл. 20).
Таблица 20
Результаты проверки ряда MBC на стационарность в уровнях
Стационарность в уровнях | Значение статистики | Критическое значение при уровне значимости 0.05 |
Расширенный тест Дики-Фуллера | -6.71 | -1.95 |
Тест Филлипса- Перрона | -6.73 | -1.95 |
Разложение ряда MBC в модель AR(4) свидетельствует о том, что ряд не содержит в себе сезонные корни (см. табл. 21 ).
Ряд DEPOSIT графически изображен на рис. 10. Такое поведение и вид коррелограммы ряда (см. приложение А, табл. 8) свидетельствуют в пользу стационарности ряда.
Результаты формальных тестов показывают, что гипотеза о наличии в ряде единичного корня отвергается данными (см. табл. 22).
Таблица 21
Результат разложения ряда MBC в модель AR(4)
0.80
0.00-.80i
Оценки величин, обратных к корням авторегрессии
Таблица 22
Результаты проверки ряда DEPOSIT на стационарность в уровнях
Стационарность в уровнях | Значение статистики | Критическое значение при уровне значимости 0.05 | |
С константой | Расширенный тест Дики-Фуллера | -5.08 | -2.92 |
| Тест Филлипса- Перрона | -7.49 | -1.95 |
Разложения ряда DEPOSIT в авторегрессионную модель AR(4) указывает на отсутствие в ряде сезонных единичных корней (см. табл. 23).
Таблица 23
Результат разложения ряда DEPOSIT в модель AR(4)
Оценки величин, обратных | 0.87 | 0.00+0.87i | -0.00-0.87i | -0.87 |
к корням авторегрессии |
|
|
|
|
Ряд CREDIT графически изображен на рис. 10. Поведение ряда и вид его коррелограммы (см. приложение А, табл. А-9) позволяют предположить, что ряд стационарен.
Результаты расширенного теста Дики-Фуллера и Филлипса-Перрона также показывают, что ряд CREDIT стационарен (см. табл. 24).
Таблица 24
Результаты проверки ряда CREDIT на стационарность в уровнях
Стационарность в уровнях | Значение статистики | Критическое значение при уровне значимости 0.05 |
Расширенный тест Дики-Фуллера | -3.43 | -1.95 |
Тест Филлипса- Перрона | -6.80 | -1.95 |
Разложение ряда CREDIT в авторегрессионную модель AR(4) не дает оснований предполагать наличие в ряде сезонных единичных
корней (см. табл. 25).
Таблица 25
Результат разложения ряда CREDIT в модель AR(4)
Оценки величин, обратных | 0.88 | -0.00+0.88І | -0.00-0.88i | -0.88 |
к корням авторегрессии |
|
|
|
|
Ряд DKYRS графически изображен на рис. 10. Его поведение и коррелограмма (см. приложение А, табл. А-10) однозначно свидетельствуют в пользу стационарности ряда.
Результаты расширенного теста Дики-Фуллера и Филлипса- Перрона отвергают гипотезу о наличии в ряде DKYRS единичного корня (см. табл. 26).
Таблица 26
Результаты проверки ряда DKYRS на стационарность в уровнях
Стационарность в уровнях | Значение статистики | Критическое значение при уровне значимости 0.05 |
Расширенный тест Дики- Фуллера | -6.59 | -1.95 |
Тест Филлипса-Перрона | -6.60 | -1.95 |
Разложение ряда DKYRS в авторегрессионную модель AR(4) не дает оснований предполагать, что ряд содержит сезонные корни (см.
табл. 27).
Таблица 27
Результат разложения ряда DKYRS в модель AR(4)
Оценки величин, обратных | 0.46 | 0.00-0.46i | -0.00+0.46І | -0.46 |
к корням авторегрессии |
|
|
|
|
Ряд INFL представлен на рис. 10. Поведение ряда и его коррелограмма (см. приложение А, табл. А-11) свидетельствуют в пользу стационарности ряда.
Результаты расширенного теста Дики-Фуллера и Филлипса- Перрона отвергают гипотезу о наличии в ряде INFL единичного корня (см. табл. 28).
Разложение ряда INFL в авторегрессионную модель AR(4) указывает на отсутствие в ряде инфляции сезонных корней (см. табл. 29).
Таблица 28
Результаты проверки ряда INFL на стационарность в уровнях
Стационарность в уровнях | Значение статистики | Критическое значение при уровне значимости 0,05 |
Расширенный тест Дики-Фуллера | -5.14 | -1.95 |
Тест Филлипса-Перрона | -5.14 | -1.95 |
Таблица 29
Результат разложения ряда INFL в модель AR(4)
0.73
0.00-0.73i
Оценки величин, обратных к корням авторегрессии
Сводные данные о порядке интегрируемости исследуемых нами рядов представлены в табл. 30.
Таблица 30
Выводы о порядке интегрированности рядов
Ряды | LNM0, LNM1, LNM2, LNBROADM, LNP, LNRGDP | MBC, DEPOSIT, CREDIT, DKYRS, INFL |
Выводы на основе тестов Дики-Фуллера, Филлипса-Перрона и KPSS | I(1), т. е. стационарны в разностях | I(0), т.е. стационарны в уровнях |
Полученные результаты согласуются с исследованиями спроса на деньги в России других авторов. Ряды логарифмов денежных агрегатов, цен и выпуска обычно нестационарны - это подтверждает анализ не только российских, но и мировых данных[97]. Результаты о (не) стационарности рядов альтернативной стоимости хранения денег отличаются для разных стран и определяются также протяженностью анализируемого периода. Тот факт, что ряды процентных ставок, инфляции и изменения обменного курса в России стационарны с ненулевым средним, согласуется с экономической теорией. Если бы мы получили, что эти ряды относятся к типу 1(1), это бы означало, что в какой-то момент времени такой ряд почти наверное достигает как экстремально высоких положительных значений, так и экстремально низких отрицательных. Как известно, такое поведение ряда не согласуется с исторической динамикой процентных ставок.