Сглаживание временных рядов

11 редварите 1 ыIы 1*( анализ временных рядов экономических доказателен заключается в выявлении аномальных значений уривией ряда, ко- т орт не соо свете гоуют реальным возможностям рассматриваемой экономической системы, а также в определении наличия тренда.

Наиболее распристраненным приемом для устранения аномальных значений показателей и по угстаия тенденции временного ряда является сглаживание временного ряда При этом производится замена фактических уровней временного ряда расчетными, что способствует более четкому проя] тению тенденции ряда. Сглаживание временного ряда является одним из методов теории математических фильтров, имеющей дело с фи )г.рацией высокочастотных «шумов**.

Скользящие средние позволяют сгладить случайные и периодические колебания временного рхла

Сглаживание по простой скользящей средней

Наиболее распространенной процедурой сглаживания является метод простой Сколымщей средней. Сначала для временного ряди определяется интервал сглаживания {#). Если необходимо сгладить мелкие колебания, то интервал сглаживания берут по возможности большим, если нужно сохранить более мелкие колебания, то интервал сглаживания уменьшают. Для первых (#) уровней временного ряда вычисляется их среднее арифметическое значение. Это будет сглаженное зна

чение уровня ряда, находящегося к середине интервала отлаживания. Затем интервал сглаживания сдвигается на одни уровень вправо, повторяется вычисление средней арифметической и т. д. Б результате такой процедуры получим ряд сглаженных значений, при этом в зависимости ОТ (/*) первые и последние уровни теряются.

Длину интервала сглаживания () удобно братьи виде нечетного числа. в этом случае расчетное значение скользящем средней будет приходиться на средний интервал ряда.

Метод простой скользящей средней дает хорошие результаты в динамических рядах с линейной тенденцией развития.

Сглаживание с использованием взвешенной скользящей средней Для рядов с нелинейной тенденцией развития необходимо попменять метод взвешепгюй скользящей средней. Этот метод отличается от метода простои скользящей средней тем, что уровни, входящие в интерва/ сглаживания, суммируются с разными весами. Для полиномов 2-го и 3-го порядков по 5-членной взвешенной скользящей средней центральное значение интервала определяется по формуле

Весовые коэффициенты при сглаживании по лоднномам 2-го и 3-го порядков в зависимости от длины интервала сглаживания представлены в табл. 18.4.

Таблица 18 4

414 Глава 18. Прогнозирование экоюми .еских процессов

Пример 5.

По данным динамики урожайности за ] 0 лет, приведенным в таблице, рассчитать:

•

3-, 5-летние скользящие средние простые;

и т. д.

Найдем 5-летпие скользящие средние простые (формулы, аналогичные (18.7) >:

При сравнении значений ус 3- и 5-летних скользящих простых видно, что более гладкой является 5-летняя скользящая простая.

При сравнении значений у, 5-летних скользящих простых и взвешенных видно, что более гладкой является скользящая простая, но скользящая взвешенная болге близка к исходной.

Экспоненциальное сглаживание

Выравнивание временных рядов может бьпь произведено методом экспоненциального сглаживания.

где а — параметр сглаживания, 0степени

на і рафике (рис. 18.1} изоОражается в виде прямой и непользется для описания процессов, развивающихся равномерно во времени.

Полином второй степени

на графике (рис. 18.2) изображается в ьпде параболы и применяется в тех случаях, когда процесс развивается равноускоренно. Если а2 > О,

то ветви параболы направлены вверх, в случае ог < 0 — вниз.

Полином третьей степени [7]

Релснпе системы, Т. е. нахождение коэффициентов системы Щ И (Ї., производится по формулам Крамера.

Систему нормальных уравнений можно упростить и уменьшить абсолютные значения величин, если перенести начала координат в середину ряда динамики. Р.спи ло переноса начало координат (равно 1,2,3. то после переноса получим:

• для четною числа членов ( = -5. -З, —1, 1, 3, 5...,

Аналогично определяются коэффициенты полинома в юрой степени (параболы), которые после переноса начала координат в середину ряда динамики имеют вид

Показательная кривая (рис. 18,4) имеет следующий вид.

Если Ь > 1. то кривая растет с ростом Г и падает, если Ь < 1. Параметр а характеризует начальные условия, а параметр Ь — постоянный теми роста

Прологарифмировав это выражение, получим: 37*

Обозначим А = log a, B = ogh. тогда ogy, = А + tB. Для оценивания неизвестных параметров можно использовать систему нормальных уравнении для прямой и найти параметры А и В. Зная значения .1=log(/ и В = log/), путем по ген нітрованая определим значення о и /).

Следует иметь в виду, чго полученные таким образом оценки параметров показательной кривой оказываются смешенными в связи с, тем, что в расчете участвуют не исходные данные, а их логарифмы. Причем смешение будет тем значьте тьнее, чем больше разность между соседними уровнями заданного ряда.

Рассмотренные типы кривых используются для описания монотонно возрастающих пли убывающих процессов без насыщения. Пон мерим кривой с насыщением является модифицированная экспонента (рис.

где у -- к - горизонтальная асимптота

Коэффициент к может быть определен исходя из свойств прогнозируемого процесса или задан экспертным путем. В этом случае параметры кривой потуг быть определены с помощью метода наименьших квадратов после приведения уралнення к линейному виду

где к, — заданное значение асимптоты После логарифмирования этого выражения пизучаем:

Используя спетому нормальных уравнений, можно найти параметры log а и log ft, потенцирование которых определяет а и ft. Если параметр а отpniuселен, то асимптота расположена выше кривой. В экономических процессах чаще всею і к; пользуется рлу.ч;ш, когда a ао. Конфигурация I рафика логистической кривой близка к графику кривой Гомверна, но в отличие от нее логистическая кривая имеет точку симметрии, совпадающую с тачкой пере!нйа. С помощью этой функции хорошо описывается развитие нового производства. В начале производства нового вила товара технические средства производства еще недостаточно разработаны, издержки производства высоки и спрос на товар мал. В дальнейшем, с увеличением спроса и усовершенствованием технических методов изготовления, производство товаров увеличивается. Наступает насыщение товаров на рынке, рост производства замедляется и наступает стабилизация выпуска товаров на определенном уровне.

Рассмотренные кривые роста, наиболее часто используемые в ако- помических исследованиях, могут оказан, помощь при выборе типа кривой.

Существует ряд подходов, облегчающих выбор кривой роста. Это. и первую очередь, статистические методы, например, метод последовательных разностей, метод характеристик прироста. Часто кривую роста выбирают исходя из значений критерия, в качестве которого принимают минимальное знач ет ше су м м ы к натра го в откло! ют т ■ I и фак- гических значении уровня от расчетных.

Однако нельзя недооценивать наиболее простой метод — визуальный. Подбирают кривую роста, форма которой соответствует реальному процессу, бели на графике временного ряда недостаточно просматривается тенденция р.наития, го следует провести сглаживание ряда и затем подобрать кривую, < оответствующую новому ряду, При атом целесообразно использовать современные пакеты компьютерных программ.

Пример 7.

Пп данным месячных выпусков продукции фирмы за 8 месяцев рассчитать:

• коэффициенты «[, и д, линейного тренда н прогноз на месяц вперед

■ коэффициенты параболического тренда а0, д„ а2 и прогноз па месяц

Решение

Для расчета коэффициентов линейного и параболического трендов воспользуемся выражениями, полученными из системы нормальных уравнений Перенесем начало координат (г\'). Необходимые вычисления занесем в таблицу.

1 Линейный тренд.

Таким образом, величина среднего уровня ряда при 1 = 0 составляет 3079.25, < реднемесячное уменьшишь выпуска продукции составляет 48,01.

18.3.2.