2.8. Моделирование уклона волатильности на данном наборе опционов

Существует множество моделей, интерпретирующих поведение волатильности в зависимости от страйка опционов. Среди самых популярных моделей можно отметить модель Мертона (диффузии – скачка), стохастическую модель волатильности Хестона, модель локальной волатильности Дюпьира .

При построении кривой уклона волатильности в зависимости от страйков опционов, торгуемых на рынке FORTS будет использован метод математической аппроксимации. Данный метод позволяет получить достаточно точную структуру уклона волатильности и использовать полученную функцию волатильности при выпуске внебиржевых европейских опционов со страйками, отличными от страйков биржевых опционов на рынке FORTS.

Волатильность каждого торгуемого опциона для опционов типа колл и пут находится по методу Ньютона–Рафсона, используя следующие предпосылки:

1. Каждому страйку из шести биржевых опционов колл на фьючерс РАО«ЕЭС» должна соответствовать внутренняя волатильность, определяемая по процедуре Ньютона-Рафсона (см. п.2.6.2.):

              SC = (SC1, SC2, SC3, SC4, SC5, SC6), SC1 lt; … lt; SC6 ,                     (53)

              VC = (VC1, VC2, VC3,VC4, VC5, VC6),                                            (54)

             VC1 =NewtonRaphsonCollectorVol (c, M, S, T, R, P1),            (55)

:                     :                        :

              VC6 = NewtonRaphsonCollectorVol (c, M, S, T, R, P6).           (56)

2. Аналогично, каждому страйку из шести  биржевых опционов пут на фьючерс РАО «ЕЭС» должны соответствовать внутренние волатильности, найденные также по процедуре Ньютона–Рафсона:

               SP = (SP1, SP2, SP3, SP4, SP5, SP6), SP1 lt; … lt; SP6                         (57)

               VP = (VP1, VP2, VP3, VP4, VP5, VP6),                                           (58)

               VP1 =NewtonRaphsonCollectorVol (p, M, S, T, R, Q1),          (59)

:                     :                        :

               VP6 = NewtonRaphsonCollectorVol (p, M, S, T, R, Q6).          (60)

Получается множество волатильностей V, состоящее из множеств внутренних волатильностей опционов колл VC и пут VP.

Решением задачи моделирования функции уклона волатильности будет использование математических методов аппроксимации и сглаживания данных по точкам для нахождения оптимального уравнения V(S), со степенью «n» и «R2» близким к 1. Данная процедура может быть проведена в программном продукте EXCEL,использую функцию «Формат линии тренда».

Функцию уклона волатильности следует аппроксимировать исходя из уменьшенных в 10000 раз страйков биржевых опционов, сохраняя без изменения значения соответствующие им внутренние волатильности биржевых опционов. Для нахождения корректных значений волатильности для различных страйков в найденное уравнение функции уклона волатильности следует подставлять также уменьшенные значения страйков. Подсчитанные значения волатильности для уменьшенных страйков будут верны и для обычных страйков.   Данная процедура производиться для уменьшения порядка ошибки аппроксимации данных.

Возможные варианты степенных функций выглядят следующим образом:

1. Линейная функция внутренней волатильности (61) со степенью n = 1 для уменьшенных в 104 раз страйков биржевых опционов:

                       V(S/104) = a • (S/104) +b                                                  (61)

Рис.2.5. Линейная функция уклона волатильности V(S) в зависимости от уменьшенных в 104 раз страйков биржевых опционов S

2.  Квадратичная функция внутренней волатильности (62) cо степенью n = 2 для уменьшенных в 104 раз страйков биржевых опционов:

               V(S/104) = a•(S/104)2+b•(S/104) +c                                           (62)

Рис.2.6.

3. Кубическая функция  внутренней волатильности (63) степени n = 3 для уменьшенных в 104 раз страйков биржевых опционов:

           V(S/104) = a•(S/104)3+b•(S/104)2+ c•(S/104) +d                            (63)

Рис.2.7. Кубическая функция уклона волатильности со степенью n=3 для уменьшенных в 104 раз страйков биржевых опционов

Значительное увеличение степени многочлена существенно не улучшает «R2», поэтому выбор способа аппроксимации функции уклона волатильности осуществляется на основе баланса между ее сложностью (степень многочлена) и величиной «R2».

Конечную функцию уклона волатильности V(S) следует включить в VBA коды модели Блэка-Шоулса европейских опционов колл  BSСallValue (M,S,R,T,V(S))и европейских опционов пут BSPutValue (M,S,R,T,V(S)). Практически значения волатильностей для различных значений страйков выпускаемых внебиржевых опционов находятся с помощью встроенной функции ПРОСМОТР (S;V(S)) или в английской версии EXCEL VLOOKUP (S;V(S)), которая выбирает значение волатильности по конечной функции волатильности соответствующее страйку выпускаемого опциона.