§ За. Волатильность. Определение и примеры

Если Sn = SoeHn, Но = 0, причем АНп = аєп, п ^ 1, где (єп) - белый гауссовский шум, єп ~ JY(0,1), то под волатильностью понимают ес-тественную здесь меру неопределенности и изменчивости - стандартное отклонение а.

Напомним, что если случайная величина ? ~ СГ2), то

Р(К-м|<<г)и0.68 (1)

и

Р(|4-МІ <1-65 а) «0.90. (2)

Таким образом, примерно в 90 % случаев можно ожидать, что результат наблюдения над ? будет отклоняться от среднего значения /і не больше, чемна 1.65 ст.

В схеме "5„ = Sn-iehn" величины hn обычно малы и поэтому

Sn ~ ?«-1(1 + hn)-

Следовательно, если hn = сгє„, то можно утверждать, что при знании цены S„_ і "сегодня" ее значение Sn "завтра" в 90% случаев будет лежать в интервале [5„_i(l — 1.65cr), Sn_i(l + 1.65сг)] и, значит, только примерно в 5% случаев Sn будет больше Sn_i(l + 1.65сг) ив 5% случаев - меньше 5„_i(l - 1.65ег).

Замечание 1.

2. Рассмотренная гауссовская модель "/іп = сгє„, n ^ 1" как мы уже видели раньше, весьма далека от реальности. Более реалистичны услов- но-гауссовские модели типа "/г„ = сгпєп, п ^ 1" где последовательность с = (сп)п^і является случайной последовательностью, причем сг„ - 3-п-\\-измеримы, а єп - 3-п-измеримы, где (&п) ~ поток "информации" (например, о значениях цен; подробнее см. § 2а в гл. I).

По установившейся традиции последовательность а = (сгп)п^ і принято также называть последовательностью волатильностей (в рассматриваемой модели), случайный характер которых выражают словами, что "волатильность сама по себе волатильна" Заметим, что

E(h2n |3W) = a2 (3)\'

и последовательность Н = (Нп со значениями Нп = h\\-{ 1- hn,

E\\hn\\2 < оо, п ^ 1, является квадратично интегрируемым мартингалом с квадратической характеристикой

п

(Я)п = ^Е(4|^_г), п>1. (4)

к=1

Согласно (3),

п

(H)n = Y°l (5)

к= 1

поэтому квадратическую характеристику

(Н) = ({Н)п,#п)п>1

естественно называть волатильностью последовательности Н.

ЕЯ2 = Е(Я)П. (6)

3. В случае моделей ARCH{p)

р

(см. § За в гл. II).

Тем самым, для таких моделей проблема оценивания волатильнос- тей ап сводится к параметрической задаче оценивания коэффициентов a0,ai,...,ap.

Существуют и иные, непараметрические, например, методы оценивания волатильности. Так, если hn = + сгп?п, ті ^ 1, где р = (рп) и а = (сгп) - стационарные последовательности, то естественной оценкой для сгп является стандартная оценка

- 1 " где hn = - Y1 hk.

п k=i ^

Интересно отметить, что эмпирическую волатильность а = (<тп)п^і

(9)

~ і ^ с

rn = In , п > 2.

Многочисленные наблюдения и публикации (например, [386; гл. 10]) показывают, что величины логарифмического возврата г = (rn)n^2 весьма быстро меняют свои значения, что указывает на отрицательную коррелированность значений г„ и гп+і, п ^ 2. Если взять, к примеру, индекс S&P500 и к соответствующим величинам г — (rn)n^2 применить 7?/<5>-анализ (см. §2а, гл. III, и раздел 4 настоящей главы), то эффект отрицательной коррелированности будет подтверждаться в полной мере. При этом, в первом приближении величины г = (гп) можно считать гауссовскими, и поэтому их отрицательная коррелированность (вместе с наблюдаемыми свойствами автомодельности) может рассматриваться как аргумент в пользу того, что эта последовательность есть фрактальный шум с параметром Харста И < 1/2. (Согласно [386], для индекса S&P500 параметр И и 0.31.)

можно также рассматривать как некоторый финансово-статистический индекс и применять для его анализа ту же самую методологию и технику, что и при исследовании самих цен S = (Sn)n^i ¦ С этой целью введем величины

4. Осознанию важности понятия волатильности во многом способствовала известная работа Ф. Блэка и М. Шоулса [44], 1973 г., в которой была дана формула для справедливой (рациональной) стоимости Ст стандартного оппиона-колл (см. § lb в гл. I). Согласно этой формуле, величина Ст не зависит от р. (факт, на первый взгляд, удивительный!), но зависит от значения волатильности о, входящей в формулу, определяющую эволюцию цен акций S = (St)t^о:

(10)

где W — (Wt)t>0 - стандартный винеровскийпроцесс.

Конечно, предположение о том, что в модели (10) волатильность о, во-первых, является константой, а во-вторых, известной константой, мало реалистично.

В этой связи следует остановиться на еще одном (эмпирическом) подходе к понятию волатильности, определение которой использует формулу Блэка и Шоулса я реальные цены опционов на рынке ценных бумаг.

Для соответствующего определения обозначим Сt = Ct (сг; Т) - значение (теоретическое) пены покупки в момент t < Т стандартного Европейского опциона-колл с /т = (ST — К)+ и моментом исполнения Т.

(Н)

Q = Ct(o; Т).

Так найденное значение о, обозначаемое Следует отметить, что по характеру своего поведения предполагаемая волатильность схожа с эмпирической волатильностью, определяемой (в случае непрерывного времени) по формулам типа (8). При этом весьма четко прослеживается ее отрицательная коррелированность и фрактальная структура (см., например, [386; гл. 10]).

Пена Ct - теоретическая пена. На практике же есть реально объявленная в момент t цена Ct, которую можно использовать для отыскания корня уравнения

5. Остановимся на еше одном подходе к определению волатильности, основанном на рассмотрении вариационных характеристик процесса Я = определяющего цены S = (St)t^cb St = SocHt. Многие

статистические наблюдения, а также экономические аргументы говорят в пользу того, что процессы Я = (Ht)t^o обладают свойствами автомодельности, означающими, в частности, что законы распределений величин Ht+д — Ht при разных Д > 0 обладают некоторыми свойствами подобия (см. раздел 2 в гл. III).

Напомним, что если Я = .Ви - фрактальное броуновское движение, то для всякого Д > 0 и t > О

Е|Я4+д-Я4| = У|Дн (12)

и

Е|Я*+д-Я*|2 = Д2Н. (13)

Для строго «-устойчивого движения Леви с параметром 0 < а ^ 2

Е|Я4+Д — Ht\\ = Е|Яд| = Д1/\'аЕ|Ях|. (14)

Поэтому, обозначая Н = 1/а, находим

Е|Я*+д —Ht\\ = ДиЕ|Яі|, (15)

что сходно с формулой (12) для фрактального броуновского движения.

Приведенные формулы и соображения, основанные на законе больших чисел, подсказывают естественность введения вариационных характеристик и проведения на их основе статистической проверки того, что процесс Я = (Ht)f?Oi участвующий в формировании цен S — (St)t^>o, является автомодельным процессом типа фрактального броуновского движения или а-устойчивого движения Леви.

Следует при этом подчеркнуть, что с точки зрения статистического анализа разным группам инвесторов могут быть интересны разные временные интервалы и временные горизонты.

Так, для краткосрочных инвесторов ценность представляют данные значений пен S — [St)t^o в моменты времени tk \' kA, k > 0, с малым временным интервалом Д > 0 (порядка нескольких минут, и даже секунд).

циклов (как периодических, так и непериодических) и их длительности, информация о трендовых явлениях и т. п.

Имея это в виду, будем в дальнейшем явно указывать выбираемый временной интервал А (в качестве единицы измерения, как характеристический временной масштаб инвестора), а также тот интервал (а, 6], на котором нас интересует эволюция и характер изменчивости рассматриваемого финансового индекса.

6. Об изменчивости процесса Я — (-Ht)t^o на временном интервале (а, 6] хорошее представление может дать Д-вариация

Var(a,b](tf; Д) = ? \\Htk - Htk_x\\, (16)

где суммирование производится по всем тем к, для которых а ^ ifc-i < іь ^ Ъ, причем все ifc имеют вид к А.

Понятно, что для "достаточно регулярных" функций (реализаций) Н = [Ht)a^.t^.b ималых Д > 0 величина Уаг(аЬ] (Я; Д) б лизка к вариации

Увх{аМ(Н)= [b\\dHs\\, (17)

J а

которая по определению есть

зпр^ІЯ^-Я^І, (18)

где sup берется по всем конечным разбиениям (to, ¦ ¦ ¦, tn) интервала (а, 6] таким, что а — to < h <¦¦¦< tn Ь.

При статистическом анализе процессов Я = (Ht)t^o, предположительно имеющих однородные приращения, целесообразно оперировать не с Д-вариациями УаГ(а)ц (Я; Д), а с нормированными величинами

„ (тт. var(a,b]№a)

^(а,Ь](Я; А) - j^I—| , I19)

которые будем называть (эмпирическими) А-волатильностями на (а, Ь].

Полезным часто оказывается также рассмотрение Д-волатильности порядка 6 > О

i*?bl(g-\'A>= to/ \'\'

Уаг %Ь](Я;А)

где

Var(?,f>]№ Л) = ? 1я<* " (21)

и суммирование проводится так же, как ив (16).

Отметим, что для фрактального броуновского движения Н = Вш при Д-> 0

\' оо, 0 < И < і, (6-а), Н=і, (22)

Var(2a!b](^;A)

. 0, § < Н ^ 1,

р

где "—>¦" означает сходимость по вероятности.

Если Н - строго a-устойчивое движение Леви, 0 < а < 2, то при Д —> 0

Varg^tf^) Ао. (23)

Замечание 2.

7. Статистическое исследование волатильности с помощью излагаемого далее 7?/5-анализа (см. раздел 4) позволяет выявить ряд замечательных и неожиданных свойств, которые дают возможность проверки тех или иных гипотез относительно пространственно-временной структуры процессов Н = [Ht)t^0 (в случае моделей с непрерывным временем) и Н = (Нп)п-^0 (в случае дискретного времени). Например, для многих финансовых индексов довольно определенно надо отвергнуть гипотезу о независимости величин hn, п ^ 1, образующих последовательность Н = (Нп)п^0. (В случае непрерывного времени этому соответствует отклонение гипотезы о том, что Н = {Ht)t^0 является процессом с независимыми приращениями.)

В то же самое время, анализ Д-волатильности и 1Z/^-статистики говорят в пользу того, что на самом деле величинам hn, п ^ 1, свойственно довольно-таки сильное последействие, которое дает основание надеяться на \'\'нетривиальный" прогноз будущего движения пен.

Фрактальная структура волатильности выявляется для многих финансовых индексов (акций, облигаций, индексов типа Dow, S&P500,...). При этом, наиболее выпукло она видна в обменных курсах валют, о чем пойдет речь в следующем параграфе.